2021—2022学年上期期中高二理科数学答案

河南省实验中学2021——2022学年上期期中答案 高二 理科数学 1．A 【分析】 利用基本不等式可推出A 正确；利用不等式的性质可推出B 不正确；作差后，可知当 时，C 不正确；当 时，D 不正确. 【详解】 对于A，因为 ，所以 ， ，所以 ，故A 正确； 对于B，若 ，则 ，又 ，所以 ，故B 不正确； 对于C，因为 ， ， 所以当 时， ，此时 ，故C 不正确； 对于D，当 时， 不成立，故D 不正确. 故选：A 2．D 【分析】 由正弦定理即可求解． 【详解】 在 中，由正弦定理可得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 或 ， 故选：D. 3．A 【分析】 由已知得 和 ，可求出 ，利用等差数列的通项公式得到 . 【详解】 设公差不为零的等差数列 的公差为d，则有 ， 因为 ， ， 依次成等比数列， ， 所以有 ，即 ，整理得 ， 因为 ，所以 ， ， 因此 ， 故选：A. 4．D 【分析】 利用三角形的面积公式整理得出 ，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得 出 ，结合角 的取值范围可求得结果. 【详解】 在 中，因为 ，则 ， ，则 ，则 ， 所以， ，可得 ， ，故 . 故选：D. 5．B 【分析】 根据题设条件结合余弦定理可求得 ，从而可得 ，结合三角形面积公式，即可 求解. 【详解】 ∵ ， ， 边上的中线 的长度为 ∴根据余弦定理可得 ，即 ，解得 ∴ ∴ 的面积为 故选：B 6．A 【分析】 根据题意，得到小球经过的里程 ，结合等比数列的求和公式， 即可求解. 【详解】 由题意，可得小球10 次着地共经过的路程为： 米 故选：A. 7．C 【分析】 根据 ，利用正弦定理转化为： ，整理为 再转化为角判断. 【详解】 因为 ， 所以由正弦定理得： ， 所以 ， 即 ， 所以 或 ， 所以 或 ， 所以 是等腰或直角三角形. 故选：C 【点睛】 本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．A 【分析】 根据圆的性质、射影定理求出CD 和DE 的长度，利用CD>DE 即可得到答案. 【详解】 连接DB，因为AB 是圆O 的直径，所以 ，所以在 中，中线 ，由射影定理可得 ，所以 . 在 中，由射影定理可得 ，即 ， 由 得 ， 故选A. 【点睛】 本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题. 9．C 【分析】 根据等差数列的性质及等差数列前n 项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案． 【详解】 由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 故选：C． 10．C 【分析】 由基本不等式得出关于 的不等式，解之可得． 【详解】 因为 ， 所以 ，当且仅当 时取等号． ，解得 或 （舍去）， 所以 ，即 的最小值.4．此时 ． 故选：C． 11．D 【分析】 由 先求出 ，从而得出 ，由 讨论出其单调性，从 而得出答案. 【详解】 当 时， ； 由 ，当 时， ， 两式相减，可得 ， 解得 ，当 时，也符合该式，故 ． 所以 由 ，解得 ；又 ，所以 ，所以 ，当 时， ，故 ，因此最大项为 ， 故选：D． 12．C 【详解】 由题意得：， ，又 ， 数列 是以 为首项，为公比的等比数列， ， 又 ， ，…， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， 对 恒成立， ，则实数的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、 累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得 的形式. 13． 【分析】 由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC. 【详解】 ∵ ， ∴ ，又 ， ， ∴ ，又A 为锐角， ∴ ， 由余弦定理可得 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 14． 【分析】 根据等比数列的前 项和公式，和 ，对 进行分类讨论，列出方程，即可求出 结果. 【详解】 当 时， ， ； 当 时， ， 得 ， ∴ ， 解得 或 (舍去)或 (舍去)， ∴ . 故答案为： . 15． 【分析】 分类讨论，当 ， ， 时，目标函数是否有最小值即可． 【详解】 作出可行域，如图所示阴影部分（含边界）， 当 时，目标函数是平行于 轴的直线，存在最小值，满足题意， 当 时，目标函数 的斜率为负，此时目标函数有最大值，无最小值，当 时，目标函数 的斜率为正，此时目标函数有最小值，满足题意，综上 可得， ． 故答案为： 16．①②④ 【分析】 ①由 ，根据 判断；②利用等比数列的性质判断； ③利用前n 项积的定义判断；④利用前n 项积的定义结合等比数列的性质判断. 