高考数学答题技巧题型16 11类数列通项公式构造解题技巧（解析版）Word（45页）

题型16 11 类数列通项公式构造解题技巧 技法01 用an与Sn关系求通项公式的解题技巧 知识迁移 an={ s1,n=1 sn−sn−1,n≥2 技法01 用an 与Sn关系求通项公式的解题技巧 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 技法03 已知an+1=an⋅f (n) 用累乘法求通项公式的解题技巧 技法04 已知an+1=pan+q 用an+1+λ=p (an+λ)求通项公式的解题技巧 技法05 已知an+1=pan+f (n)用an+ An+B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项公式的解题技巧 技法06 已知an+1=pan+qn 用 an+1 qn+1= p q⋅an qn + 1 q 求通项公式的解题技巧 技法07 已知an+2=pan+1+qan用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式的解题技巧 技法08 已知an−1−an=pan−1an用 1 an −1 an−1 =p 求通项公式的解题技巧 技法09 已知 an+1= man pan+q 用 1 an+1 =m q 1 an + m p 求通项公式的解题技巧 技法10 已知an+1= pa nq ( p>0,an>0)用lg an+1=q lg an+lg p 求通项公式的解题技巧 技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧 用an 与Sn 关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可. 例1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和．已知 ． (1)证明： 是等差数列； (2)若 成等比数列，求 的最小值． （1）因为 ，即 ①， 当 时， ②， ① ②得， ， 即 ， 即 ，所以 ， 且 ， 所以 是以为公差的等差数列． 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 与 的关系得到 为等比数列求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 即 ， 又因为 ，满足上式， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 则 . （2）因为 ， 所以 . 2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 与 的关系分析可得数列 是3 为首项，2 为公差的等差数列，结合等差数列通 项公式运算求解； （2）由（1）可得： ，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为 ，可得 ， 两式相减得 ， 整理得 ，可知数列 是3 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 ． （2）由（1）可得： ， 则 ， 所以 ． 3．（2023·广东·统考二模）记数列 的前n 项和为 ，已知 ，且满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前n 项和为 ，若 ， ， ，求 . 【答案】(1) (2)-36672 【分析】（1）利用 得到数列 为等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）求出 ，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）因为 ，则当 时， ， 两式相减可得 ，则 ， 且当 时， ，解得 ， 所以 是首项为 ，公比为2 的等比数列， 所以 ， 即 ； （2）因为 ， 则 . 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an+f (n),a1=A ，若{ f (n)为常数，构造成等差数列 f (n)为一次函数，构造等差求和 f (n)为指数函数，构造等比求和 f (n)为分式函数，构造裂项相消求和 例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ，求通项公式 ． 原递推式可化为 ，则 ， ，…， ，逐项相加，得 ，故 ． 1．（2023 上·江苏·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式． 【答案】 . 累加法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累加的类型，需强化练习. 【分析】得到 ，利用累加法求出通项公式. 【详解】由 得 ， 则 2．（2023·江苏南京·校考二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 . (1)求 的值，并求数列 的通项公式. (2)令 ，求数列 的前 项和. 【答案】(1) ， ， (2) 【分析】（1）根据递推公式分别计算 的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式； （2）错位相减法求和. 【详解】（1） ， 当 时， ；当 时， ， ， ， ， 又 （2）由（1）得 ， ， ， ， 3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到 ，累加可求出 ，得出 ，再利用 ，累加可求出 ，再次放缩可得 出 ． 【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得 由题意， ，即 ， ∴ ， 即 ， ， ，…， ， 累加可得 ，即 ， ∴ ，即 ， , 又 ， ∴ ， ， ，…， ， 累加可得 ， ∴ ， 即 ，∴ ，即 ； 综上： ． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩. 4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n 项和为 ， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累 乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解． 【详解】因为 ，所以 ， ． 由 ，即 根据累加法可得， ，当 时 ， 则 ，当且仅当 时等号成立， ， 由累乘法可得 ，且 ， 则 ，当且仅当 时取等号， 由裂项求和法得： 所以 ，即 ． