高考数学答题技巧题型18 4类数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合）（原卷版）Word（11页）

题型18 4 类数列综合 （数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n 项和为 ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)若 ，数列 的前n 项和为 ，证明： ． 【详解】（1）由 得 ，则当 时，有 ， 两式相减得 ， 技法01 数列中不等式的证明 技法02 数列中的不等式放缩 技法03 数列中的参数求解 技法04 数列与三角函数综合 数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生 具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习. 整理得 ，即 ， 因此数列 是以 为公比的等比数列． （2）由（1）及 可得 ， 因此 ． 于是 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 故 ． 1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 为 ， 的等比中项. (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前 项和，证明： . 2．（2023·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列． (1)求数列 的通项公式． (2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ． 3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知 为数列 的前 项和， ， ，记 . (1)求数列 的通项公式； (2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： . 技法02 数列中的不等式放缩 （1） ，其中 ：可称 为“进可攻，退可守”，可依照所证不等 式不等号的方向进行选择。 注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列， 例如： ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还 可以构造放缩程度更小的，如： 放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观 察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习. （2） ，从而有： 注：对于 还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验 证不等关系。 （4） 可推广为： 例2．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)求 的通项公式； (2)设 ，证明： ． 【详解】（1）因为 ， ① 当 时， ， ② ① ②，得 ，所以 ， 又 时， ， 所以 ． （2）由（1）结合已知条件可得： ． 当 时， ， ，即 成立． 当 时， ， 所以 综上， ． 1．（2024·广东茂名·统考一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等 差数列. (1)求 的通项公式； (2)令 ， 为数列 的前 项积，证明： . 2．（2023 上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列 的前n 项之积为 ，满足 （ ）. (1)设 ，求数列 的通项公式 ； (2)设数列 的前n 项之和为 ，证明： . 3．（2023 上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项． (1)求证：数列 是等比数列； (2)证明： ． 4．（2023·湖北·模拟预测）设对任意 ，数列 满足 ， ，数列 满足 ． (1)证明： 单调递增，且 ； (2)记 ，证明：存在常数，使得 ． 5．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， (1)求 和 (2)求证： ． 技法03 数列中的参数求解 例3．（2023·河北·模拟预测）在数列 中， ， . (1)证明：数列 是等比数列； (2)记数列 的前 项和为 ，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范 围. 对于此类含参数不等式愿型,大部分可以通过分离參数等方式转化为最值问题,对于求最值,需要分析单调性, 函数类型可通过运算法则或者求导进行判断,数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏上、 需强加练习. 【详解】（1）由题意可得： ， 当 时，可得 ， 则 ， 所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列. （2）由（1）可得： ，则 ， 可得 ，则 ， 两式相减得： ， 所以 ， 因为 ，则 ， 原题意等价于关于 的不等式 恒成立，可得 ， 构建 ， 令 ，则 ，解得 或3， 则 ，即当 或 时， 取到最大值 ， 可得 ，所以实数 的取值范围 . 1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知 为数列 的前 项和，且 为正项等比数列， ， . (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)设 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. 2．（2024·云南曲靖·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，求使得 成立的 的最小值． 3．（2024·全国·模拟预测）设 ， 分别为数列 ， 的前n 项和，且 ． (1)若 ， ，求数列 的通项公式； (2)若 ， ，设m 为整数，且对任意的 ， 恒成立，求m 的最小值． 4．（2023·浙江·统考一模）已知等差数列 满足 . (1)若 ，求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 ， ，且 是等差数列，记 是数列 的前 项和.对任意 ，不等式 恒成立，求整数 的最小值. 技法04 数列与三角函数综合 例4．（2023·山东济南·一模）已知函数 ，记 的最小值为 ，数列 的前n 项和为 ，下列说法正确的是（ ） 数列、三角是高中数学的重要内容，从本质上看它们是特殊的函数，都具有函数的某些性质。数列也可和 三角函数综合考查，需强化复习 A． B． C． D．若数列 满足 ，则 【详解】A 选项， ，故 ， 由基本不等式可得 ，故 ，当且仅当 时，等号成 立， 故 ，A 正确； B 选项，由柯西不等式得 ， 当且仅当 时，等号成立， 故 ， ，故 ，当且仅当 时，等号成立， 故 ， 依次类推，可得 ，当且仅当 等号成立， 故 ，B 错误； C 选项，设 ， ， 则 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 所以 ，故 在 上恒成立， ，C 正确； D 选项， ， ， 故 ，D 正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型： ， ， 等； 指数型： ， 等， 根式型： 等， 对数型： ， 且 ； 1．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前 项和 ． 2．（2023·全国·模拟预测）设正项数列 满足 ， ， ．数列 满足 ， 其中 ， ．已知如下结论：当 时， ． (1)求 的通项公式． (2)证明： ． 3．（2024 上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a， ， 且 ．若 则称a 与b 关于模m 同余，记作 （modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程 （mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ． ①若 （ ），数列 的前n 项和为 ，求 ； ②若 （ ），求数列 的前n 项和 ．