专题16 全等与相似模型-半角模型（原卷版）

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半 角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； 结论：①△BE≌△DG；②△EF≌△GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的周长=2B； ⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形，∠DE=45°； 结论：①△BD≌△G；②△DE≌△GE；③∠EG=90°；④DE2＝BD2＋E2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件： B 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△DG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋F；④ EF 的周长=2B； ⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EF。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件： B 是等边三角形，∠ED=30°； 结论：①△BD≌△F；②△DE≌△FE；③∠EF=120°；④DE2＝( BD＋E)2+ ； 5）半角模型（ - 型） 条件：∠B= ，B=，∠DE= ； 结论：①△BD≌△F；②△ED≌△EF；③∠EF=180°- 。 例1．（2022·黑龙江·九年级阶段练习）已知四边形BD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与 点重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线B，D 于M，． (1)如图1，当M，分别在边B，D 上时，求证：BM+D=M (2)如图2，当M，分别在边B，D 的延长线上时，请直接写出线段BM，D，M 之间的数量关系 (3)如图3，直线与B 交于P 点，M=10，=6，M=8，求P 的长． 例2．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△B 中，∠B=90°，=B，点P 在线段B 上，作射线P（0°＜∠P ＜45°)，射线P 绕点逆时针旋转45°，得到射线Q，过点作D⊥P 于点D，交Q 于点E，连接BE．(1)依题意 补全图形；(2)用等式表示线段D，DE，BE 之间的数量关系，并证明． 例3．（2022 秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形 中，在边上取两点 使 ．若 ， ， ， 则以 为边长的三角形的形状为（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．随 的值而定 例4．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，△B 中，∠B＝120°，B＝，点D 为B 边上一点．点E 为线段D 上一点，且E＝2，B＝ ，∠DE＝60°，则DE 的长为 ______． 例5．（2022·广东广州·二模）如图，点 为等边 外一点， ， ，点 ， 分 别在 和 上， 且 ， ， ，则 的边长为______． 例6．（2023 春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：_____ ______； （2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且 ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系． 例6（2023 山东八年级期中）综合与实践 （1）如图1，在正方形BD 中，点M、分别在D、D 上，若∠MB＝45°，则M，M，的数量关系为 ． （2）如图2，在四边形BD 中，B∥D，B＝B，∠+∠＝180°，点M、分别在D、D 上，若∠MB＝ ∠B，试探 索线段M、M、有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形BD 中，B＝B，∠B+∠D＝180°，点M、分别在D、D 的延长线上，若∠MB＝ ∠B，试探究线段M、M、的数量关系为 ． 模型2 半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形BD 中，∠EF 的两边分别交B、D 边于M、两点，且∠EF＝45° 结论：如图1，△M∽△FE 且 ．（思路提示：∠M=∠EF，∠M=∠FE）； β α β α 45° A B C D E F N M 图1 图2 结论：如图2，△M∽△MD，△M∽△B； 结论：如图3，连接，则△MB∽△F，△D∽△E．且 ； M N F E D C B A 45° 45° A B C D E F N M 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△M∽△DF 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠B＝90°， ； 结论：①△BE∽△DE∽△D；② ；③ （ ） （2）含60°半角模型 条件：如图1，已知∠B＝120°， ； 结论：①△BD∽△E∽△B；② ；③ （ ） 例1．（2023·山东济南·九年级期中）如图，在正方形 中，点E、F 分别是 、 边上的两点，且 ， 、 分别交 于M，．下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ） ．