相似形 模型（四十三）——旋转相似模型 ◎结论1：如图 △B，△BDE 为等腰直角三角形，∠B＝∠BDE＝90°，E 与D 相交于 点P，则①△BD∽△BE，相似比为1∶ ❑ √2，②D 与E 的夹角为45° 证明：①将△BD 绕点B 顺时针旋转45°，再将三边扩大到原来的 ❑ √2倍 D,E ∵ 夹角45°， ∠DB ∴ ＝∠EB，∠P＝∠B D² ∵ ＝P²＋PD²，B²＝PB²＋P2,D²＝P²＋PD2,B²＝P²＋PB2, D² ∴ ＋B²＝D²＋B2 ①旋转前有一对相似三角形，旋转后新产生一对相似三角形; ②证明新三角形相似采用"SS 判定法" ③若看不出相似三角形，则需作辅助线构造相似三角形 相同图形在一起，要把边角边想起 1．（2021·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形BD 的一边D 的延长线上，连结G，E ∠ ， DM= M=90° ∴∠ ∠ ， DM M ∴△ ∽△ ， ∴ ， 即 ， 解得：= 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较 强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出的长 2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，D 为斜边B 上一点（不与点

相似形 模型（四十三）——旋转相似模型 ◎结论1：如图 △B，△BDE 为等腰直角三角形，∠B＝∠BDE＝90°，E 与D 相 交于点P，则①△BD∽△BE，相似比为1∶ ❑ √2，②D 与E 的夹角为45° 证明：①将△BD 绕点B 顺时针旋转45°，再将三边扩大到原来的 ❑ √2倍 D,E ∵ 夹角45°， ∠DB ∴ ＝∠EB，∠P＝∠B D² ∵ ＝P²＋PD²，B²＝PB²＋P2,D²＝P²＋PD2,B²＝P²＋PB2, D² ∴ ＋B²＝D²＋B2 ①旋转前有一对相似三角形，旋转后新产生一对相似三角形; ②证明新三角形相似采用"SS 判定法" ③若看不出相似三角形，则需作辅助线构造相似三角形 1．（2021·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形BD 的一边D 的延长线上，连结 G，E 交于点，若 【类比探究】 （2）如图2 所示，△B 和△DE 是有公共顶点的含有 角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明 理由； 【拓展延伸】 （3）如图3 所示，△DE 和△B 是有公共顶点且相似比为1 : 2 的两个等腰直角三角形，将△DE 绕点自由旋 转，若 ，当B、D、E 三点共线时，直接写出BD 的长．

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 二次函数与相似问题 【真题再现】 1．（2020 年连云港中考第26 题）在平面直角坐标系xy 中，把与x 轴交点相同的二次函数 图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y¿ 1 2x2−3 2 x 2 ﹣的顶点为D，交x 轴于点、 B（点在点B 左侧），交y 轴于点．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1 （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣P 的值最大时，求点P 的坐标； （3）设点Q 是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△B 相似， 求其“共根抛物线”L2的顶点P 的坐标． 【分析】（1）由题意设抛物线L2的解析式为y＝（x+1）（x 4 ﹣），利用待定系数法求 出即可解决问题． （2）由题意BP＝P，如图1 中，当，，P （2）直线l 与直线B 交于点，是线段D 上一点（不与点D、重合），点的纵坐标为．过 点作直线与线段D、DB 分别交于点P、Q，使得△DPQ 与△DB 相似． ①当¿ 27 5 时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的的值，有且只有一个△DPQ 与△DB 相似，请直接写出的取值范围 9 5 ＜＜21 5 ． 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点（2，9 5 ），（−5

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 ∵∠MB＝ ∠B，∴∠MB＝ ∠M M'=∠M'B，∵B=B，∴△BM≌△BM'，∴M= M'， ∵M'=- M'， ∴M=-M．故答是：M=-M． 模型2 半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形BD 中，∠EF 的两边分别交B、D 边于M、两点，且∠EF＝45° 结论：如图1，△M∽△FE 且 ．（思路提示：∠M=∠EF，∠M=∠FE）； 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△M∽△DF 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠B＝90°，

