50 二次函数与相似问题

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 二次函数与相似问题 【真题再现】 1．（2020 年连云港中考第26 题）在平面直角坐标系xy 中，把与x 轴交点相同的二次函数 图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y¿ 1 2x2−3 2 x 2 ﹣的顶点为D，交x 轴于点、 B（点在点B 左侧），交y 轴于点．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣P 的值最大时，求点P 的坐标； （3）设点Q 是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△B 相似， 求其“共根抛物线”L2的顶点P 的坐标． 【分析】（1）由题意设抛物线L2的解析式为y＝（x+1）（x 4 ﹣），利用待定系数法求 出即可解决问题． （2）由题意BP＝P，如图1 中，当，，P 共线时，BP﹣P 的值最大，此时点P 为直线 与直线x¿ 3 2的交点． （3）由题意，顶点D（3 2，−25 8 ），∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝ 90°时，①如图3 1 ﹣中，当△QDP∽△B 时．②如图3 2 ﹣中，当△DQP∽△B 时．第二种 情形：当∠DQP＝90°．①如图3 3 ﹣中，当△PDQ∽△B 时．②当△DPQ∽△B 时，分别求 解即可解决问题． 【解析】（1）当y＝0 时，1 2x2−3 2 x 2 ﹣＝0，解得x＝﹣1 或4， ∴（﹣1，0），B（4，0），（0，﹣2）， 由题意设抛物线L2的解析式为y＝（x+1）（x 4 ﹣）， 把（2，﹣12）代入y＝（x+1）（x 4 ﹣）， 12 ﹣ ＝﹣6， 解得＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x 4 ﹣）＝2x2 6 ﹣x 8 ﹣． （2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，（﹣1，0），B（4，0）， ∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x¿ 3 2， ∴点P 在直线x¿ 3 2上， ∴BP＝P，如图1 中，当，，P 共线时，BP﹣P 的值最大， 此时点P 为直线与直线x¿ 3 2的交点， ∵直线的解析式为y＝﹣2x 2 ﹣， ∴P（3 2，﹣5） （3）由题意，B＝5，B＝2❑ √5，¿ ❑ √5， ∴B2＝B2+2， ∴∠B＝90°，B＝2， ∵y¿ 1 2x2−3 2 x 2 ﹣¿ 1 2（x−3 2 ）2−25 8 ， ∴顶点D（3 2，−25 8 ）， 由题意，∠PDQ 不可能是直角， 第一种情形：当∠DPQ＝90°时， ①如图3 1 ﹣中，当△QDP∽△B 时，QP DP = AC BC =1 2， 设Q（x，1 2x2−3 2 x 2 ﹣），则P（3 2，1 2x2−3 2 x 2 ﹣）， ∴DP¿ 1 2x2−3 2 x 2 ﹣﹣（−25 8 ）¿ 1 2x2−3 2 x+9 8 ，QP＝x−3 2 ， ∵PD＝2QP， 2 ∴x 3 ﹣¿ 1 2x2−3 2 x+9 8 ，解得x¿ 11 2 或3 2（舍弃）， ∴P（3 2，39 8 ）． ②如图3 2 ﹣中，当△DQP∽△B 时，同法可得PQ＝2PD， x−3 2 =¿x2 3 ﹣x+9 4 ， 解得x¿ 5 2或3 2（舍弃）， ∴P（3 2，−21 8 ）． 第二种情形：当∠DQP＝90°． ①如图3 3 ﹣中，当△PDQ∽△B 时，PQ DQ = AC BC =1 2， 过点Q 作QM⊥PD 于M．则△QDM∽△PDQ， ∴QM MD = PQ DQ =1 2，由图3 3 ﹣可知，M（3 2，39 8 ），Q（11 2 ，39 8 ）， ∴MD＝8，MQ＝4， ∴DQ＝4❑ √5， 由DQ DM = PD DQ ，可得PD＝10， ∵D（3 2，−25 8 ） ∴P（3 2，55 8 ）． ②当△DPQ∽△B 时，过点Q 作QM⊥PD 于M． 同法可得M（3 2，−21 8 ），Q（5 2，−21 8 ）， ∴DM¿ 1 2，QM＝1，QD¿ ❑ √5 2 ， 由QD DM = PD DQ ，可得PD¿ 5 2， ∴P（3 2，−5 8 ）． 综上所述：P 点坐标为（3 2，39 8 ）或（3 2，−21 8 ）或（3 2，55 8 ）或（3 2，−5 8 ）． 2．（2019 年镇江第27 题）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5 图象的顶点为D，对称轴是直线 l，一次函数y¿ 2 5x+1 的图象与x 轴交于点，且与直线D 关于l 的对称直线交于点B． （1）点D 的坐标是 （ 2 ， 9 ） ； （2）直线l 与直线B 交于点，是线段D 上一点（不与点D、重合），点的纵坐标为．