专题1.10 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】（原卷版）

专题110 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大 题型】 【人版】 【题型1 归类法】..................................................................................................................................................... 1 【题型2 凑整法】..................................................................................................................................................... 1 【题型3 逆向法】..................................................................................................................................................... 2 【题型4 拆项法】..................................................................................................................................................... 2 【题型5 组合法】..................................................................................................................................................... 3 【题型6 裂项相消法】............................................................................................................................................. 3 【题型7 倒数求值法】............................................................................................................................................. 5 【知识点1 归类法】 运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结 合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等 【题型1 归类法】 【例1】（2022 春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣11 4 ）﹣5﹣（−3 4 ）． 【变式1-1】（2022 春•徐汇区校级期中）计算：−2 2 3 +2 11 12 +6 1 4 −3 1 3． 【变式1-2】（2022 秋•青浦区期中）计算：2 1 9 +0.3−1 2 9 + 7 10． 【变式1-3】（2022 秋•和平区校级月考）计算： （1）−(−3 7 12 )+(−1 1 4 )+(−2 7 12 )+(+1.25)−4 1 8； （2）﹣55 6 +(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 )． 【知识点2 凑整法】 将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消 【题型2 凑整法】 【例2】（2022 秋•普陀区期末）计算：343 2 ﹣2 5 +¿657 5 ﹣3 5． 【变式2-1】（2022 秋•济南期末）计算：（﹣32）+125+（﹣168）﹣（﹣25）． 1 【变式2-2】（2022 秋•上蔡县月考）计算： （1）22 5 +¿21 7 +¿（﹣51 7 ）﹣（﹣53 5）． （2）375+（﹣518）﹣（﹣225）+518． 【变式2-3】（2022 秋•石景山区校级期中）计算：（﹣127）﹣（﹣52 5）﹣873+33 5． 【知识点3 逆向法】 主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而 使得计算变得更加简单 【题型3 逆向法】 【例3】（2022 秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算 −2 9 ×(−92)+(−2 9 )×34 3 5 + 2 9 ×23 3 5． 【变式3-1】（2022 秋•兰山区月考）25× 3 4 −¿25× 1 2 +¿25×（−1 4 ） 【变式3-2】（2022 秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算： （1）（﹣9）×31 8 29−¿（﹣8）×（﹣31 8 29）﹣（﹣16）×31 8 29； （2）9971 72 ×（﹣36）． 【变式3-3】（2022 秋•红谷滩区校级期中）简便计算 （﹣48）×0125+48× 11 8 +(−48)× 5 4 【知识点4 拆项法】 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分 配率从而使得计算变得简洁 【题型4 拆项法】 【例4】（2022 秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣55 6 +(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 )． 解 ： 原 式 ¿[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−5 6 )+(−2 3 )+ 3 4 +(−1 2 )]=¿0 +(−1 1 4 )=(−1 1 4 ) 启发应用 用上面的方法完成下列计算：(−3 3 10 )+(−1 1 2 )+2 3 5−(2 1 2 ) 1 【变式4-1】（2022 秋•铁西区期末）计算：15﹣（﹣41 4 ）+375﹣（+81 2）． 【变式4-2】（2022 秋•浦东新区期中）计算：5 1 3−2 1 6 + 1 4 ． 【变式4-3】（2022 秋•凉山州期末）：(−2021 2 7 )+(−2022 4 7 )+4044+(−1 7 )． 【知识点5 组合法】 找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目 【题型5 组合法】 【例5】（2022 秋•南开区期中）计算：﹣1+2 3+4 5+6+… 97+98 99 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝ ． 