重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

秘密★启用前 2022~2023 学年度上期学情调研 高二数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两 个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐 波那契数列”，则 A．1 B．2017 C．-1 D．-2017 2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到 的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144 的矩形 截某圆锥得到椭圆 ，且 与矩 形 的四边相切．设椭圆 在平面直角坐标系中的方程为 ，下列选项中满足题意的方程 为（ ） A． B． C． D． 3．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 4．已知 是等差数列，若 ， ， 成等比数列，且公比为 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 5．在等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁， 其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道 的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3 岁，九个儿子共207 岁，问老大是多少岁? （ ） A．38 B．35 C．32 D．29 7．已知双曲线 是直线 上任意一点，若圆 与双曲线 的右支没有公共点.则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．记 为等差数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，且 若 ，则（ ） A． B． C． D． 的最大值为 10．关于函数 ， 下列说法正确的是（ ） A．对 ， 恒成立 B．对 ， 恒成立 C．若 ， D．若不等式 对 恒成立，则正实数 的最小值为 11．设数列 是公差为 等差数列， 为其前n 项和， ，且 ，则（ ） A． B． C． D． ， 为 的最小值 12．已知双曲线 ，下列结论正确的是（ ） A．双曲线C 的渐近线方程为 B．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线l 与C 相交于A、B 两点且AB 的中点为 ，则l 的斜率为 D．若直线 与C 没有交点，则 的取值范围是 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．顶点在原点，经过圆 的圆心且准线与 轴垂直的抛物线方程为________． 14．数列 满足 ， ，且 （ ），则 __. 15．在 中， 分别为角 的对边，已知 ，且 的面积为 ， 则 的值为__________． 16．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n＋1an，数列{bn}的前n 项的和为Sn，则S2 021＝________. 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列 满足 ， ，其中 ．记 ， ． （1）求证：数列 是等比数列； （2）记 ，试比较 与 的大小，并说明理由． 18．已知数列 的前 项和为 ， ，且 . （1）求 的通项公式； （2）若 ，求 的前 项和 . 19．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A 的“差数列” A： … ， （I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式 ，写出 A 的前3 项； （II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得 A 是等差数列； （III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列 （ A）的所有项都等于1，且 = =0，求 的值. 20．已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，直线 过其短轴的一个端点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若过点 的直线与椭圆 在第一象限相切于点 ，求直线的方程和点 的坐标. 21．设 是等差数列 的前n 项和，已知 ， （ ）． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若数列 ，求数列 的前n 项和 ． 22．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，点 在椭圆 上，且椭圆 上存在点 与点 关 于直线 对称． （1）求椭圆 的标准方程． （2）若直线与椭圆 只有一个公共点，点 ， 是 轴上关于原点对称的两点，且点 ， 在直线上的射影分 别为 ， ，判断是否存在点 ， ，使得 为定值，若存在，求出 ， 的坐标及该定值；若不存在， 请说明理由． 参考答案 1．C 根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当 为偶数时， ；当 为奇数时， ，所求式子最末项 ，从而可得结果. 由题意得： ， ， ，… 当 为偶数时， ；当 为奇数时， 本题正确选项： 本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律. 2．A 由方程的要求，排除两个选项，再由矩形 的面积确定正确选项． 由题意椭圆方程是 ，排除BD， 矩形 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为 ， ． 在椭圆 中， ， ，满足题意， 在椭圆 中 ， , 不满足题意． 故选：A． 3．B 试题分析：双曲线 的右焦点为 故抛物线 中 故其准 线方程为 考点：抛物线的焦点，双曲线的焦点，抛物线的准线方程 4．C 设 是公差为 的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可 得 ，再由等比数列的定义，计算可得所求值． 