专题27.9 相似章末题型过关卷（解析版）

第27 章 相似章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点P 在△B 的边上，要判断△BP∽△B，添加 一个条件，不正确的是（ ） ．∠BP=∠ B．∠PB=∠B ．AP AB = AB AC D．AB BP = AC CB 【答】D 【详解】解：．当∠BP=∠时， 又∵∠=∠， ∴△BP∽△B， 故此选项错误； B．当∠PB=∠B 时， 又∵∠=∠， ∴△BP∽△B， 故此选项错误； ．当AP AB = AB AC 时， 又∵∠=∠， ∴△BP∽△B， 故此选项错误； D．无法得到△BP∽△B，故此选项正确． 故选：D． 2．（3 分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，以点为位似中心，把△B 放大为原图形的 2 倍得到△A ' B 'C '，以下说法中错误的是（ ） 1 ．△ABC ∼△A ' B 'C ' B．点，，C '在同一直线上 ．AO: A A '=1:2 D．AB∥A ' B ' 【答】 【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2 倍得到△A ' B 'C '， ∴△ABC ∼△A ' B 'C '、点C ,O ,C '在同一直线上、AB∥A ' B '、AO:O A '=1:2， ∴AO: A A '=1:3， 即选项、B、D 说法正确，选项说法错误， 故选：． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 3．（3 分）（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1 的小正方形组成的格中，， B，，D 四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB ,CD，则△ABE与△CDE的 周长比为（ ） ．1：4 B．4：1 ．1：2 D．2：1 【答】D 【分析】运用格图中隐藏的条件证明四边形DBM 为平行四边形，接着证明 △ABE∽△CDE，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出． 【详解】如图：由题意可知，DM=3，BC=3， ∴DM=BC， 而DM ∥BC， ∴四边形DBM 为平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， 1 ∴C △ABE C △CDE = AB CD = ❑ √2 2+4 2 ❑ √1 2+2 2 =2❑ √5 ❑ √5 =2 1． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟 练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 4．（3 分）（2022·全国·九年级专题练习）P是线段AB上一点（AP>BP），则满足 AP AB = BP AP ，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的 树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄 金分割点（AP>BP），求叶柄BP的长度．设BP=x cm，则符合题意的方程是（ ） ．(10−x ) 2=10 x B．x 2=10 (10−x ) ．x (10−x )=10 2 D．10 (1−x ) 2=10−x 【答】 【分析】根据黄金分割的特点即可求解． 【详解】∵B=10，BP=x， ∴P=10-x， ∵P 点是黄金分割点， ∴AP AB = BP AP ， ∴A P 2=AB⋅BP， ∴(10−x) 2=10 x， 故选：． 1 【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据AP AB = BP AP 得到 A P 2=AB⋅BP是解答本题关键． 5．（3 分）（2022·全国·九年级课时练习）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合 组成，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相 似的图形是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项． 【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成． ：∠B=90°+45°=135°，∠DE=90°+45°=135°， ∴∠B=∠DE， B=D=❑ √2， ∴AB BC = 1 ❑ √2= ❑ √2 2 ，BC DE = ❑ √2 2 ， ∴△B∽△DE； B：△B 为等腰三角形，则△DE 不是等腰三角形，所以不相似； ：△B 中∠B=90°+45°=135°，而△DE 中∠DE= 135° ∠ ，对应角不相等，所以不相似； D：CD CD =1，BD DE =2 3， ∴CD CD ≠BD DE ，所以不相似． 故选：． 【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和 性质对每个选项分析论证得出正确选项． 6．（3 分）（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ） ．10+❑ √7或5+2❑ √7 B．15 ．10+❑ √7 D．15+3 ❑ √7 【答】 1 【分析】判断未知边m、是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、的 值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断． 【详解】解：在第一个直接三角形中，若m 是直角边，则m= ❑ √4 2−3 2=❑ √7， 若m 是斜边，则m= ❑ √4 2+3 2=5； 在第二个直接三角形中，若是直角边，则n= ❑ √8 2−6 2=❑ √28=2❑ √7， 若是斜边，则n= ❑ √8 2+6 2=10； 又因为两个直角三角形不相似，故m=5 和=10，m=❑ √7 和=2❑ √7不能同时取， 即当m=5，n=2❑ √7，m+n=5+2❑ √7， 当m=❑ √7，=10，m+n=10+❑ √7， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直 角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键． 7．