专题16 全等与相似模型-半角模型（解析版）

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半 角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； 结论：①△BE≌△DG；②△EF≌△GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的周长=2B； ⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形，∠DE=45°； 结论：①△BD≌△G；②△DE≌△GE；③∠EG==90°；④DE2＝BD2＋E2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件： B 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△DG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋F；④ EF 的周长=2B； ⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EF。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件： B 是等边三角形，∠ED=30°； 结论：①△BD≌△F；②△DE≌△FE；③∠EF=120°；④DE2＝( BD＋E)2+ ； 5）半角模型（ - 型） 条件：∠B= ，B=，∠DE= ； 结论：①△BD≌△F；②△ED≌△EF；③∠EF=180°- 。 例1．（2022·黑龙江·九年级阶段练习）已知四边形BD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与 点重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线B，D 于M，． (1)如图1，当M，分别在边B，D 上时，求证：BM+D=M (2)如图2，当M，分别在边B，D 的延长线上时，请直接写出线段BM，D，M 之间的数量关系 (3)如图3，直线与B 交于P 点，M=10，=6，M=8，求P 的长． 【答】（1）见解析；（2） ；（3）3 【分析】（1）延长 到 使 ，连接G，先证明 ，由此得到 ， ，再根据 ， ，可以得到 ，从而证明 ，然后根据全等三角形的性质即可证明 ；（2）在BM 上取一点G，使得 ，连接G，先证明 ，由此得到 ， ，由此可得 ，再根据 可以得到 ，从而证明 ，然后根 据全等三角形的性质即可证明 ；（3）在D 上取一点G，使得 ，连接G，先证明 ，再证明 ，设 ，根据 可求得 ，由此可得 ，最后再证明 ，由此即可求得答． 【详解】（1）证明：如图，延长 到 使 ，连接G， ∵四边形BD 是正方形，∴ ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， ，∴ ， ， ， 在 与 中， ， ， ， 又∵ ， ， ； （2） ，理由如下：如图，在BM 上取一点G，使得 ，连接G， ∵四边形BD 是正方形，∴ ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ∴ ，∴ ， 又 ， ， 在 与 中， ， ， ， 又∵ ， ，∴ ，故答为： ； （3）如图，在D 上取一点G，使得 ，连接G， ∵四边形BD 是正方形，∴ ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ，∴ ，∴ ， 又 ， ， 在 与 中， ， ， ， 设 ，∵ ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，解得： ，∴ ，∵ ，∴ ， 在 与 中， ， ， ，∴P 的长为3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等 三角形的判定与性质是解决本题的的关键． 例2．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△B 中，∠B=90°，=B，点P 在线段B 上，作射线P（0°＜∠P ＜45°)，射线P 绕点逆时针旋转45°，得到射线Q，过点作D⊥P 于点D，交Q 于点E，连接BE．(1)依题意 补全图形；(2)用等式表示线段D，DE，BE 之间的数量关系，并证明． 【答】(1)作图见解析．(2)结论：D+BE=DE．证明见解析． 【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：D+BE=DE．延长D 至F，使DF=DE，连接F．利用全 等三角形的性质解决问题即可． （1）解：如图所示： （2）结论：D+BE=DE． 理由：延长D 至F，使DF=DE，连接F．∵D⊥P，DF=DE，∴E=F，∴∠DF=∠DE=45°， ∵∠B=90°，∴∠D+∠EB=45°，∵∠D+∠F=∠DF=45°，∴∠F=∠EB， 在△F 和△BE 中 ，∴△F≌△BE（SS），∴F=BE，∴D+BE=DE． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例3．（2022 秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形 中，在边上取两点 使 ．若 ， ， ， 则以 为边长的三角形的形状为（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．随 的值而定 【答】 【分析】将△BM 绕点B 顺时针旋转60°得到△B，连接，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可 得：∠BM=∠B，然后依据全等三角形的判定定理可得△BM≌△B，由全等三角形的性质可将x、m、放在△ 中，即可确定三角形的形状． 【详解】解：如图所示：将△BM 绕点B 顺时针旋转60°得到△B，连接， 由旋转性质可知，BM=B，=M， ， ， ∵△B 是等边三角形，∴∠B=∠B= =60° ∠ ，∵∠MB=30°，∴∠BM+∠B=30°， ∴∠B=∠B+∠B=∠BM+∠B =30°，∴∠BM=∠B， 在△BM 与△B 中， ，∴△BM≌△B（SS），∴M==x， ∵∠B= =60° ∠ ，=M=m，∴∠=120°， ∴以x，m，为边长的三角形△是钝角三角形．