高考数学答题技巧题型18 4类数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合）（解析版）Word（27页）

题型18 4 类数列综合 （数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n 项和为 ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)若 ，数列 的前n 项和为 ，证明： ． 【详解】（1）由 得 ，则当 时，有 ， 技法01 数列中不等式的证明 技法02 数列中的不等式放缩 技法03 数列中的参数求解 技法04 数列与三角函数综合 数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生 具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习. 两式相减得 ， 整理得 ，即 ， 因此数列 是以 为公比的等比数列． （2）由（1）及 可得 ， 因此 ． 于是 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 故 ． 1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 为 ， 的等比中项. (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前 项和，证明： . 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）借助 与 的关系与等比中项的性质计算即可得； （2）借助裂项相消法可求得 ，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）因为 ，所以 ，① 当 时， ，② ①－②得 ，化简可得 ， ， 且当 时， 满足上式， 所以数列 是公差为2 的等差数列， 由题可得 ，故 ，解得 ， 所以 ， ； （2）证明：令 ， 所以 ， 又函数 在 上单调递增，所以 . 2．（2023·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列． (1)求数列 的通项公式． (2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知等比中项列等式，结合 与 的关系可得 的递推公式，然后利用构造法求 ， 再根据 与 的关系求通项； （2）根据裂项相消法求 ，然后可证明. 【详解】（1）由 成等比数列， 得 ， 所以 ． 整理，得 ，则 ． 又 ， 所以 是以2 为首项，3 为公差的等差数列， 所以 ，即 ． 当 时， ， 所以 ． 当 时， 不符合上式． 故 . （2）由（1）可知， ， 所以 ， 所以 ， 故 ． 3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知 为数列 的前 项和， ， ，记 . (1)求数列 的通项公式； (2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）借助 构造等比数列算出 ，即可求出 ； （2）将 裂项后求和，再分奇偶讨论即可得证. 【详解】（1）由 ，得 ， ， 则 ， ， ， 数列 是以为首项， 为公比的等比数列， ， ， . （2） ， ， ， 当 为奇数时， ， 当 为偶数时， ，由 ，可知 是递增数列， ， 综上， . 技法02 数列中的不等式放缩 （1） ，其中 ：可称 为“进可攻，退可守”，可依照所证不等 式不等号的方向进行选择。 注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列， 例如： ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还 可以构造放缩程度更小的，如： 放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观 察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习. （2） ，从而有： 注：对于 还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验 证不等关系。 （4） 可推广为： 例2．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)求 的通项公式； (2)设 ，证明： ． 【详解】（1）因为 ， ① 当 时， ， ② ① ②，得 ，所以 ， 又 时， ， 所以 ． （2）由（1）结合已知条件可得： ． 当 时， ， ，即 成立． 当 时， ， 所以 综上， ． 1．（2024·广东茂名·统考一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等 差数列. (1)求 的通项公式； (2)令 ， 为数列 的前 项积，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列定义可得 ，由 与 的关系即可得 ； （2）由 与 可得 ，即可得 ，由 ，可得 ，借助等比数列求和公式计算即可 得证. 【详解】（1）由 是首项为 、公差为 的等差数列， 故 ， 即 ， 当 时， ， 故 ， 当 时， ，符合上式， 故 ； （2）由 ， ， 故 ， 则 ， 由 ， 故 ， 则 . 2．（2023 上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列 的前n 项之积为 ，满足 （ ）. (1)设 ，求数列 的通项公式 ； (2)设数列 的前n 项之和为 ，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 时，有 ， 变形为 ，可得数列 为等比数列，可 利用首项和公比求通项公式； （2）利用数列求和的放缩法，结合函数单调性求最值，证明不等式. 