①②③④ B．①②③ ．①③ D．①② 例2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为， 边上的点．若 ， ，则 的长为 ． 例3．（2023 秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知 中， ， ，点 、 在 边 上， ．(1)求证： ；(2)当 ， 时，求 的长． 例4．（2023·江苏无锡·九年级期中）如图，在 中， ， ，点D、E 都在边 上， ．若 ，则 的长为 ． 例5．（2023 秋·江苏泰州·九年级校考期末）（1）如图1， 、 为等边 中 边所在直线上两点， ，求证： ；（2） 中， ，请用不含刻度的直尺和圆规在 上求作两点 、 ，点 在点 的左侧，使得 为等边三角形； （3）在（1）的条件下， 为 边上一点，过 作 交 延长线于点 ， 交 延长 线于点 ，若 ， ， ，求 的值．（用含有 的代数式表示） 例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓 展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片BD 折叠，使边B、D 都落在对角线上，展开得折痕E、F，连接EF，如图1． （1） _________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1 中的 绕点旋转，使它的两边分别交边B、D 于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ 之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2 中的 的 边P、Q 分别交对角线BD 于点M、点．如图3，则 ________； 剪一剪：将图3 中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4．（4）求证： ． 例7．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在矩形 中， ， （ ），点 E、F 分别是边 、 上的点，过点F 作 ，交直线 于点G． (1)如图1：若 ， ， ， ，则 ________， ________； (2)如图2：若 ， ，过点F 作 ，交 于点G，过E 作 ，交 于点，求证： ；(3)如图3：若 ， ， 过点F 作 ，交 于点G， ，直 接写出 的值________． 课后专项训练 1．（2022·成都市·八年级期末）如图，在边长为4 的正方形BD 中，对角线，BD 交于点，E 在BD 上，连 接E，作EF⊥E 交B 于点F，交于点G，连接F 交BD 于点，延长E 交D 于点M，连接FM，则下列结论： ①点E 到B，B 的距离相等；②∠FE = 45°；③∠DM =∠FM；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（ ） 个． ．1 B．2 ．3 D．4 2．（2022·广东深圳·统考一模）如图，正方形BD 中，E 是B 的中点，F 在D 上， ，连接E，F 与对角线BD 交于点M，，连接MF，E．给出结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．②③④ 3．如图，在矩形纸片BD 中，点E、F 分别在矩形的边B、D 上，将矩形纸片沿E、F 折叠，点B 落在处， 点D 落在G 处，点、、G 恰好在同一直线上，若B＝6，D＝4，BE＝2，则DF 的长是（ ） ．2 B． ． D．3 4．（2022 春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6 的正方形 内作 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，若 ，则 的长为______． 5．（2023·浙江绍兴·校联考三模）矩形 中， ， ，连接 ，E，F 分别在边 ， 上，连接 ， 分别交 于点M，，若 ， ，则 的长为 ． 6．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在Rt△B 中，B＝，D、E 是斜边B 上两点，且∠DE＝45°，将 △D 绕点顺时针旋转90°后，得到△FB，连接EF，下列结论：①△ED≌△EF；② ；③△B 的面积等 于四边形FBD 的面积；④BE2+D2＝DE2；⑤BE＝EF﹣D；其中正确的选项是 （填序号） 7．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△B 中，B= ，点D、E 在边B 上，∠DE= B=30° ∠ ，且 ，那么 的值是 ． 8（2022·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形BD 中，若E，F 分别是D，B 边上 的点，∠EF＝45°，则我们常会想到：把△DE 绕点顺时针旋转90°得到△BG．易证△EF _______ ≌ ，得出线段 BF，DE，EF 之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△B 中，D，E 为B 边上的点，∠DE＝30°，BD=3，E=4，求线段DE 的长； （3）拓展应用：如图3，在△B 中，B=，∠B＝150°，点D，E 在B 边上，∠DE＝75°，若DE 是等腰△DE 的 腰长，请直接写出BD：E 的值． 9．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，若 ，则 ． 【解决问题】如图②，在某公的同一水平面上，四条道路围成四边形 ．已知 ， ， ， ，道路 ， 上分别有景点 ， ，且 ， ，若在 ， 之间修一条直路，则路线 的长比路线 的长少_______ __ （结果取整数，参考数据： ）． 