【变式5-1】（2022 秋•襄汾县期中）计算：1+2 3 4+5+6 7 8+……+2013+2014 ﹣﹣ ﹣﹣ ﹣ 2015 2016 ﹣ 【变式5-2】（2022 秋•工业区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+ （﹣100）的值为（ ） ．50 B．﹣50 ．101 D．﹣101 【变式5-3】（2022 秋•工业区月考）计算： （1）1 3+5 7+9 11+…+97 99 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ； （2）| 1 102−1 101|+| 1 103−1 102| | ﹣1 103−1 101|． 【知识点6 裂项相消法】 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分 配率从而使得计算变得简洁 【题型6 裂项相消法】 【例6 】（2022 秋• 嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 19×20呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的 计算．他们的解法如下： 解： 原式=(1−1 2 )+( 1 2−1 3 )+( 1 3−1 4 )+⋯+( 1 19−1 20 ) ¿1−1 20 ¿ 19 20 根据阅读材料，请你完成下列问题： （1）计算：2 1×3 + 2 3×5 + 2 5×7 +⋯+ 2 21×23； 1 （2）直接写出结果：1 3 + 1 15 + 1 35 + 1 63 + 1 99=¿ 5 11 ；（不需要计算过程） （3）计算：1 1×5 + 1 5×9 + 1 9×13 +⋯+ 1 2017×2021． 【变式6-1】（2022 秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 先观察下列等式：1 1×2=1−1 2，1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ⋯ 1 9×10=1 9−1 10 将 以 上 等 式 两 边 分 别 相 加 得 ： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 9×10=+( 1 2−1 3 )+( 1 3−1 4 )+⋯+( 1 9−1 10 )=1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 9−1 10=1−1 10 然后用你发现的规律解答下列问题： （1）猜想并写出： 1 n(n−1)=¿ 1 n−1−1 n ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ①1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 2010×2011=¿ 2010 2011 ； ②1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 n(n+1)=¿ n n+1 ； （3）探究并计算： 1 2×4 + 1 4×6 + 1 6×8 +⋯+ 1 2012×2014 ． 【变式6-2】（2022 秋•虹口区期末）先阅读，再答题 2 3=3−1 1×3=¿1−1 3 ，2 15=5−3 3×5=1 3−1 5，2 35=7−5 5×7 =1 5−1 7 ，2 63= 9−7 7×9=1 7 −1 9 ⋯⋯ 根据你发现的规律，试写出 （1）2 99= 1 ()−1 ()； （2） 2 n(n+2)=¿ 1 n−1 n+2 ； 计算：2 3 + 2 15 + 2 35 + 2 63 + 2 99 + 2 143 + 2 195． 【变式6-3】（2022 秋•高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程． （1 ） 1 1×2=¿1−1 2 ， 1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ，则 1 2007×2008=¿ 1 2007 − 1 2008 ，并且用含有的式子表示发现的规律． （2）根据上述方法计算：1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +⋯+ 1 2005×2007 ． 1 （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论： 1 n(n+k )=¿ 1 k （1 n−1 n+k ） （其中，k 均为正整数），并计算 1 1×4 + 1 4×7 + 1 7×10 +⋯+ 1 2005×2008． 【题型7 倒数求值法】 【例7】（2022 秋•城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题 计算：(−1 30 )÷( 2 3−1 10 + 1 6−2 5 )． 解：（方法一）原式＝ (−1 30 )÷[( 2 3 + 1 6 )+(−1 10−2 5 )]=(−1 30 )÷( 5 6 −1 2 ) ¿−1 30 ×3 ¿−1 10 （方法二）原式的倒数为( 2 3−1 10 + 1 6−2 5 )÷(−1 30 )=( 2 3−1 10 + 1 6−2 5 )×(−30) ＝﹣20+3 5+12 ﹣ ＝﹣10． 故原式¿−1 10． 请阅读上述材料，选择合适的方法计算：−1 54 ÷( 1 6 ⋅5 27 + 2 3−2 9 )． 【变式7-1】（2022 秋•南开区期中）（−1 20 ）÷（−1 4 −2 5 + 9 10−3 2）． 【变式7-2】（2022 秋•宽城县期末）阅读下列材料： 计算：1 24 ÷( 1 3−1 4 + 1 12 )， 解法一：原式¿ 1 24 ÷ 1 3−1 24 ÷ 1 4 + 1 24 ÷ 1 12= 1 24 ×3−1 24 ×4+ 1 24 ×12= 11 24 ． 解法二：原式¿ 1 24 ÷( 1 3−1 4 + 1 12 )= 1 24 ÷ 2 12= 1 24 ×6= 1 4 ． 解 法 三 ： 原 式 的 倒 数 ¿( 1 3−1 4 + 1 12 )÷ 1 24 =( 1 3−1 4 + 1 12 )×24=1 3 ×24−1 4 ×24+ 1 12 ×24=4． 所以原式¿ 1 4 ． （1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； 1 （2）计算：( 1 2−1 4 + 1 6 )×36=¿ ； （3）请你选择合适的解法计算：(−1 210 )÷( 3 7 + 2 15−3 10−5 21 )． 【变式7-3】（2022 秋•怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算：（1 4 + 1 6−1 2）×12 （2）选择合适的方法计算：（−1 42 ）÷（1 6−3 14 + 2 3−2 7 ） 1