（3 分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，D 在边上，D:D=1:2，是 BD 的中点，连接并延长交B 于E，若BE=1，则E=（ ） ．3 2 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】过点D 作DF ∥AE交B 于F，根据平行线分线段成比例定理可得，BE EF = BO OD ， EF FC = AD DC =1 2，再根据是BD 的中点，可得BE=EF，进而解答即可． 【详解】解：过点D 作DF ∥AE交B 于F，如图， ∵OE∥DF， 1 ∴BE EF = BO OD ， ∵是BD 的中点， ∴B=D， ∴BE=EF， ∵DF ∥AE， ∴EF FC = AD DC =1 2， ∴F=2EF， ∴BE:E=BE:3BE=1:3， ∵BE=1， ∴E=3， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 8．（3 分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，中线 AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF=1，则BC的长为（ ） ．5 B．6 ．10 D．12 【答】D 【分析】首先根据GE∥D 得到△GF∽△D、△FEG∽△FBD，求出D=6，然后利用直角三角 形斜边的中线性质得出结果． 【详解】解：∵GE∥D， ∴△GE∽△D，△FEG∽△FBD， ∴AG AD = ¿ CD = AE AC =1 2 ， ∴¿ BD = GF DF , 又∵BD=D， ∴GF DF =1 2， ∴DF=2GF=2， 1 ∴DG=DF+GF=3 ∴D=2DG=6， 在直角△B 中，∠B=90°， ∴B=2D=12， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三 角形是解决问题的关键． 9．（3 分）（2022·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）如图，菱形BD 中， ∠BD=60°，、BD 交于点，E 为D 延长线上的一点，且D=DE，连接BE 分别交，D 于点F、 G，连结G、E．则下列结论：①G=1 2B； ②四边形BDE 是菱形；③S四边形ODGF=S ΔABF；其 中正确的是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 【答】D 【分析】证明四边形BDE 为平行四边形可得B=D，由菱形BD 可得G=DG，根据三角形中位 线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△BD 为等边三角形B=BD，从而可判断 平行四边形BDE 是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的 面积问题可判断③． 【详解】解：∵四边形BD 是菱形， B D ∴∥，B=D=D，=，B=D， D=DE ∵ ， B=DE ∴ ． 又∵B DE ∥ ， ∴四边形BDE 是平行四边形， BG=EG ∴ ，B=DE，G=DG， 又∵D=B， G ∴ 是△BD 是中位线， G= ∴ 1 2B， 故①正确； 1 BD=60° ∵∠ ，B=D， BD ∴△ 是等边三角形， BD=B ∴ ， ∴▱ABDE是菱形， 故②正确； B=D ∵ ，G=DG， G ∴ 是△BD 的中位线， G B ∴∥，G=1 2B， GD BD ∴△ ∽△ （S），△BF GF ∽△ （S）， GD ∴△ 的面积=1 4 BD △ 的面积，△BF 的面积= GF △ 的面积的4 倍，F：F=2：1， FG ∴△ 的面积= GF △ 的面积的2 倍， 又∵△GD 的面积= G △ 的面积= BG △ 的面积， S ∴ 四边形DGF=S△BF； 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与 性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识．判断①的关键是三角形中位 线定理的运用，②的关键是利用等边三角形证明BD=B；③的关键是通过相似得出面积之间 的关系． 10．（3 分）（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB/¿ DC， AC ⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原 点O重合，则m的值是（ ） ．114 B．116 ．124 D．126 【答】 【分析】由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作 CF ⊥OB，根据勾股定理求得DE的长度，再根据三角形相似求得BF，矩形的性质得到 OF，即可求解． 1 【详解】解：由题意可得，m的值就是线段OB的长度， 过点D作DE⊥AC，过点C作CF ⊥OB，如下图： ∵CD=AD=5，DE⊥AC ∴CE=1 2 AC=3，∠DEC=90° 由勾股定理得DE= ❑ √C D 2−C E 2=4 ∵AB/¿ DC ∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90° 又∵AC ⊥BC ∴∠ACB=∠CED=90° ∴△DEC ∽△BCA ∴DE BC = CE AC =CD AB ，即4 BC =3 6 = 5 AB 解得BC=8，AB=10 ∵CF ⊥OB ∴∠ACB=∠BFC=90° ∴△BCF ∽△BAC ∴BC AB = BF BC ，即8 10= BF 8 解得BF=6.4 由题意可知四边形OFCD为矩形，∴OF=CD=5 OB=BF+OF=11.4 故选 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定 理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022·江苏·九年级专题练习）如图，B∥D∥EF，若＝2，E＝5，BD＝3 则DF ＝___． 1 【答】75 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵直线B∥D∥EF，＝2，E＝5，BD＝3， ∴AC CE = BD DF ，即2 5= 3 DF ，解得DF＝75． 故答为：75． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对 应线段成比例是解答此题的关键． 12．