模型43 相似形——旋转相似模型-解析版

相似形 模型（四十三）——旋转相似模型 ◎结论1：如图 △B，△BDE 为等腰直角三角形，∠B＝∠BDE＝90°，E 与D 相交于 点P，则①△BD∽△BE，相似比为1∶ ❑ √2，②D 与E 的夹角为45° 证明：①将△BD 绕点B 顺时针旋转45°，再将三边扩大到原来的 ❑ √2倍 D,E ∵ 夹角45°， ∠DB ∴ ＝∠EB，∠P＝∠B ∠BD ∵ ＝45°－∠BE ∠EB＝45°－∠BE ∠DB ∴ ＝∠EB BD BE ＝BA BC ＝1 ❑ √2 △BD∽△BE ∴ ∴DA EC ＝BD BE ＝1 ❑ √2 ②∵△BD∽△BE，∴∠BD＝∠BE, ∠P ∴ ＋∠E＝∠BD＋∠B＋∠E＝∠BE＋∠E＋∠B＝∠B＋∠B＝45°＋90°＝135° ∠P ∴ ＝180°－∠E－∠P＝45° ∴D 与E 的夹角为45º。 【结论2】如图 ，Rt△B∽Rt△D ，则①△∽△BD，②⊥BD, D ③ 2＋B²＝D²＋B2 【证明】 ∠P ∵ ＝90°＋∠B ∠BD＝90°＋∠B ∠P ∴ ＝∠BD △B∽△D ∵ ，∴AO CO ＝OB OD ，∴AO OB ＝CO OD △∽△BD ∴ ∠ ∴ ＝∠BD ∠M ∵ ＝∠BMP ∠M ∴ ＝∠BPM＝90° 即⊥BD D² ∵ ＝P²＋PD²，B²＝PB²＋P2,D²＝P²＋PD2,B²＝P²＋PB2, D² ∴ ＋B²＝D²＋B2 ①旋转前有一对相似三角形，旋转后新产生一对相似三角形; ②证明新三角形相似采用"SS 判定法" ③若看不出相似三角形，则需作辅助线构造相似三角形 相同图形在一起，要把边角边想起 1．（2021·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形BD 的一边D 的延长线上，连结G，E 交于 点，若 ， ，则的长为________ 【答】 【分析】连接EG，与DF 交于，设D 和交于M，证明△G DM ∽ ，得到 ，从而求出DM 的长，再通过勾股 定理算出M 的长，通过证明△DG DE ≌△ 得到∠DG= DE ∠ ，从而说明△DM M ∽△ ，得到 ，最后算出的长 【详解】解：连接EG，与DF 交于，设D 和交于M， G=90° ∠ ，D=F=E=G， MD= G ∠ ∠，∠MD= G=90° ∠ ， G DM ∴△∽ ， ∴ ， ∵ ， DF=EG=2, ∴ D=G=1 ∴ ， D=B=3 ∵ ， ∴ ， 解得：DM= ， M= ∴ ，M= ， DM+ MDG= EDG+ DG ∵∠ ∠ ∠ ∠ ， DG= ED ∴∠ ∠ ， 在△DG 和△DE 中， ， DG DE ∴△ ≌△ （SS）， DG= DE ∴∠ ∠ ， MD= M ∵∠ ∠ ， DM= M=90° ∴∠ ∠ ， DM M ∴△ ∽△ ， ∴ ， 即 ， 解得：= 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较 强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出的长 2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，D 为斜边B 上一点（不与点 B，重合），将线段D 绕点顺时针旋转90°得到E，连接E，则线段BD 与E 的数量关系是______，位置关系是____ __； 【探究证明】如图2，在Rt△B 和Rt△DE 中，∠B＝∠DE＝90°，B＝，D＝E，将△DE 绕点旋转，当点，D，E 在同一 条直线上时，BD 与E 具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BD 中，∠BD＝90°，B＝2D＝4，过点作⊥BD 于．将△D 绕点顺时针旋转，点的对应点 为点E．设旋转角∠E 为 （0°＜ ＜360°），当，D，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度． 【答】BD＝E，BD⊥E； BD⊥E，理由见解析；图见解析， 【分析】（1）证明△BD E ≌△，根据全等三角形的性质解答； （2）连接BD，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论； （3）如图3，过作F E ⊥，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）BD＝E，BD⊥E； （2）BD⊥E．理由如下：在Rt△B 和Rt△DE 中，B＝，D＝E，∠E＝45°，∵∠B＝∠DE＝90°，∴∠BD＝∠E， ∴△E≌△BD， ∴∠BD＝∠E＝45°，∴∠BDE＝∠BD＋∠DE＝90°，∴BD⊥E． （3）如图所示，过点作F⊥E，垂足为点F． 根据题意可知，Rt△B∽Rt△ED，∠B＝∠ED， ∴ ，∴ ． ∵∠B＝∠ED＝90°，∴∠BE＝∠D，∴△BE∽△D， ∴∠BE＝∠D，∠BE＋∠DE＝∠DE＋90°， ∴∠BE＝90°，∴BE⊥E． 在旋转前，在Rt△BD 中，∠BD＝90°，B＝2D＝4， ∴ ，∵⊥BD， ∴ ，∴ ． ∴ ， 在Rt△D 中，D 边上的高 ，旋转后，得 ， ∴ ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰 三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． 