过 点作直线与线段D、DB 分别交于点P、Q，使得△DPQ 与△DB 相似． ①当¿ 27 5 时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的的值，有且只有一个△DPQ 与△DB 相似，请直接写出的取值范围 9 5 ＜＜21 5 ． 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点（2，9 5 ），（−5 2 ，0），点关于对称轴对称的点（13 2 ，0），借 助D 的直线解析式求得B（5，3）；①当¿ 27 5 时，（2，27 5 ），可求D¿ 9 ❑ √5 2 ，D¿ 18 5 ，D¿ 36 5 当PQ∥B 时，△DPQ∽△DB，DP＝DP¿ 9 4 ❑ √5；当PQ 与B 不平行时，DP¿ 3 2 ❑ √5 ，；②当PQ∥B，DB＝DP 时，DB＝3❑ √5，D¿ 24 5 ，所以（2，21 5 ），则有且只有一个 △DPQ 与△DB 相似时，9 5 ＜＜21 5 ； 【解析】（1）顶点为D（2，9）； 故答为（2，9）； （2）对称轴x＝2， ∴（2，9 5 ）， 由已知可求（−5 2 ，0）， 点关于x＝2 对称点为（13 2 ，0）， 则D 关于x＝2 对称的直线为y＝﹣2x+13， ∴B（5，3）， ①当¿ 27 5 时，（2，27 5 ）， ∴D¿ 9 ❑ √5 2 ，D¿ 18 5 ，D¿ 36 5 当PQ∥B 时，△DPQ∽△DB， ∵△D∽△DP， ∴DP DA = DN DC ， ∴DP¿ 9 4 ❑ √5； 当PQ 与B 不平行时，△DPQ∽△DB， ∴△DQ∽△D， ∴DP DB = DN DC ， ∴DP¿ 3 2 ❑ √5； 综上所述，DP¿ 3 2 ❑ √5，DP¿ 9 4 ❑ √5； ②当PQ∥B，DB＝DP 时， DB＝3❑ √5， ∴DP DA = DN DC ， ∴D¿ 24 5 ， ∴（2，21 5 ）， ∴有且只有一个△DPQ 与△DB 相似时，9 5 ＜＜21 5 ； 故答为9 5 ＜＜21 5 ； 点睛：本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三 角形相似的判定与性质是解题的关键． 3．（2018 年扬州第28 题）如图1，四边形B 是矩形，点的坐标为（3，0），点的坐标为 （0，6），点P 从点出发，沿以每秒1 个单位长度的速度向点运动，同时点Q 从点出发， 沿B 以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点重合时运动停止．设运动时间 为t 秒． （1）当t＝2 时，线段PQ 的中点坐标为 （5 2， 2 ） ； （2）当△BQ 与△PQ 相似时，求t 的值； （3）当t＝1 时，抛物线y＝x2+bx+经过P，Q 两点，与y 轴交于点M，抛物线的顶点为 K，如图2 所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD¿ 1 2∠MKQ？若存在，求出所有 满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）先根据时间t＝2，和P，Q 的运动速度可得动点P 和Q 的路程P 和Q 的 长，再根据中点坐标公式可得结论； （2）根据矩形的性质得：∠B＝∠PQ＝90°，所以当△BQ 与△PQ 相似时，存在两种情况： ①当△PQ∽△QB 时，PA AQ =QB BC ，②当△PQ∽△BQ 时，PA AQ = BC BQ ，分别列方程可得t 的值； （3）根据t＝1 求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x 轴，则 KM＝KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QM 或利用三角函数，列比 例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D． 