解：设 是公差为 的等差数列， 若 ， ， 成等比数列，可得 ， 即 ， 化为 ，解得 ，则 ， 则公比为 ， 故选：C． 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求 解能力，属于基础题． 5．C 利用韦达定理可得 ，再根据等比数列的性质即可得出答案. 解：在等比数列 中， 因为 为方程 的两根， 所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：C. 6．B 由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄 为首项，公差为 的等差数列，根据 等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果. 由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄 为首项，公差为 的等差数列， 所以 ，解得 ， 故选：B. 本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前 项和公式的基本量运算，属于基础 题型. 7．B 由直线 与渐近线 的距离得到圆心 到直线 的距离 为 ，再根据圆 与双曲线C 的右支没有公共点，由 求 解. 双曲线 的一条渐近线方程为 ， 因为点 是直线 上任意一点， 又直线 与直线 的距离为： ， 即圆心 到直线 的距离为： , 因为圆 与双曲线C 的右支没有公共点， 所以 ，即 ，又 , 所以双曲线的离心率的取值范围为 . 故选：B 本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到 和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问 题转化为渐近线 与直线 的距离大于等于圆的半径 . 8．D 利用累加法可得 ，再裂项相消求和即可 由题意得，对 ，故 ， ， ，…， ， 累加可得 ， 满足， 所以 ，则 ， 故选：D． 9．ABD 由题意，列方程组求出等差数列 的首项 和公差 即可求解 与 ，选项A、B 可判 断；由 可得 ，又 即可判断选项C，由 ，利用单 调性即可求解最大值. 解：因为数列 为等差数列， ， ， 所以 ，解得 ， 所以 ， ，故选项A、B 正确； 又因为 ，所以 ， 因为 时， ，所以选项C 错误； 因为 ， 时， ， 时， ， 时，因为 随着 的增大而增大，且大于0， 所以 ， 综上， 的最大值为 ，故选项D 正确； 故选：ABD. 10．ABD 选项A：构造函数 ，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而 判断选项正确； 选项B：构造函数 ，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选 项正确； 选项C：构造函数 ，根据导数判断函数在 内单调递减，从而判断 选项错误； 选项D：把不等式 变形为 ，所以只需研究函数 的单调性即可求出答案，从而判断选项正确. 选项A：令 ，则 ， 因为 ，所以由 得 ；由 得 ， 所以 在 内单调递增，在 内单调递减， 所以 的最大值为 ，所以对 ， 恒成立， 即对 ， 恒成立，故选项A 正确； 选项B：令 ，则 ， 由 得 ；由 得 ， 所以 在 内单调递增，在 内单调递减，所以 的最小值为 ， 所以对 ， 恒成立，即对 ， 恒成立，故选项B 正确； 选项C：令 ，则 ， 所以由 得 ；由 得 ， 所以 在 内单调递增，在 内单调递减， 所以当 时， ，即 ， 所以 ， 成立，故选项C 错误； 选项D：因为不等式 对 恒成立， 即不等式 对 恒成立，又因为 ， 所以不等式 对 恒成立； 令 ，则 ， 当 时， 恒成立，所以 在 单调递增， 所以由不等式 对 恒成立，得 对 恒成立， 即 对 恒成立， 由选项C 知， 在 内单调递增，在 内单调递减， 所以 的最大值为 ，所以只需 ，即正实数 的最小值为 . 故选：ABD. 利用导数研究不等式恒成立问题，通常要构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，求 出最值进而得到结论或求出参数的取值范围；也可分类变量构造函数，把问题转化为函数 的最值问题.恒成立问题常见的处理方式有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数 的最值问题；（2） 恒成立型的可转化为 ；（3） 恒成立型的可以通过作差法构造函数 ，然后求 ，或者转化为 . 11．ABD 根据题干条件找出 和 的等量关系，分析出 和 的符号后逐一判断即可. 根据 可知， ，由等差中项可得， ， 即 ，故B 正确； ， ，故 ，故A 正确； ， 可知，等差数列单调递增，但 ，说明 都是负数， 故 最小，又 ，于是 ，它们均是最小值，故D 正确； 据刚才分析， ，而 ，故C 错误. 故选：ABD 12．AB 结合双曲线的渐近线，焦点到渐近线的距离，点差法、直线与双曲线的位置关系判断出正 确选项. 依题意，双曲线 ， ， 双曲线的渐近线方程为 ，A 选项正确. 焦点 到渐近线 的距离为 ，B 选项正确. 设 ，则 ， 两式相减并化简得 ， 若 的中点为 ，则 ，即的斜率为 ，C 选项错误. 双曲线的渐近线 与双曲线没有交点， ，所以D 选项错误. 故选：AB 13． 试题分析：由题意圆的圆心 ，因此抛物线的方程的焦点在 轴正半轴，设方程 ，把点 代入得 ，解得 ，因此抛物线方程 ． 考点：抛物线的标准方程． 14．2020 当n 为偶数时，可得出 ，故偶数项是以2 为首项，公差为2 的等差数列，求出 通项公式，代值计算即可得解. 当n 为偶数时， ， 即 ，故数列 的偶数项是以2 为首项，公差为2 的等差数列， 所以 ， 所以 . 故答案为：2020. 本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出 与 的关系式，进而 求出 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 15． 根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理和比例性质求 得 ，结合△ABC 的面积求出a 的值． △ABC 中，由cos2A cos ﹣ 2B+sin2C＝sinBsinC ， 得1- sin2A -（1- sin2B）+sin2C＝sin2B+sin2C sin ﹣ 2A＝sinBsinC， ∴b2+c2﹣a2＝bc， 由余弦定理得cosA ， 又A∈（0，π）， ∴A ； 由正弦定理 ， ∴ ， 即 ， 化简得a2＝3bc； 又△ABC 的面积为S△ABC bcsinA ， ∴bc＝4， ∴a2＝12， 解得a＝2 ． 