10．（2022·山东青岛九年级期中）【模型引入】 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型” 【模型探究】（1）如图1，在正方形BD 中，E、F 分别是B、B 边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段 EF，E，F 之间的数量关系． 【模型应用】（2）如图2，如果四边形BD 中，B＝D，∠BD＝∠BD＝90°，∠EF＝45°，且B＝7，D＝13， F＝5，求BE 的长． 【拓展提高】（3）如图3，在四边形BD 中，B＝D，∠B 与∠D 互补，点E、F 分别在射线B、D 上，且 ∠EF ∠BD．当B＝4，D＝7，F＝1 时， EF 的周长等于 ． （4）如图4，正方形BD 中， M 的顶点M、分别在B、D 边上，⊥M，且＝B，连接BD 分别交M、于点 E、F，若M＝2，＝3，DF＝2 ，求EF 的长． （5）如图5，已知菱形BD 中，∠B=60°，点E、F 分别是边B，D 上的动点（不与端点重合），且 ∠EF=60°．连接BD 分别与边E、F 交于M、，当∠DF＝15°时，求证：M2+D2=BM2． 11．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形BD 中， ， ，以点为顶点作 ，且 ，连接EF．(1)观察猜想 如图（2），当 时， ①四边形BD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探 究 如图（1），线段BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请 说明理由．(3)解决问题 如图（3），在 中， ， ，点D，E 均在边B 上，且 ，若 ，求DE 的长． 12．（2023·福建泉州·统考二模）（1）如图1，在正方形 中， ， 分别为 ， 边上的点，且 满足 ，连接 ，则 ， ， 之间的数量关系为________． （2）如图2，将 沿斜边翻折得到 ， ， 分别为 ， 边上的点，且 ，试猜想 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）将两个全等的等腰直角 和 按如图3 所示摆放在一起， 为公共顶点， ， ， 与边 的交点分别为 ， ，求证： ． 13．（2023·陕西西安·九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰 中， ，点 、 为底边 上的两个动点（不与 、 重合），且 ． （1）请在图中找出一个与 相似的三角形，这个三角形是__________； （2）若 ，分别过点 、 作 、 的垂线，垂足分别为 、 ，且 、 的反向延长 线交于点 ，若 ，求四边形 的面积； 问题解决（3）如图所示，有一个矩形仓库 ，其中 米， 米，现计划在仓库的内部的 、 两处分别安装监控摄像头，其中点 在边 上，点 在边 上．设计要求 且 ， 则 的长应为多少米？ 14．（2023·陕西汉中·九年级统考期末）如图， 中， ， ，点 为 边上一点． (1)如图1，若 ， ．①求证： ；②若 ，求 的值． (2)如图2，点 为线段 上一点，且 ， ， ，求 的长． 15．（2023·辽宁沈阳·九年级统考期末）【材呈现】 （1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形B 和FG 摆放在一起，为公共顶点，∠B＝∠G ＝90°，B＝6，若△B 固定不动，将△FG 绕点旋转，边F、G 与边B 分别交于点D，E（点D 不与点B 重合， 点E 不与点重合）①求证：E2＝DE•BE；②求BE•D 的值； 【拓展探究】（2）如图2，在△B 中，∠＝90°，点D，E 在边B 上，∠B＝∠DE＝30°，且 ，请直 接写出 的值． 16．（2022 秋·广东·九年级校考期中）如图①，在正方形BD 中，点、M 分别在边B、D 上，连接M、、 M．∠M＝45°，将△MD 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△BE．易证：△M≌△E，从而得DM＋ B＝M． 【实践探究】(1)在图①条件下，若＝6，M＝8，则正方形BD 的边长是______． (2)如图②，点M、分别在边D、B 上，且B＝DM．点E、F 分别在BM、D 上，∠EF＝45°，连接EF，猜想 三条线段EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在矩形BD 中，B＝6，D＝8，点M、分别在边D、B 上，连接M，，已知∠M＝ 45°，B＝2，求DM 的长． 17．（2023·浙江杭州·九年级期中）已知正方形 的边长为4，一个以点为顶点的45°角绕点旋转，角 的两边分别与边 、 的延长线交于点E、F，连接 ．设 ． （1）如图1，当 被对角线 平分时，求、b 的值；（2）当 是直角三角形时，求、b 的值； （3）如图3，探索 绕点旋转的过程中， 的面积是否发生变化？请说明理由． 18．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的 三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的 两边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点 ， ，连接 ，可得 ． 【探究一】如图②，把 绕点逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证： ；【探究二】在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点 ， ． 连接 交 于点 ，求 的值．