故选：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利 用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题， 例4．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，△B 中，∠B＝120°，B＝，点D 为B 边上一点．点E 为线段D 上一点，且E＝2，B＝ ，∠DE＝60°，则DE 的长为 ______． 【答】 【分析】将 绕点逆时针旋转 至 ，连接ME，过M 作 于Q，过作 于 F，由旋转的性质得 ，设 ，则 ， ，证明 ， 得 ，最后利用勾股定理来解答． 【详解】解：如图，将 绕点逆时针旋转 至 ，连接ME，过M 作 于Q，过作 于F， ∵ ， ， ，B＝ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ． 在 中， ．∵ ，∴ 设 ，∴ ， ，∴ ． ∵ ， ，∴ ，∴ ． ∵ ．在 和 中 ，∴ ， ∴ ，由勾股定理得： ， ∴ ，∴ ，即 ．故答为： ． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形有判定和性质，勾股定 理，旋转的性质，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键． 例5．（2022·广东广州·二模）如图，点 为等边 外一点， ， ，点 ， 分 别在 和 上， 且 ， ， ，则 的边长为______． 【答】 【分析】先证明∠DBM=∠D=90°，如图，延长至，使=BM，连接D，再证明△DBM≌△D（SS）， 证明 △MD≌△D（SS），可得M==BM+，从而可得答． 【详解】解：∵△B 为等边三角形∴∠B=∠B=60°， ∵∠BD=120°，BD=D， ∴∠DB=∠DB= ×（180°-120°）=30°， ∴∠DBM=∠D=90°， 如图，延长至，使=BM，连接D， ∴∠D=90°， ∴∠DBM=∠D， 在△DBM 和△D 中， ， ∴△DBM≌△D（SS）， ∴DM=D，∠BDM=∠D， ∵∠BDM+∠D=60°， ∴∠D+∠D=60°， ∴∠MD=∠D， 在△MD 和△D 中， ， ∴△MD≌△D（SS），∴M==BM+， ， ， ， 即等边三角形的边长为： 故答为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形 是解本题的关键． 例6．（2023 春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：_____ ______； （2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且 ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系． 【答】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【分析】（1）延长 到 ，使 ，连接 ．证明 ，则 ， ， ，证明 ，得出 ，由此可得 ， ； （2）思路和作辅助线的方法同（1）； （3）根据（1）的证法，可得出 ， ，那么 ． 【详解】解：（1）延长 至 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， 在 和 中，∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，且 ∴ ，故答为： ． （ ）解：（）中的结论仍成立，证明：如图所示，延长 至 ，使 ， ∵ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，即 ． （） ，证明：如图所示，在 上截取 使 ，连接 ， ∵ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，且 ，∴ ． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有 明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形． 例6（2023 山东八年级期中）综合与实践 （1）如图1，在正方形BD 中，点M、分别在D、D 上，若∠MB＝45°，则M，M，的数量关系为 ． （2）如图2，在四边形BD 中，B∥D，B＝B，∠+∠＝180°，点M、分别在D、D 上，若∠MB＝ ∠B，试探 索线段M、M、有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形BD 中，B＝B，∠B+∠D＝180°，点M、分别在D、D 的延长线上，若∠MB＝ ∠B，试探究线段M、M、的数量关系为 ． 【答】（1）M=M+；（2）M=M+，理由见解析；（3）M=-M，理由见解析 【详解】解：（1）如图，把△BM 绕点B 顺时针旋转使B 边与B 边重合，则M=M'，BM=BM'，∠=∠BM'， ∠BM=∠M'B， 在正方形BD 中，∠=∠BD=∠B=90°，B=B ，∴∠BM'+∠BD=180°， ∴点M'、、三点共线，∵∠MB=45°，∴∠BM+∠B=45°， ∴∠M'B=∠M'B+∠B=∠BM+∠B=45°，即∠M'B=∠MB， ∵B=B，∴△BM≌△BM'，∴M= M'，∵M'= M'+，∴M= M'+=M+； （2）M=M+；理由如下： 如图，把△BM 绕点B 顺时针旋转使B 边与B 边重合，则M=M'，BM=BM'，∠=∠BM'，∠BM=∠M'B， + ∵∠∠＝180°，∴∠BM'+∠BD=180°，∴点M'、、三点共线， ∵∠MB＝ ∠B，∴∠BM+∠B= ∠B＝∠MB，∴∠B+∠M'B =∠MB，即∠M'B=∠MB， ∵B=B，∴△BM≌△BM'，∴M= M'，∵M'= M'+，∴M= M'+=M+； （3）M=-M，理由如下：如图，在上截取 M'=M，连接B M'， ∵在四边形BD 中，∠B+∠D＝180°，∴∠+∠BD=180°， ∵∠BM+∠BD=180°，∴∠BM=∠，∵B＝B，∴△BM≌△B M'， ∴M= M'，BM=B M'，∠BM=∠B M'，∴∠M M'=∠B， ∵∠MB＝ ∠B，∴∠MB＝ ∠M M'=∠M'B，∵B=B，∴△BM≌△BM'，∴M= M'， ∵M'=- M'， ∴M=-M．故答是：M=-M． 模型2 半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形BD 中，∠EF 的两边分别交B、D 边于M、两点，且∠EF＝45° 结论：如图1，△M∽△FE 且 ．