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题 目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到 ，最后由裂项相消法求得 ． 技巧技法03 已知an+1=an⋅f (n)用累乘法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an⋅f (n),a1=A⇒ an+1 an =f (n)，若：f (n) 为{ 常数→等比数列 函数→累乘法 累乘法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累乘的类型，需强化练习. 例3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)证明： ． （1）∵ ，∴ ,∴ , 又∵ 是公差为 的等差数列， ∴ ,∴ , ∴当 时， ， ∴ , 整理得： , 即 , ∴ ， 显然对于 也成立， ∴ 的通项公式 ； 1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列 满足： . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前n 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用累乘法计算； （2）运用裂项相消法求和. 【详解】（1）由题意： ， ， ， ，将 代入上式也成立， ； （2） ， . 2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）解法一：由已知等式变形可得 ，计算出 的值，再利用累乘法可求得数列 的通项公式； 解法二：由已知条件计算出 的值，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数 列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式； （2）利用错位相减法求出 ，进而可证得结论成立. 【详解】（1）解：解法一：由题 ①， ，即 ②，由①②得 ， 由 得 ， 所以当 时， ， 也满足 ， 所以数列 的通项公式为 ； 解法二：由题， ①， ，即 ②，由①②得 ， 由 ，得 ， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ， 所以数列的通项公式为 ． （2）证明：由（1）知 ， 所以 ， 两式作差得 ， 所以 . 3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， . (1)求证：数列 为等差数列； (2)设 ，求数列 的前n 项和 . 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题 ，利用累乘法即可求解 ，进而可得 ，进而可 证等差； （2）由（1）得 ，由裂项求和即可求解. 【详解】（1）由题可得 ， 所以当 时， ， 易知 满足 ，所以 . 所以 ， 所以 是首项为1，公差为1 的等差数列. （2）由（1）可得 ， 所以 . 所以 . 技法04 已知an+1=pan+q用an+1+λ=p (an+λ)求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=pan+q,其中p,q为常数 构造：假设存在一个实数λ，使得：an+1+λ=p(an+λ)成立 ∴ an+1+λ an+λ =p ∴数列{an+λ}是以p为公比，以{a1+λ}为首项的等比数列， ∴an+λ=(a1+λ) pn−1⇒an=(a1+λ) pn−1−λ 此类型题关键在于是否存在这样的λ，使得{an+λ}为等比数列？ 可用待定系数展开an+1+λ=p(an+λ)⇒an+1=pan+( p−1) λ⇒λ=q p−1 ∴λ=q p−1 使得{an+λ}为等比数列 已知an+1=pan+q ，我们可以用待定系数法构造an+1+λ=p (an+λ) ，从而转化为我们熟悉的等比数列 求解，是高考的常考题型，需强化练习 例4．an+1=3an+8,a1=2, 求{an}通项公式? 解：假设存在一个实数λ，使得：an+1+λ=3(an+λ)成立 解得：λ=4 ∴an+1+4=3(an+4) ∴ an+1+4 an+4 =3 ∴数列{an+4}是以3为公比，以a1+4=6为首项的等比数列 ∴an+4=6×3n−1 ∴an=6×3n−1−4 1．（2023·湖南张家界·统考二模）数列 中， ， . (1)求数列 的通项公式 ； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知等式变形得出 ，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列 的通项公式，利用分组求和法可求得 . 【详解】（1）因为 ，所以 ， 又 ，所以数列 是以1 为首项，2 为公比的等比数列. ，即 . （2）由（1）可知 ， ，所以 ， 又由题知 . 2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 中， ，且 ， 为其前 项的和． (1)求数列 的通项公式； (2)求满足不等式 的最小正整数 的值； (3)设 ， ，其中 ，若对任意 ， ，总有 成立，求 的 取值范围． 【答案】(1) (2)14 (3) 【分析】（1）构造等比数列的形式即可求解； （2）数列分组求和后代入已知条件即可求解； （3）恒成立转化为最值即可求解 【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 而 ，所以 是以3 为首项， 为公比的等比数列； 所以 ，则 . （2） ， 所以 ， 由 得 ，则 ，所以 的最小值为14. （3） 恒成立，所以 ， 因为 ，而 ， 所以 ，所以 ， 由 得 ，所以 ，则有 ， 所以 ，解得 ， 因为 ，所以解得 . 【点睛】注意构造新数列，分组求和，并将恒成立转化为最值问题. 3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足 ， . (1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得 ; （2）根据裂项求和法可求出结果. 【详解】（1）因为 ， ，所以 ， ， 所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ，所以 . （2） , 所以 . 4．（2023·山东德州·三模）已知 为数列 的前 项和， ． (1)求数列 的通项公式 ； (2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式可得 ，采用两式相减的方法可得 ，从而构造数列，可求得 的通项公式； （2）由（1）的结论可得 的表达式，利用裂项求和法，可得答案. 