第27 章 相似章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点P 在△B 的边上，要判断△BP∽△B，添加 一个条件，不正确的是（ ） ．∠BP=∠ B．∠PB=∠B ．AP AB = AB AC D．AB BP = AC CB 【答】D 【详解】解：．当∠BP=∠时， CD，则△ABE与△CDE的 周长比为（ ） ．1：4 B．4：1 ．1：2 D．2：1 【答】D 【分析】运用格图中隐藏的条件证明四边形DBM 为平行四边形，接着证明 △ABE∽△CDE，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出． 【详解】如图：由题意可知，DM=3，BC=3， ∴DM=BC， 而DM ∥BC， ∴四边形DBM 为平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE， △ABE C △CDE = AB CD = ❑ √2 2+4 2 ❑ √1 2+2 2 =2❑ √5 ❑ √5 =2 1． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟 练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 4．（3 分）（2022·全国·九年级专题练习）P是线段AB上一点（AP>BP），则满足 AP AB = BP AP

相似形 模型（四十一）——射影定理模型 ◎结论：如图，∠B＝90º，D⊥B，则： 1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在 中， ， 于点D，下列结论错误的有 （ ）个 ①图中只有两对相似三角形；② ；③若 ，D＝8，则D＝4． 公共边2＝共线边乘积 D²＝D·DB D²＝D·DB 记：D 用了两次，D 能写出两条共线线段 同理：²＝D·B B²＝BD·B 等面积：·B＝B·D ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．0 个 【答】 【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出BD，再利用勾股定 理求出D 即可． 【详解】解：∵∠B=90°，D⊥B， ∴ ， ∵ ， ∴△D∽△B∽△BD，故①错误， ∵S△B= •B= B•D， 中，D= ，故③正确， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题， 属于中考常考题型． 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，已知D＝ ， 那么B＝_______． 【答】 【分析】证明△BD∽△B，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠B＝90°，D⊥B，

相似形 模型（四十）——“”、“8”字模型 ◎结论1：如图 ，已知∠1=∠2 结论∶△DE∽△B AD AB ＝AE AC＝DE BC 3 组 字模型∶－DE－B, －D－BM, －E－M; 3 组8 字模型∶DE－－B，D－－M, E－－BM 粽子模型 ： 由字型可推导出：E＝AD∙BC AD+BC， 1．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于 点G，，则下列结论中错误的是（ ） 拓展 鸡（积）在河（和）上飞 ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵B D ∥， ∴ ， ∴选项正确，不符合题目要求； ∵E DF ∥ ， ∴∠GE=∠D，∠EG=∠D， ∴△EG∽△D， ∴ ， 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此 题的关键． 1．（2021·海南海口·九年级期末）如图，在▱BD 中，E 为D 的中点，连接E、BD，且E、BD 交于点F，则 ： 为（ ） ．1：5 B．4：25 ．4：31 D．4：35 【答】 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得 ，然后求出 和 相似，再根据相似三角形面积的 比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设

二次函数背景下的相似三角形的存在性 二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1 先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2 简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3 复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标， 继而用待定系数法求函数解析式； 4 还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5 5 当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边 的数量关系转化到三角形的相似问题； 6 考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。 【备注】： 1 以下每题法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现 一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、 轴交于点（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点，顶点为点D． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）联结B、BD，求∠BD 的正切值； （3）若点P 为x 轴上一点，当△BDP 与△B 相似时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）将（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+， 得 ， 解得： ， 所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3． 当x＝0 时，y＝﹣3． ∴点的坐标为（0，﹣3）．

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 （3）如图3，在四边形BD 中，B＝B，∠B+∠D＝180°，点M、分别在D、D 的延长线上，若∠MB＝ ∠B，试探究线段M、M、的数量关系为 ． 模型2 半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形BD 中，∠EF 的两边分别交B、D 边于M、两点，且∠EF＝45° 结论：如图1，△M∽△FE 且 ．（思路提示：∠M=∠EF，∠M=∠FE）； 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△M∽△DF 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠B＝90°，

专题17 全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中 理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会 添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 模型2 对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向 两边做垂线，从而证明两个三角形相似 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△B 中，∠＝∠EF＝90°，点是B 的中点， 辅助线：过点作D⊥，垂足为D，过点作⊥B，垂足为， 2）对角互补相似2 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，∠B＝ 辅助线：作法1：如图1，过点作F⊥，垂足为F，过点作G⊥B，垂足为G； 结论：①△EG∼△DF；②E＝D· （思路提示： ，F=G，在Rt△G 中， ） 辅助线：作法2：如图2，过点作F⊥，交B 于F； 结论：①△FE∼△D；②E＝D· （思路提示： ，在Rt△F 中， ） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形BD