高考数学答题技巧题型17 5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）（解析版）Word（33页）

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 （2） . 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 比数列 的前三项． (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求； （2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和． 【详解】（1）由数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，可得 ． 又 ， ， 是等比数列 的前三项，可得 ， 即有 ，解得 或 ， 时， ，不能作为等比数列的项， 舍去， 所以 ； （2）由（1）可得等比数列 的前三项为1，2，4，则 首项为1 公比为2， ， 所以 ， 数列 的前n 项和 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可； （2）分组求和即可. 【详解】（1） 数列 为等比数列， ， ． 设 的公比为 ， 则 ， ， ，解得 或 ． 由 单调递增，得 ， 故 ． （2）由上可知， ， ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)证明 是等比数列； (2)若 ，求 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前 项和公式，结合数列中的分组求 和法即可求解. 【详解】（1）由题意得 ． 又因为 ，所以 ． 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）得 ． 所以 ． 所以 . 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 知识迁移 常见的裂项技巧： 裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练 习 验证 时满足，故 （2） ， 故 . 3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列 的前 项和 满足 . (1)证明：数列 是等差数列； (2)设 ，若 成等比数列，求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将 替换 得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证 明即可； （2）先根据条件求解出 的通项公式，然后代入 的通项，通过裂项先化简 ，然后用裂项相消法 进行求和. 【详解】（1）由题可知 ， 因为 ， 所以 时， ， 两式相减得 ， 化简可得 ，且 满足条件， 综上可得， 是公差为 的等差数列； （2）因为 ，故 ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 所以 . 4．（2023·山东德州·三模）已知 为数列 的前 项和， ． (1)求数列 的通项公式 ； (2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式可得 ，采用两式相减的方法可得 ，从而构造数列，可求得 的通项公式； （2）由（1）的结论可得 的表达式，利用裂项求和法，可得答案. 【详解】（1）当 时， ，则 ， 因为 ， 所以 ， 两式相减得： ， 所以 ， ， ， ，则 ，即 也适合上式， 所以 是以5 为首项，公比为2 的等比数列， 故： ， 故 ； （2）由（1）得 ， 故 ， 当 时， ，故 . 5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列 的前 项和 ，满足： ． (1)求数列 的通项公式； (2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由 ，把 用1 代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项 可求； （2）由（1）可先算出 ，代入 求得 通项并裂项，再求和即可证明. 【详解】（1）当 时， ，解得 ． 当 时，由 ①，可得 ，② ① ②得： ，即 ． ， ． 是以1 为首项，以2 为公差的等差数列， 数列 的通项公式 ． （2）由（1）可得 ， ， ， ， ， ， ， ， . 技法03 错位相减的应用及解题技巧 知识迁移 万能公式： 形如 的数列求和为 ， 其中 ， ， 例3．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前n 项和 ． 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 （1） ． （2）因为 ，所以 ， ， 两式相减得， ， ，即 ， ． 也可以用万能公式求出ABC 直接求解 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 为数列 的前 项和， ，且 是公差为1 的等差数 列．正项等比数列 满足 ， ． (1)求数列 的通项； (2)求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算 得到 ，根据等比数列公式得到 ，计算得到答案. （2）确定 ，则 ， ，相减计算得到答案. 【详解】（1） ， 是公差为的等差数列， ，即 ， 当 时， ， 满足通项公式，则 . 是正项等比数列，设公比为 ，则 ， ，而 ，故 ， ，即 . （2） ， ， ， 两式相减得到： 故 . 2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列 ， 满足 ， ． (1)求 ， 的通项公式； (2)用 表示不超过 的最大整数，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式； （2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解. 【详解】（1）由 ，得 ， 由 ，得 ， ，因为 是正项数列， ， ； （2） ， 则当 时， ， 所以 ， 两式相减得 ， 即 ， 因为 满足 ， 所以 . 3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列 前n 项和为 ，满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据 的关系求通项公式； （2）利用错位相减法和裂项相消法求和. 【详解】（1）因为 ， 所以当 时， ，故 ； 当 时， ， 作差，得 ， 即 ，此式对 也成立， 故数列 的通项公式为 ， ． （2）由（1）知， ， 不妨令 ，且数列 的前n 项和 ， 则 ， ， 作差，得 ， 即 ． 则 ， 即数列 的前n 项和 为 . 4．（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1 的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n 项和．证明： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为 是首项为1 的等比数列且 ， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ， 所以 . （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设 ， ⑧ 则 ． ⑨ 由⑧-⑨得 ． 所以 ． 因此 ． 故 ． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得 ， ，① ，② ① ②得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即 ， 通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ． 则 ，下同方法二． [方法四]：导函数法 设 ， 由于 ， 则 ． 又 ， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数 学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择， 关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式， 这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ． (1)求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式； (2)设 ，求 的前 项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) ． 【分析】（1）根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解； （2）利用错位相减法求和即可得解. 【详解】（1）由 ，得 ， 所以 ． 又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ， 故 ． （2）由（1）知 ． 设 的前 项和为 ， 所以 ，① ，② ①－②得 . 所以 ． 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n 项和， ， ． (1)求 的通项公式； (2)证明：当 时， ． （1） . （2）方法1：由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ， ， 当 时， ，因此 ， 当 为奇数时， ， 当 时， ，因此 ， 所以当 时， . 