【详解】（1）当 时， ，则 ， 因为 ， 所以 ， 两式相减得： ， 所以 ， ， ， ，则 ，即 也适合上式， 所以 是以5 为首项，公比为2 的等比数列， 故： ， 故 ； （2）由（1）得 ， 故 ， 当 时， ，故 . 5．（2023·贵州遵义·统考三模）已知 为数列 的前 项和，且满足 ， . (1)求证：数列 是等比数列； (2)若 ，记 为数列 的前 项和，求满足不等式 的 的最大值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）已知 与 的关系求解 ，然后证明即可； （2）由（1）求出 ，进而由裂项相消法求出数列 的前 项和，求解不等式即可. 【详解】（1）当 时， ，解得： . 当 时， ， 所以 ，即 ， 所以 所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 所以 ，所以 ， . . 所以 时，即 ，所以 ，所以 的最大值为 . 技法05 已知an+1=pan+f (n)用an+ An+B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项公式的解 题技巧 例5．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）在数列 中，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和． （1）因为 ， 所以 ，又 ， 所以 是首项为2，公比为2 的等比数列． 所以 ，即 ； 已知an+1=pan+f (n) 用an+ An+B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项，可以套模板来灵活解题，其本质是 待定系数，需强化练习. 1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在数列 中， ． (1)证明：数列 为常数列． (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）化简得 ，即可证明； （2）应用错位相减法即可求解. 【详解】（1）令 ，得 ，则 ． 因为 ①，所以 ②． ①-②得 ，即 ． 因为 ，所以数列 为常数列． （2）由（1）可得 ，所以 是公差为1 的等差数列， 所以 ． 因为 ，所以 ③， ④． ③-④得 ， 所以 ． 2．（2022 下·湖北·高二校联考阶段练习）在数列 中， ，且 . (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前n 项和 . 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知可得 ，即可得到证明；（2）由（1）的等比数列可得通项公式； （3）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：由于 ，所以 ， 又 ，所以 . 所以数列 是以2 为首项，3 为公比的等比数列. （2）由（1）知 ，所以 . （3）由题得 ， 所以 ，① 则 ，② 由①-②得， . 所以 . 技法06 已知an+1=pan+qn用 an+1 qn+1= p q⋅an qn + 1 q 求通项公式的解题技巧 例6．（2023·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为 (1)试求数列 的通项公式； (2)求 . （1）由题意 ，两边同时除以 ，将其变形为 ，即 ， 已知an+1=pan+qn 用 an+1 qn+1= p q⋅an qn + 1 q 求通项公式，其本质是除以一个指数式，是高考中的高频考题， 可灵活运用模板解题 由等差数列的定义可知 是以首项为 、公差为 的等差数列， 所以 ，即 . 1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ， ． (1)证明： 是等差数列； (2)求数列 的前 项积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据 与 的关系化简，可得 ，由等差数列的定义得证； （2）由（1）求出 ，再由累乘法求解. 【详解】（1）由 ，得 ． 所以 ， 即 ，整理得 ， 上式两边同时除以 ，得 ． 又 ，所以 ，即 ， 所以 是首项为2，公差为1 的等差数列． （2）由（1）知， ． 所以 ． 所以 ． 2．（2022 下·全国·高三校联考开学考试）已知数列 中， ， ， . (1)设 ，求证 是等差数列； (2)求 的通项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）式子变形后 ，可知 是首项 ，公差为1 的等差数列. （2）利用累加法和错位相减法即可得出结论. 【详解】（1）解：由已知可得： 即 即 ， 所以 是首项 ，公差为1 的等差数列. （2）由（1）知 则 得到 ①， ② ，得 . 技法07 已知an+2=pan+1+qan用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式的解题技 巧 例7．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列 满足 ， ， . (1)证明：数列 为等比数列. (2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 已知an+2=pan+1+qan用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式，其本质是待定系数法，是高考中的高频 考题，可灵活运用模板解题 （1） ， ． 已知 ， ，得 ，可得 ， 数列 为以2 为首项，以2 为公比的等比数列 1．（2024 上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ， ． (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2) . 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论结合等比数列通项公式，再利用累加法求解即得. 【详解】（1）数列 中， ，则 ， 由 ， ，得 ， 所以数列 是以1 为首项，2 为公比的等比数列. （2）由（1）知 ， 当 时， ， 满足上式， 所以数列 的通项公式是 . 2．（2023 下·吉林白城·高二校考阶段练习）已知数列 满足 (1)求数列 的通项公式 (2)设 为数列 的前n 项和，若 恒成立，求实数m 的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造新数列，利用累和法、等比数列前n 项和公式进行求解即可； （2）利用错位相减法，结合函数的单调性、一元