【详解】（1）∵数列 的前n 项之积为 ，满足 （ ）， 时， ，解得 . ∴ 时， ，化为 ， 变形为 ， 又 ，∴ ， ， 数列 是首项为4 公比为2 的等比数列，∴ . （2）先证明左边：即证明 ， 由（1）可得： ，解得 ， 又由 ，解得 ， 又 ， 所以 ， 再证明右边： . ∴ ， 下面证明 ， 即证明 ， 设 ， ， 则 ，即证明 ， . 设 ， ， ， 则函数 在 上单调递增，∴ ， 即 ， ， ∴ . ∴ . 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是通过放缩法结合等比数列前 项和公式证明左边，对右边等价转 化为证明 ，再构造函数，利用导数证明即可. 3．（2023 上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项． (1)求证：数列 是等比数列； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设 ，构造法得到 ，即可证结论. （2）由（1）及放缩法得 ，再应用等比数列前n 项和公式求和，即可证结论. 【详解】（1）由题设 ，又 ， 所以 是首项、公比均为2 的等比数列. （2）由（1）知： ，则 ，显然 时 成立， 当 有 ，此时 ， 综上， ，得证. 4．（2023·湖北·模拟预测）设对任意 ，数列 满足 ， ，数列 满足 ． (1)证明： 单调递增，且 ； (2)记 ，证明：存在常数，使得 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由 可证明单调性，由反证法即可证明 ， （2）由裂项求和即可求解. 【详解】（1）证明：由于 ，则 ， 所以 ，即 单调递增． 假设存在 ，使得 ，则 ， 所以 ． 不妨取 ，即 ，即 ，则 ，这与任意 ， 恒成立相矛盾，故假设不成立，所以 ． （2）由（1）有 ，又 ，所以 ． 于是 ， 故可取 ，即有 ． 5．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， (1)求 和 (2)求证： ． 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）利用 可得 ，从而可求 及 . （2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立. 【详解】（1） 时， ， 时， ， 所以 ，所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列． 所以 ，即 ， 当 时， ， 当 时， ，不满足上式， 所以 ， （2）当 时， ，原式成立． 当 时， 所以 ． 技法03 数列中的参数求解 例3．（2023·河北·模拟预测）在数列 中， ， . (1)证明：数列 是等比数列； (2)记数列 的前 项和为 ，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范 对于此类含参数不等式愿型,大部分可以通过分离參数等方式转化为最值问题,对于求最值,需要分析单调性, 函数类型可通过运算法则或者求导进行判断,数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏上、 需强加练习. 围. 【详解】（1）由题意可得： ， 当 时，可得 ， 则 ， 所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列. （2）由（1）可得： ，则 ， 可得 ，则 ， 两式相减得： ， 所以 ， 因为 ，则 ， 原题意等价于关于 的不等式 恒成立，可得 ， 构建 ， 令 ，则 ，解得 或3， 则 ，即当 或 时， 取到最大值 ， 可得 ，所以实数 的取值范围 . 1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知 为数列 的前 项和，且 为正项等比数列， ， . (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)设 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用 整理化简可得 ，再结合 得到数 列 为等差数列，即可求出数列 的通项公式，将数列 的通项公式代入 ，计算 即可得结论； （2）利用数列 的通项公式即可得数列 的通项公式； （3）先利用错位相减法求出 ，再将 恒成立转化为 ，构造 ，计算 的正负确定其单调性，进而可得最值. 【详解】（1）当 时， ，解得 ； 当 时， ， 所以 ， 整理得 ，① 所以 ，② 由①-②得 ，所以数列 为等差数列， 因为 ，所以数列 的公差为 ， 所以 . 设 ， 则 ， 因为 （常数）， 所以数列 是等差数列； （2）设数列 的公比为 ， 结合（1）及已知得 ， 解得 ，所以 ； （3）由（1）（2）得， ， 所以 ，① 又 ② ①-②，得 ， 所以 ， 由 ，解得 . 设 ，则 ， 故 ， 因为 ， 故 恒成立，知 单调递减， 故 的最大值为 ，则 ，即 的取值范围为 . 2．（2024·云南曲靖·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，求使得 成立的 的最小值． 【答案】(1) ； (2)10. 【分析】（1）根据 关系及递推式可得 ，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结 果； （2）应用裂项相消法求 ，由不等式能成立及指数函数性质求得 ，即可得结果. 【详解】（1）当 时， ， 所以 ，则 ，而 ， 所以 ，故 是首项、公比都为2 的等比数列， 所以 . （2）由 ， 所以 ， 要使 ，即 ， 由 且 ，则 . 所以使得 成立的 的最小值为10. 3．（2024·全国·模拟预测）设 ， 分别为数列 ， 的前n 项和，且 ． (1)若 ， ，求数列 的通项公式； (2)若 ， ，设m 为整数，且对任意的 ， 恒成立，求m 的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据题意得到 通项公式，根据 和 分类讨论求数列 的通项公式即可； （2）先证明 是等比数列，并求出其通项公式，再利用错位相减法求 ，最后求 的取值范围即可得到m 的最小值. 【详解】（1）当 时， ， 当 时， ， 显然 不适合上式． 