【解析】（1）如图1，∵点的坐标为（3，0）， ∴＝3， 当t＝2 时，P＝t＝2，Q＝2t＝4， ∴P（2，0），Q（3，4）， ∴线段PQ 的中点坐标为：（2+3 2 ，0+4 2 ），即（5 2，2）； 故答为：（5 2，2）； （2）如图1，∵当点P 与点重合时运动停止，且△PQ 可以构成三角形， 0 ∴＜t＜3， ∵四边形B 是矩形， ∴∠B＝∠PQ＝90° ∴当△BQ 与△PQ 相似时，存在两种情况： ①当△PQ∽△QB 时，PA AQ =QB BC ， ∴3−t 2t =6−2t 3 ， 4t2 15 ﹣ t+9＝0， （t 3 ﹣）（t−3 4 ）＝0， t1＝3（舍），t2¿ 3 4 ， ②当△PQ∽△BQ 时，PA AQ = BC BQ ， ∴3−t 2t = 3 6−2t ， t2 9 ﹣t+9＝0， t¿ 9±3 ❑ √5 2 ， ∵9+3 ❑ √5 2 ＞3， ∴t¿ 9+3 ❑ √5 2 不符合题意，舍去， 综上所述，当△BQ 与△PQ 相似时，t 的值是3 4 或9−3 ❑ √5 2 ； （3）当t＝1 时，P（1，0），Q（3，2）， 把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+中得： { 1+b+c=0 9+3b+c=2，解得：{ b=−3 c=2 ， ∴抛物线：y＝x2 3 ﹣x+2＝（x−3 2 ）2−1 4 ， ∴顶点k（3 2，−1 4 ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x 轴， 作抛物线对称轴，交MQ 于E，设DQ 交y 轴于， ∴KM＝KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE＝∠QKE¿ 1 2∠MKQ， 如图2，∠MQD¿ 1 2∠MKQ＝∠QKE， t ∴∠MQD＝t∠QKE¿ MH MQ = EQ EK ， 即MH 3 = 3 2 2+ 1 4 ，M＝2， ∴（0，4）， 易得Q 的解析式为：y¿−2 3x+4， 则{ y=−2 3 x+4 y=x 2−3 x+2 ， x2 3 ﹣x+2¿−2 3x+4， 解得：x1＝3（舍），x2¿−2 3， ∴D（−2 3 ，40 9 ）； 同理，在M 的下方，y 轴上存在点，如图3，使∠QM¿ 1 2∠MKQ＝∠QKE， 由对称性得：（0，0）， 易得Q 的解析式：y¿ 2 3x， 则{ y=2 3 x y=x 2−3 x+2 ， x2 3 ﹣x+2¿ 2 3x， 解得：x1＝3（舍），x2¿ 2 3， ∴D（2 3，4 9 ）； 综上所述，点D 的坐标为：D（−2 3 ，40 9 ）或（2 3，4 9 ）． 点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的 综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识， 本题比较复杂，注意用t 表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入 可解决问题． 4．（2018 年镇江第27 题）如图，二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象经过（0，0），（4，4），B （3，0）三点，以点为位似中心，在y 轴的右侧将△B 按相似比2：1 放大，得到△′B′， 二次函数y＝x2+bx+（≠0）的图象经过，′，B′三点． （1）画出△′B′，试求二次函数y＝x2+bx+（≠0）的表达式； （2）点P（m，）在二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象上，m≠0，直线P 与二次函数y＝x2+bx+ （≠0）的图象交于点Q（异于点）． ①求点Q 的坐标（横、纵坐标均用含m 的代数式表示） ②连接P，若2P＞Q，求m 的取值范围； ③当点Q 在第一象限内，过点Q 作QQ′平行于x 轴，与二次函数y＝x2+bx+（≠0）的图 象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象交于点M，（M 在的左侧），直线Q′与 二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′，则线段Q 的长度等于 6 ． 【分析】（1）由位似求出′、B′坐标，代入解析式即可； （2）①用m 表示P 的坐标及P 解析式，用m 表示P 与抛物线交点Q 的坐标，表示用m 表示P、Q，代入2P＞Q，求出m 范围； ②用m 表示QQ′解析式，得到P′坐标，求出M、坐标，应用△Q′P′M∽△QB′构造方程求 m． 【解析】（1）由以点为位似中心，在y 轴的右侧将△B 按相似比2：1 放大，得 OA ' OA =OB' OB =¿2 ∵（4，4），B（3，0） ′ ∴（8，8），B′（6，0） 将（0，0），′（8，8），B′（6，0）代入y＝x2+bx+ 得{ c=0 36a+6b=0 64 a+8b=0 解得{ a=1 2 b=−3 c=0 ∴二次函数的解析式为y¿ 1 2x2 3 ﹣x； （2）①∵点P 在y＝x2 3 ﹣x 的图象上， ∴＝m2 3 ﹣m， ∴P（m，m2 3 ﹣m）， 设直线P 的解析式为y＝kx 将点P 代入，得mk＝m2 3 ﹣m，解得k＝m 3 ﹣， ∴P：y＝（m 3 ﹣）x ∵直线P 与y¿ 1 2x2 3 ﹣x 交于点Q ∴1 2x2 3 ﹣x＝（m 3 ﹣）x，解得x1＝0（舍），x2＝2m， ∴Q（2m，2m2 6 ﹣m） ②∵P（m，）在二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象上 ∴＝m2 3 ﹣m ∴P（m，m2 3 ﹣m） 设直线P 的解析式为y＝kx，将点P（m，m2 3 ﹣m）代入函数解析式， 得mk＝m2 3 ﹣m ∴k＝m 3 ﹣ ∴P 的解析是为y＝（m 3 ﹣）x ∵P 与y═1 2x2 3 ﹣x 交于Q 点 ∴{ y=(m−3)x y=1 2 x 2−3 x 解得{ x=0 y=0（不符合题意舍去）{ x=2m y=2m 2−6m ∴Q（2m，2m2 6 ﹣m）过点P 作P⊥x 轴于点，过点Q 作QD⊥x 轴于点D 则＝|m|，P＝|m2 3 ﹣m|，D＝|2m|，QD＝|22 6 ﹣m| ∵OD OC =OQ OP =¿2 ∴△P∽△DQ ∴Q＝2P 2 ∵P＞Q 2 ∴P＞2P，即P＞P ∴❑ √(m−4) 2+(m 2−3m−4) 2＞ ❑ √m 2+(m 2−3m) 2 化简，得m2 2 ﹣m 4 ﹣＜0，解得1−❑ √5＜m＜1+❑ √5，且m≠0； ③P（m，m2 3 ﹣m），Q（2m，2m2 6 ﹣m） ∵点Q 在第一象限， ∴{ 2m＞0 2m 2−6m＞0 ，解得＞3 由Q（2m，2m2 6 ﹣m），得QQ′的表达式是y＝2m2 6 ﹣m ∵QQ′交y¿ 1 2x2 3 ﹣x 交于点Q′ { y=1 2 x 2−3 x y=2m 2−6m 解得{ x=2m y=2m 2−6m（不符合题意，舍）{ x=6−2m y=2m 2−6m ∴Q′（6 2 ﹣m，2m2 6 ﹣m） 设Q′的解析是为y＝kx，（6 2 ﹣m）k＝2m2 6 ﹣m 解得k＝﹣m，Q′的解析式为y＝﹣m ∵Q′与y＝x2 3 ﹣x 交于点P′ ∴﹣mx＝x2 3 ﹣x 解得x1＝0（舍），x2＝3﹣m ∴P′（3﹣m，m2 3 ﹣m） ∵QQ′与y＝x2 3 ﹣x 交于点P′ ∴﹣mx＝x2 3 ﹣x 解得x1＝0（舍去），x2＝3﹣m ∴P′（3﹣m，m2 3 ﹣m） ∵QQ′与y＝x2 3 ﹣x 交于点M、 ∴x2 3 ﹣x＝2m2 6 ﹣m 解得x1¿ 3+ ❑ √8m 2−24 m+9 2 ，x2¿ 3− ❑ √8m 2−24 m+9 2 ∵M 在左侧 ∴M（3+ ❑ √8m 2−24 m+9 2 ，2m2 6 ﹣m） （3− ❑ √8m 2−24 m+9 2 ，2m2 6 ﹣m） ∵△Q′P′M∽△QB′ ∴P' Q' QB' =QM QN ∵( P' Q QB ) 2= (3−m) 2+(m 2−3m) 2 (2m−6) 2+(2m 2−6m) 2= 1 4 即 3− ❑ √8m 2−24 m+9−(6−2m) 2m−3+ ❑ √8m 224 m+9 2 =1 2 化简得m2 12 ﹣ m+27＝0 解得：m1＝3（舍），m2＝9 ∴（12，108），Q（18，108） ∴Q＝6． 故答为：6． 点睛：本题二次函数背景的代数几何综合题，综合考查二次函数、一次函数、三角形相 似的性质，应用数形结合的数学思想． 5．（2018 年连云港第26 题）如图1，图形BD 是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2 ＝x2+b（＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣ 3）． （1）直接写出这两个二次函数的表达式； （2）判断图形BD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形BD 上），并说明理 由； （3）如图2，连接B，D，D，在坐标平面内，求使得△BD 与△DE 相似（其中点与点E 是对应顶点）的点E 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论； （2）先确定出MM'＝（1﹣m2）﹣（3m2 3 ﹣）＝4 4 ﹣m2，进而建立方程2m＝4 4 ﹣m2， 即可得出结论； （3）先利用勾股定理求出D¿ ❑ √10，同理：D¿ ❑ √10，B¿ ❑ √2，再分两种情况： ①如图1，当△DB∽△DE 时，得出DB DA = DC DE ，进而求出DE¿ 5 2，即可得出E（0，−1 2 ）， 再判断出△DEF∽△D，得出DE DA = DF DO = EF AO ，求出DF¿ 3 ❑ √10 4 ，EF¿ ❑ √10 4 ，再用面积 法求出E'M¿ 3 2，即可得出结论； ②如图2，当△DB∽△DE 时，得出DB AD = DC AE ，求出E¿ 5 2， 当E 在直线D 左侧时，先利用勾股定理求出P¿ 5 3，P¿ 4 3 ，进而得出PE¿ 5 6，再判断出 AP PE = AO OQ 即可得出点E 坐标，当E'在直线D 右侧时，即可得出结论． 【解析】（1）∵点（1，0），B（0，1）在二次函数y1＝kx2+m（k＜0）的图象上， ∴{ k+m=0 m=1