1．（2022·全国·九年级专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点为公共 顶点， ．如图②，若△B 固定不动，把△DE 绕点逆时针旋转，使D、E 与边B 的交点分别为 M、点M 不与点B 重合，点不与点重合． 【探究】求证： ． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4． (1) 的值为______． (2)若 ，则M 的长为______． 【答】(1)8 (2) 【探究】利用三角形外角的性质可证 ，又由 ，可证明结论； 【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 ，得 ，则 ； （2）由 ，得 ，由（1）知 ，得 ，从而得出答． （1） B ∵△ 为等腰直角三角形， ， ∴ ，同理， ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ； （2） （1）∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， 故答为：8； （2）∵ ，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的 结论解决新的问题是解题的关键． 1．（2020·广西贵港·模拟预测）在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是△B 的中线，∠D＝45°，把△D 沿D 对折，使点落在′的 位置，′D 交B 于点Q，则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出D＝D＝ BD，＝′，∠D＝∠D′＝45°，D＝′D，进而求出∠、∠B 的度数，求出其他角的度数，可得Q＝，将 转化为 ， 再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答． 【详解】解：如图，过点作E⊥B，垂足为E， ∵∠D＝45°， ∴△DE 是等腰直角三角形，即E＝DE＝ D， 在Rt△B 中， ∵∠B＝90°，D 是△B 的中线， ∴D＝D＝BD， 由折叠得：＝′，∠D＝∠D′＝45°，D＝′D， ∴∠D′＝45°+45°＝90°， ∴∠D＝∠D＝（180° 45° ﹣ ）÷2＝675°＝∠′D， ∴∠B＝90°﹣∠＝∠E＝225°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠′Q＝675°， ′ ∴＝Q＝， 由△E∽△BDQ 得： ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ． 故选：． 【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理 的转化是解决问题的关键． 2．（2022·河北保定·二模）几何探究： 【问题发现】 （1）如图1 所示，△B 和△DE 是有公共顶点的等边三角形，BD、E 的关系是_______（选填“相等”或“不相 等”）；（请直接写出答） 【类比探究】 （2）如图2 所示，△B 和△DE 是有公共顶点的含有 角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3 所示，△DE 和△B 是有公共顶点且相似比为1 : 2 的两个等腰直角三角形，将△DE 绕点自由旋转，若 ，当B、D、E 三点共线时，直接写出BD 的长． 【答】（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3） 或 ． 【分析】（1）证明△BD≌△E（SS），即可得出 ； （2）当在Rt△DE 和Rt△B 中， ，证明△BD∽△E，求出BD 与E 的比例； （3）分两种情况求出BD 的长即可． 【详解】（1）相等; 提示：如图4 所示． ∵△DE 和△B 均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在△BD 和△E 中， ∴△BD≌△E（SS） ∴ ． （2）不成立； 理由如下：如图5 所示． 在Rt△DE 和Rt△B 中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴△BD∽△E ∴ ∴ 故（1）中的结论不成立； （3） 或 ． 提示:分为两种情况： ①如图6 所示． 易证：△BD≌△E（SS） ∴ ∴ ∴ 由题意可知： 设 ,则 在Rt△BE 中,由勾股定理得： ∴ 解之得: （ 舍去） ∴ ； ②如图7 所示． 易证：△BD≌△E（SS）， 设 ，则 在Rt△BE 中，由勾股定理得： ∴ 解之得： （ 舍去） ∴ 综上所述， 或 ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知 识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题．