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首 项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习 方法2：由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ， 当 时， ，因此 ， 当 为奇数时，若 ，则 ，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ， 当 时， ，因此 ， 所以当 时， . 例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 ，且 ． (1)求数列 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． （1） . （2）由（1）得： ，即 ， 当 为奇数时， ；当 为偶数时， ； 当 为偶数时， ； 当 为奇数时， ； 综上所述： . 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差为2．正项数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 和数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）直接得到 的通项公式，由 作差得到 ，从而求出 的通 项公式； （2）由（1）可得 ，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）依题意可得 ， ∵ ①， 当 时， ②， ， ， ， ∵ ， ∴ ， 且在①式中令 或 （舍去），∴ ， 综上可得 ， ． （2）由（1）可得 ， ∴ ． 2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 (1)证明：数列 为等差数列; (2)若 求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将 代入到 中，得 ，结合等差数列的定义可证结论正确； （2）由（1）求出 ，再求出 ，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果. 【详解】（1）当 时， ，得 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是首项为 ，公差为的等差数列. （2）由（1）知， ， 当 为奇数时， ， 当 为偶数时， ， 所以 . 3．（天津·统考高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） . 【分析】( ) Ⅰ由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； ( ) Ⅱ利用( ) Ⅰ的结论首先求得数列 前n 项和，然后利用作差法证明即可； ( ) Ⅲ分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n 项和即可. 【详解】( ) Ⅰ设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q. 由 ， ，可得d=1. 从而 的通项公式为 . 由 ， 又q≠0，可得 ，解得q=2， 从而 的通项公式为 . ( ) Ⅱ证明：由( ) Ⅰ可得 ， 故 ， ， 从而 ， 所以 . ( ) Ⅲ当n 为奇数时， ， 当n 为偶数时， ， 对任意的正整数n，有 ， 和 ① 由①得 ② 由①②得 ， 由于 ， 从而得： . 因此， . 所以，数列 的前2n 项和为 . 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等 题. 4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 与等比数列 的前 项和分别为： ，且满足： ， (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列 的前 项的和 . 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）将 代入 可求出 ，从而进出 ，故可求出 ；再由等差数列的前 项 和求出 ，代入 可求出 ，再由等比数列的前 项和求出 ， ，进而求出 ； （2）由（1）求出 ，再由分组求和法求出数列 的前 项的和 . 【详解】（1） ，解得： 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的首项为 ，公比为 ， ， ，则： 又 ，得： （2） 数列 的前 项的和： . 5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等差数列，其前 项和 为 . 是公比为 的等比数列. . (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可； （2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， 由题意可得： ，解得 或 （舍去）， 所以 . （2）由（1）可得 ， 当 为奇数时，则 ， 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 所以 ； 当 为偶数时，则 ， 设 ， 所以 ； 综上所述： ， 当 为奇数时，则 ； 当 为偶数时，则 ； 综上所述： . 技法05 周期综合的应用及解题技巧 数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考 和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数 列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习 例5-1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列 满足 ， ，则数列 前2023 项的积为 （ ） A．2 B．3 C． D． 依题意， ， ，所以 ， ， 所以数列 是周期为 的周期数列， ， ， 所以数列 前 项的积为 ，故选：B 例5-2．（2023 下·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列 满足： .则 的前60 项的和为（ ） A．1240 B．1830 C．2520 D．2760 由 ， 故 ， ， ， ，…. 故 ， ， ，…. 从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于3； ， ， ，…. 从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以13 为首项，以24 为公差的等差数列. 故 . 故选：D. 例5-3．（2023·安徽模拟）数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为（ ） A． B． C． D． 由二倍角公式得出 ， ， ， . 故选：A. 1．（2023·河北·校联考模拟预测）在数列 中， ，则 . 【答案】 【分析】根据题意，推得 ，得到数列 的一个周期为，求得 的值，结合 ，即可求解. 【详解】由 ，可得 ，所以 ，即 ， 所以 ，所以数列 的一个周期为， 又由 ， 所以 ，所以 . 故答案为： . 2．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 . 【答案】2 【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可. 【详解】第一步，求不动点，设 ，令 得： ，化简得： ，显然该方 程无解，这种情况下 一般是周期不大的周期数列， 我们只需算出前几项，找出规律即可， 由题意， ，所以 ， ， ， ， ， ， 从而 是以6 为周期的周期数列， 故 . 故答案为：2. 3．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， ，设数列 和 的前 项和分别为 和 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系可得数列 和 的周期为4，结合条件可得 ，即得. 【详解】因为 ， ， 所以 ， ， ， ， 所以数列 的周期为4， 同理可得数列 的周期为4，且 ， ， ， ， 所以 ，又 ， 所以 ，又 ， 所以 或 (舍去). 故选：A. 4．数列 满足 ，则数列 的前 项和等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 为正奇数时，可推出 ，当 为正偶数时，可推出 ，将该数列的前 项和表示为 ，结合前面的规律可 计算出数列 的前 项和. 【详解】当 为正奇数时，由题意可得 ， ， 两式相减得 ； 当 为正偶数时，由题意可得 ， ， 两式相加得 . 因此，数列 的前 项和为 . 故选:A. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 5．（2021 上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ） A． B． C．180 D．240 【答案】D 【分析】分别取 ， ， 和 ， ，可验证出 ，利用周期 性可验算得到结果. 【详解】当 ， 时， ， ； 当 ， 时， ， ； 当 ， 时， ， ； 当 ， 时， ， . ， .