故答案为2 . 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题． 16．3032 根据已知条件求得 ，进而求得 ，利用分组求和法求得 . 设等差数列 的公差为 ， 由于a1，a3，a11成等比数列， ∴ ，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d). 14 ∴ d2＝3a5d. 又d≠0，a5＝14，知d＝3， 因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1). ∴S2 021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 021 ＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 020＋b2 021) . 故答案为： 17．（1）见解析；（2） 理由见解析. （1）根据题意求 及 ，即可得到数列 是等比数列； （2）根据（1）得到数列 的通项公式及前 项和，然后根据题意将 和数列 的前 项和联系起来，得到 ，进而得 ，最后利用作差法比较 与 的大小 即可． （1）由题意得 ， 且 ， 所以数列 是以3 为首项，3 为公比的等比数列． （2）由（1）知， ， 所以 ． 因为 ， ， 所以 ， …… ， ， 所以 ． 而 ， ， . 所以 ， 故 ， 而 ， ， ， 故 ． 本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑 推理和运算求解的能力，属于中档题． 18．（1） ；（2） . （1）由题意结合数列 与 的关系可得 ，进而可得 是公比 的等比数列， 再由等比数列的通项公式即可得解； （2）由题意 ，再由裂项相消法即可得解. （1）由 可得当 时， ， ∴ ，即 ， 又 ，∴ 是公比 的等比数列， ∴ ； （2）由（1）知， ， ∴ ， ∴ . 本题考查了数列 与 关系的应用及等比数列通项公式的求解，考查了裂项相消法求数列 前 项和的应用，属于中档题. 19．（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，…；（III）819 （I）先计算数列A 的前4 项，然后利用差数列的定义写出 A 的前3 项；（II）由差数列 定义知常数列即满足题意；（III）根据差数列的定义利用累加法可求得数列 的通项公 式，然后利用数列的第19 项和第92 项即可求得首项的值. （I）数列A：2，3，5，9，数列 A：1，2，4 （II）数列A：2，2，2，2，… （III）数列 （ A）：1，1，1，1，…， 设数列 A：k，k+1，k+2，k+3，… 则数列A：a2－a1=k a3－a2=k+1 … 以上叠加得 ， 即 则 ，则 . 本题考查等差数列定义和通项公式的应用，考查学生推理能力和计算能力. 20．（1） ；（2）直线方程为 ， 或 ， ． （1）由离心率得 ，由直线过短轴端点得 ，从而可求出 ，得椭圆方程； （2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用 可求解． （1）直线与 轴交点为 ，它是椭圆短轴端点，则 ， 又 ，所以 ，解得 ． ∴椭圆方程为 ； （2）过 斜率不存在的直线为 ，是椭圆的切线，此时切点为 ． 过 斜率存在的切线方程设为 ，由 得 ， ∴ ， ， 此时 ， ，即 ． 直线方程为 ，即 ． 切线方程为 ， 或 ， ． 本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆的相切问题．过椭圆外一点作椭圆的切线 有两条，要注意考虑斜率不存在的情形．特别是设斜率 求解时只有一解，说明还有一条 是斜率不存在的． 21．（Ⅰ）18；（Ⅱ） . 试题分析：（1）根据等差数列 满足 ， ，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，根据等差数列的求和公式可得 递的值；（2）由 （1）知 ，从而可得 ，利用裂项 相消法求解即可. 试题解析：（I）设数列 的公差为 ，则 即 ， 解得 ， 所以 . （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知 ， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属 于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突 破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ； （2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出 现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 22．（1） ；（2），存在点 ， 或 ， ，使 得 为定值，该定值为2． （1）依题意可得点 ， 在椭圆上，代入得到方程组，解得即可； （2）当直线的斜率存在时，设其方程为 ，联立直线与椭圆方程，消元，根据 ，得到 的关系，设 ，则 ，求出点到直线的距离 、 ， 即可得到 为定值时的值，再计算斜率不存在时 也为定值； 解：（1）因为点 在椭圆 上，所以 ． 由题意知 ，因为点 与点 关于直线 对称，所以点N 的坐标为 ， 代入椭圆 的方程，得 ，即 ，所以 ， 与 联立并求解，得 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （2）存在点 ， ，使得 为定值． 当直线的斜率存在时，设其方程为 ， 将 代入 ，得 ， 则 ，得 ． 设 ，则 ，点 到直线的距离 ， 点 到直线的距离 ， 所以 ， 当 ，即 时， ，为定值， 所以存在点 ， 或 ， ，使得 ． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ， ， 或 ， 均满足 ． 综上，存在点 ， 或 ， ，使得 为定值，该定 值为2． 【得解】解决本题时，易忽略直线的斜率不存在的情况．一般地，解决关于直线与圆锥曲 线的位置关系的问题时，只要题设条件没有给定直线的斜率，都要对直线分斜率存在和斜 率不存在两种情况进行讨论．当直线的斜率存在时，按照常规的研究直线与圆锥曲线位置 关系的方法求解；当直线的斜率不存在时，可以根据直线的斜率存在时得到的结论，借助 几何图形直观求解．