（思路提示：∠M=∠EF，∠M=∠FE）； β α β α 45° A B C D E F N M 图1 图2 结论：如图2，△M∽△MD，△M∽△B； 结论：如图3，连接，则△MB∽△F，△D∽△E．且 ； M N F E D C B A 45° 45° A B C D E F N M 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△M∽△DF 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠B＝90°， ； 结论：①△BE∽△DE∽△D；② ；③ （ ） （2）含60°半角模型 条件：如图1，已知∠B＝120°， ； 结论：①△BD∽△E∽△B；② ；③ （ ） 例1．（2023·山东济南·九年级期中）如图，在正方形 中，点E、F 分别是 、 边上的两点，且 ， 、 分别交 于M，．下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ） ．①②③④ B．①②③ ．①③ D．①② 【答】 【分析】①转证B:B=DM:B，因为B=D，所以即证B:B=DM:D．证明△B∽△MD；②把△BE 绕点逆时针旋转 90°，得△D 证明△F≌△FE（SS)；③即证M:=F:E，证明△M∽△FE(两角相等)；④由②得BE 十DF=EF，当E 点与B 点重合、F 与重合时，根据正方形的性质，结论成立． 【详解】① ∠B=∠BM+∠M=∠BM+45°， ∠MD=∠BM+∠BM=45°+∠BM， ∠B=∠MD． 又∠B=∠DM=45°， △B∽△MD， B:B＝DM:D， D=B， ．故①正确； ②如图，把△BE 绕点逆时针旋转90°，得到△D， ∠BD=90°，∠EF=45°， ∠BE+∠DF=45°． ∠EF=∠F， E=，F=F， △EF≌△F， ∠F=∠FE，即F 平分∠DFE，故②正确； ③ B∥D， ∠DF=∠B， ∠FE=∠FD，∠B=∠MD， ∠FE=∠M， 又∠M=∠FE， △M∽△FE， M:F=:E，即M·E=·F，故③正确； ④由②得BE+DF=D+DF=F=FE，过作⊥BD，作G⊥EF， 则△FE 与△M 的相似比就是G:，易证△DF≌△GF（S)， 则可知 ，从而得证，故④正确，故选： ． 【点睛】此题考查了正方形的性质、相似（包括全等)三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点，综合性 极强，难度较大． 例2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为， 边上的点．若 ， ，则 的长为 ． 【答】3 【分析】先做辅助线，作出相似三角形，再用等腰直角三角形的性质，相似的判定和性质即可求得 的 长． 【详解】在 上作点G，使 ，在 上作点，使 ， ∵ ∴ 又∵ ∴ ， ∴ 设 ,则 同理可得 ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故填：3 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，严格的逻辑思维时解题的 关键，做辅助线时解题的难点． 例3．（2023 秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知 中， ， ，点 、 在 边 上， ．(1)求证： ；(2)当 ， 时，求 的长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据已知条件得出 ， ，又 ，根据两边成比例夹角相等 证明 ，根据相似三角形的性质即可得证； （2）过点 作 于点 ，勾股定理求得 ，由（1）可知 ，根据相似三角形的性 质列出比例式，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ ∵ ∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ ，即 ； （2）解：如图，过点 作 于点 ，∴ ， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ，∴ ∵ ，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，在 中， ， 由（1）可知 ∴ ， 设 ，∴ 解得： ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例4．（2023·江苏无锡·九年级期中）如图，在 中， ， ，点D、E 都在边 上， ．若 ，则 的长为 ． 【答】 / 【分析】将 绕点逆时针旋转120°得到 ，取 的中点G，连接 、 ，由 ， ，可得出 ，根据旋转的性质可得出 ，结合 可得 出 为等边三角形，进而得出 为直角三角形，求出 的长度以及证明全等找出 ，设 ，则 ，在 中利用勾股定理可得出 ， 利用 可求出x 以及 的值，此题得解． 【详解】解：将 绕点逆时针旋转120°得到 ，取 的中点G，连接 、 ，如图所示： 过点作 于点，如图， ∵ ， ，∴ ， ． 在 中， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ．∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ 为等边三角形， ∴ ，∴ ，∴ 为直角三角形． ∵ ，∴ ， ∴ ． 在 和 中， ，∴ ，∴ ． 设 ，则 ， 在 中， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ．故答为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x 的方程 是解题的关键． 例5．（2023 秋·江苏泰州·九年级校考期末）（1）如图1， 、 为等边 中 边所在直线上两点， ，求证： ；（2） 中， ，请用不含刻度的直尺和圆规在 上求作两点 、 ，点 在点 的左侧，使得 为等边三角形； （3）在（1）的条件下， 为 边上一点，过 作 交 延长线于点 ， 交 延长 线于点 ，若 ， ， ，求 的值．（用含有 的代数式表示） 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 ，再由 ，可得 ，从而得到 ，即可； （2）作 ，分别交 于点B，，即可； （3）根据等边三角形的性质以及 ，可得 ，再由