【详解】 ① ，因为 ，则 ， 故正确； ② ，故正确； ③ ，故错误； ④因为 ， ，故正确； 故答案为： ①②④ 17． 【分析】 由题意可知，关于 的二次方程 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可求 得 、 的值，再利用二次不等式的解法解不等式 ，即可得解. 【详解】 因为不等式 的解集是 ，则 ， 且关于 的二次方程 的两根分别为 、 ， 所以 ，解得 ， 不等式 即为 ，解得 . 故不等式 的解集为 . 18．（1） ；（2） ． 【分析】 （1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可． 【详解】 （1）由角A、B、C 的度数成等差数列，得2B＝A＋C． 又 ，∴ ． 由正弦定理，得 ，即 ． 由余弦定理，得 ， 即 ，解得 ． （2）由正弦定理，得 ， ∴ ， ． ∴ ． 由 ，得 ． 所以当 时，即 时， ． 19． （Ⅰ） 3, ( 1) 2 ,( 2) n n a n n      （Ⅱ） 5 1 24 4( 1) n T n    【解析】 试题分析： （Ⅰ）由 求通项公式 主要利用 求解；（Ⅱ）整理数列       1 1 n na a 的通项公式，结合其特点采用裂项相消法求和 试题解析：（1）当 1 n 时， 1 1 1 1 1 3 a S  ； 当 2 n 时， 2 1 n S n n    ① 2 1 ( 1) ( 1) 1 n S n n      ②  ① ②得： 2 2 1 ( 1) ( 1) n n S S n n n n         (2 1) 1 2 n a n n    但 1 3 a 不符合上式，因此： 3, ( 1) 2 ,( 2) n n a n n      （2）当 1 n 时， 1 1 2 1 1 1 3 4 12 T a a     当 2 n 时， 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2( 1) 4 ( 1) 4 1 n n a a n n n n n n          1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 12 4 2 3 3 4 1 1 1 1 1 ( ) 12 4 2 1 5 1 24 4( 1) n n n T a a a a a a a a n n n n                                且 1 1 12 T  符合上式，因此： 5 1 24 4( 1) n T n    考点：数列求通项公式及数列求和 20．（1） ， ；（2）当 时，工厂产生的噪声对居 民区的影响最小. 【分析】 （1）由正弦定理求得 ，由三角形内角和求得 范围； （2）由余弦定理求得 ，并由三角函数恒等变换公式，结合正弦函数性质得最大值． 【详解】 解：（1）因为 ， 所以 . 在 中，由正弦定理得： 因为 ，所以 ， （2）在 中， 当且仅当 ，即 时， 取得最大值144，即 取得最大值12. 答：当 时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小. 21．（1） ， ；（2）年产量为5 万台时，年 利润 最大，最大年利润是4000 万元． 【分析】 （1）根据生产1 万台该款电动摩托车需投入资金3000 万元，求出 的值，然后年利润 销售额 投入资金 改造费，从而可求出所求； （2）分段函数求最值分段求，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出最值，比较即可 求出所求． 【详解】 （1）由题意 ，所以 ， 当 时， ； 当 时， ， 所以 ； （2）当 时， ， 所以当 时， ． 当 时， ， 因为 ，所以 ，当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 ， 所以当 时， ，因为 ， 所以，当2021 年该款摩托车的年产量为5 万台时，年利润 最大，最大年利润是4000 万元． 22．（1） ；（2） . 【分析】 （1）当 时，可求 的值，当 时， 与 两式 相减即可得 两边同时乘以 ，得 ，令 ，可得 是等差数列，求出 的通项即可求 的通项； （2）由（1）知， 利用乘公比错位相减求和求出 ，当 ， 时单独讨论，当 时， 化为 ，即 .令 （ ， ），则 ，计算 判断 的单调性求出 的最小值，即 可求得实数 的取值范围． 【详解】 （1）由已知， ， 当 时， ，解得 . 当 时， ． 两式相减，得 ． 两边同时乘以 ，得 ， 令 ，则 ， 所以数列 是公差为1 的等差数列，其首项为 所以 ，即 ， 所以 . （2）由（1）知， ，所以 ． 则 ，① ，② - ①②，得 ， 即 ， ，则 . 由已知，对任意的正整数 ，恒有 ． 当 时， 化为 ，得 . 当 时， 化为 ， 此时， 为任意实数不等式都成立． 当 时， 化为 ， 即 . 令 （ ， ）， 则 ，