所以 ， 由 ，得当 时， ， 又因为 ，所以 ， 当 时， ， 所以数列 从第二项开始构成一个等差数列， 则当 时， ． 故数列 的通项公式为 （2）由 和 ，得 ， 所以 ，又 ， 所以 是以1 为首项，2 为公比的等比数列，则 ， 设 ， 则 ，① 所以 ，② ① ②得， ， 所以 ． 设 ， 由于 ，所以 ， 所以数列 是递减数列，则 ，所以 ． 由题意可知， ， ，故m 的最小值为6． 4．（2023·浙江·统考一模）已知等差数列 满足 . (1)若 ，求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 ， ，且 是等差数列，记 是数列 的前 项和.对任意 ，不等式 恒成立，求整数 的最小值. 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）设出公差，得到方程，求出公差，得到通项公式； （2）法一：设 ， 的公差为 ，代入题目条件变形后对照系数得到方程组，求出 ， 得到 ， ，利用放缩法和裂项相消求和得到 ，得到整数 的最 小值； 法二：记 的公差为 ，由 ， ， 结合 求 出 ，进而得到 ，进而求出 ，进而得到 ，利用放缩法和裂项 相消求和得到 ，得到整数 的最小值. 【详解】（1）设数列 的公差为 ，则 ，得 ， 故 或 . （2）法一：由 为等差数列，可设 ，记 的公差为 ， 故 . 所以 ，显然 ， ， 平方得 ，该式对任意 成立， 故 ，解得 . 故 . 因此 ， 一方面， ， ， 故 ， 另一方面， . 故整数 的最小值为3. 法二：记 的公差为 ， 则 ， ， ， 上式平方后消去 可得 ， 因为 是等差数列，所以 ，故 ， 将其代入 中，得 ， 解得 或 ， 当 时， ，解得 ， 故 ， ，故 ， 当 时， ，此时 无意义，舍去， 因此 ， 一方面， ， ， 故 ， 另一方面， . 故整数 的最小值为3. 【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明， 又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强. 技法04 数列与三角函数综合 例4．（2023·山东济南·一模）已知函数 ，记 的最小值为 ，数列 的前n 项和为 ，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．若数列 满足 ，则 数列、三角是高中数学的重要内容，从本质上看它们是特殊的函数，都具有函数的某些性质。数列也可和 三角函数综合考查，需强化复习 【详解】A 选项， ，故 ， 由基本不等式可得 ，故 ，当且仅当 时，等号成 立， 故 ，A 正确； B 选项，由柯西不等式得 ， 当且仅当 时，等号成立， 故 ， ，故 ，当且仅当 时，等号成立， 故 ， 依次类推，可得 ，当且仅当 等号成立， 故 ，B 错误； C 选项，设 ， ， 则 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 所以 ，故 在 上恒成立， ，C 正确； D 选项， ， ， 故 ，D 正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型： ， ， 等； 指数型： ， 等， 根式型： 等， 对数型： ， 且 ； 1．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2)当 为偶数时， ，当 为奇数时， . 【分析】（1）根据等差数列前 和公式即可求出 ，则得到其通项公式； （2）分 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得 是公差为2 的等差数列，且 ， 即 ，又因为 ，所以 ， 所以数列 的通项公式 . （2）由（1）知 ， 当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ， 经检验， 时，满足 ， 综上，当 为偶数时， ， 当 为奇数时， . 2．（2023·全国·模拟预测）设正项数列 满足 ， ， ．数列 满足 ， 其中 ， ．已知如下结论：当 时， ． (1)求 的通项公式． (2)证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正切的二倍角公式可推出 ，可知 是公比为 的等比数列，利用等比数列 的通项公式即可求解； （2）由于 ，可证 ，化简 ，由已知可得 ， 再利用等比数列的求和公式可证 ，得证. 【详解】（1）由于 ，则 ， 由于 ，所以 ，即 ， 又由 可知 ， 从而 是首项为 ，公比为 的等比数列， 因此 . （2）一方面，由于 ，因此 ． 另一方面，由（1）中 ，可得 ． 由于 ，则 ，即 ， 因此， ， 综上， . 3．（2024 上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a， ， 且 ．若 则称a 与b 关于模m 同余，记作 （modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程 （mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ． ①若 （ ），数列 的前n 项和为 ，求 ； ②若 （ ），求数列 的前n 项和 ． 【答案】(1) 或 （ ）． (2)①3036；② 【分析】（1）根据带除的定义求解， （mod3），即 能被3 整除，从而得出 或 能 被3 整除； （2）①首先求出 （分奇偶项），确定出 ，用并项求和法求和；②求出 ，利用两角差的正切公式变 形通项，结合裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意 （mod3），所以 或 （ ），即 或 （ ）． （2）由（1）可得 为 ，所以 ． ①因为 （ ），所以 ． ． ② （ ）． 因为 ， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解 题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差 的正切公式等等知识才能顺利求解．