（3 分）（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E 分别在△B 的边，B 上， △DE∽△B，M，分别是DE，B 的中点，若AM AN ＝1 2，则S△ADE S△ABC ＝__． 【答】1 4 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DE BC ，根据相似三角形面积的比等 于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵M，分别是DE，B 的中点， ∴M、分别为△DE、△B 的中线， ∵△DE∽△B， ∴DE BC ＝AM AN ＝1 2， ∴S ΔADE S ΔABC ＝( DE BC )2＝1 4 ， 1 故答为：1 4 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相 似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 13．（3 分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）将图1 中的矩形和正方形纸 片沿图2 中的虚线剪成5 块，再用这5 块拼接成如图3 所示矩形，其中阴影部分为空余部 分，若B=2D，则b a的值为________ 【答】15−❑ √57 6 【分析】如图，设F=E=K=x，则PF=5+2b-x，B=4-2b，首先证明x=3b-2，利用相似三角形 的性质构建关系式，即可解决问题． 【详解】解：如图，设F=E=K=x，则PF=5+2b-x，B=4-2b， ∵R=DQ=5-x，B=2D， ∴D=2-b， ∵KQ=PF， ∴x+2-b+5-x=5+2b-x， ∴x=3b-2， ∵∠EF=∠P=∠EFT=90°， ∴∠FE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°， ∴∠EF=∠FTP， ∴△EF∽△FPT， ∴EH FP = HF PT ， ∴ 4 a 5a+2b−(3b−2a)=3b−2a 2b ， 1 整理得，3b2-15b+142=0， ∴b=15± ❑ √57 6 ， 4-2 ∵ b＞0， ∴b a＜2， ∴b a=15−❑ √57 6 ． 故答为：15−❑ √57 6 ． 【点睛】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参 数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 14．（3 分）（2022·湖南·宁远县中和镇中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 矩形B 的两边，分别在x 轴和y 轴上，且＝2．＝1，则矩形B 的对称中心的坐标是___；在 第二象限内，将矩形B 以原点为位似中心放大为原来的3 2倍，得到矩形11B1，再将矩形11B1 以原点为位似中心放大3 2倍，得到矩形22B，…，按此规律，则矩形44B4的对称中心的坐标 是___． 【答】 （﹣1，1 2）， （﹣81 16，81 32）． 【分析】先利用矩形的性质写出B 点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形B 的对称 中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4 的坐标，然后矩形44B4的对称中心的坐标． 【详解】解：∵=2．=1， B ∴（-2，1）， ∴矩形B 的对称中心的坐标为（-1，1 2）， ∵将矩形B 以原点为位似中心放大为原来的3 2倍，得到矩形11B1， 1 B ∴ 1（-3，3 2）， 同理可得B2（-9 2，9 4 ），B3（-27 4 ，27 8 ），B4（-81 8 ，81 16）， ∴矩形44B4的对称中心的坐标是（﹣81 16 ，81 32）． 故答为（-1，1 2），（﹣81 16，81 32）． 【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表 原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上 述各点，得到放大或缩小的图形． 15．（3 分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△B 中，B=9、B=6，∠B=2∠，D 平分 ∠B 交于B 点D，点M 是一动点（M＜1 2），将△DM 沿DM 折叠得到△EDM，点的对应点 为点E，ED 与交于点F，则D 的长度是__________；若ME//D，则M 的长度是_________ __； 【答】 5 25 【分析】（1）根据已知条件可得∠D= = ∠∠BD，所以D=D，然后证明△B∽△BD，进而可以 解决问题； （2）由翻折可得M=EM，∠D=∠E，，由ME∥D，可得∠E=∠ED，DF//B，且DF=F，进而 得到ΔDF∽ΔB，求出DF、F 的长，再由F：F=D：BD 求出F 及MF 的长， 再证明 ΔMEF∽ΔDF，最后求得M 的长． 【详解】（1）∵∠B=2∠，D 平分∠B， ∴∠BD=∠D=∠D， ∵∠B=∠B， ∴ΔBD∽ΔB， ∴B：B=BD：B， 即6：9=BD：6，BD=4， ∴D=D=9-4=5； （2）∵△DM 沿DM 折叠得到ΔEDM， 1 ∴M=EM，∠D=∠E， ∵ME//D， ∴∠E=∠DE， ∵∠BD=∠D=∠D， ∴∠DE=∠BD=∠D， ∴DF//B，且DF=F， ∴ΔDF∽ΔB， ∴DF：B=D：B， 即DF：6=5：9， 解得DF=10 3 ， ∴F=10 3 ； ∵DF//B， ∴F：F=D：BD， 即F：10 3 =5：4， 解得：F=25 6 ， 设M=ME=x，则MF=25 6 -x； ∵ME//D， ∴ΔMEF∽ΔDF， ∴ME：D=MF：F， 即x：5=（25 6 -x）：10 3 ， 解得x=25； 故答：5； 25； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到 M=DE=5，然后由△B∽△BD 解决问题． 16．（3 分）（2022·江西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上， 对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为(−❑ √3,1)，P是菱形ABCD边上 的点，若△PDE是等腰三角形，则点P的坐标可能是________． 1 【答】(−❑ √3,−1)或(❑ √3,1)或( ❑ √3 2 ,−3 2) 【分析】根据线段AD的中点E的坐标为(−❑ √3,1)，易得OE=2，根据菱形的性质与直角 三角形的性质，可得菱形的边长4，∠ADO=60°，然