高考数学答题技巧题型17 5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）（原卷版）Word（12页）

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 比数列 的前三项． (1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n 项和 ． 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ． (1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)证明 是等比数列；(2)若 ，求 的前 项和 ． 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 知识迁移 常见的裂项技巧： 指数型 对数型 例2．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)证明： ． （1） 的通项公式 ； 裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练 习 （2） ∴ 1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前 项和，当 时， ．若对于任意 ，有 ，求 的取值 范围． 2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)求证： ． 3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列 的前 项和 满足 . (1)证明：数列 是等差数列； (2)设 ，若 成等比数列，求数列 的前 项和 . 4．（2023·山东德州·三模）已知 为数列 的前 项和， ． (1)求数列 的通项公式 ； (2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ． 5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列 的前 项和 ，满足： ． (1)求数列 的通项公式； (2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ． 技法03 错位相减的应用及解题技巧 知识迁移 万能公式： 形如 的数列求和为 ， 其中 ， ， 例3．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前n 项和 ． 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 （1） ． （2）因为 ，所以 ， ， 两式相减得， ， ，即 ， ． 也可以用万能公式求出A、B、C 直接求解 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 为数列 的前 项和， ，且 是公差为1 的等差数 列．正项等比数列 满足 ， ． (1)求数列 的通项； (2)求数列 的前 项和 ． 2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列 ， 满足 ， ． (1)求 ， 的通项公式； (2)用 表示不超过 的最大整数，求数列 的前 项和 ． 3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列 前n 项和为 ，满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前n 项和 ． 4．（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1 的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n 项和．证明： ． 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ． (1)求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式； (2)设 ，求 的前 项和． 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首 项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习 例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n 项和， ， ． (1)求 的通项公式； (2)证明：当 时， ． （1） . （2）方法1：由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ， ， 当 时， ，因此 ， 当 为奇数时， ， 当 时， ，因此 ， 所以当 时， . 方法2：由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ， 当 时， ，因此 ， 当 为奇数时，若 ，则 ，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ， 当 时， ，因此 ， 所以当 时， . 例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 ，且 ． (1)求数列 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． （1） . （2）由（1）得： ，即 ， 当 为奇数时， ；当 为偶数时， ； 当 为偶数时， ； 当 为奇数时， ； 综上所述： . 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差为2．正项数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 和数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和． 2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 (1)证明：数列 为等差数列; (2)若 求数列 的前 项和 . 3．（天津·统考高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 与等比数列 的前 项和分别为： ，且满足： ， (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列 的前 项的和 . 5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等差数列，其前 项和 为 . 是公比为 的等比数列. . (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 技法05 周期综合的应用及解题技巧 数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考 和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数 列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习 由 ， 故 ， ， ， ，…. 故 ， ， ，…. 从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于3； ， ， ，…. 从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以13 为首项，以24 为公差的等差数列. 故 . 故选：D. 例5-3．（2023·安徽模拟）数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为（ ） A． B． C． D． 由二倍角公式得出 ， ， ， . 故选：A. 1．（2023·河北·校联考模拟预测）在数列 中， ，则 . 2．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 . 3．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， ，设数列 和 的前 项和分别为 和 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．数列 满足 ，则数列 的前 项和等于 A． B． C． D． 5．（2021 上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ） A． B． C．180 D．240 6．（2023 下·山东·高二校联考阶段练习）在数列 中， ， ，则 ； 的前40 项和为 . 7．（2022 上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）在数列 中， ， ， ，则 的前2022 项和为 .