专题17 全等与相似模型-对角互补模型（解析版）

专题17 全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝ ，③ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90°，平分∠B[ZXXK] 结论：①D＝E，②E－D＝ ，③ 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝，③ 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B，∠DE 的一边与B 的延长线交于点D， 结论：①D＝E，②D－E＝，③ 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△B 是等腰三角形，且∠B=120°，∠BP=60°。 结论：①PB+P= P； 6）“2α 对180°-2α 模型” 条件：四边形BD 中，P=BP, + ∠∠B=180° 结论：P 平分∠B 注意：①P=BP，②∠+∠B=180°，③P 平分∠B，以上三个条件可知二推一。 7）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：P=BP,∠B= P ∠B 结论：P 平分∠B 的外角。 例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△B 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°，∠MD 绕点D 旋转， DM、D 分别与边B、交于E、F 两点．下列结论：①(BE+F)= B，② ，③ D·EF，④D≥EF 其中正确结论的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【详解】解: Rt B ∵ △中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°， D =D ∴ ，∠ED= =45° ∠ ，∠ED= MD ∠ －∠D =90°－∠D= FD ∠ ． ED FD ∴△ ≌△ （S）．∴E=F．∴BE+F= BE+ E=B． 在Rt B △中，根据勾股定理，得B= B．∴(BE+F)= B．∴结论①正确． 设B==，E=b，则F=BE= －b． ∴ ． ∴ ．∴结论②正确． 如图，过点E 作E D ⊥ 于点，过点F 作FG D ⊥ 于点G，过点F 作F B ⊥于点，DEF 相交于点． ∵四边形GDF 是矩形，△E 和△GF 是等腰直角三角形， E≥E ∴ （EF D ⊥ 时取等于）=F=GD，F≥G（EF D ⊥ 时取等于）=G． EF=E ∴ ＋F≥GD＋G=D．∴结论④错误． ED FD ∵△ ≌△ ，∴ ．∴结论③错误． 综上所述，结论①②正确．故选． 例2．（2022 辽宁九年级期末模拟）已知∠B＝90°，在∠B 的平分线M 上有一点，将一个三角板的直角顶点 与重合，它的两条直角边分别与，B(或它们的反向延长线)相交于点D，E 当三角板绕点旋转到D 与垂直时(如图①)，易证：D＋E＝ ； 当三角板绕点旋转到D 与不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请 给予证明：若不成立，线段D，E，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答】图②中D＋E＝ 成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：E－D＝ 【分析】当三角板绕点旋转到D 与不垂直时，易得△KD E ≌△，进而可得出证明；判断出结果，解此题的关 键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出与D、E 的关系；最后转化得到结论． 【详解】解：图②中D＋E＝ 成立． 证明：过点分别作，B 的垂线，垂足分别为P，Q 有△PD QE ≌△ ，∴DP＝EQ，∵P＝D＋DP，Q＝E－EQ， 又∵P＋Q＝ ，即D＋DP＋E－EQ＝ ，∴D＋E＝ ． 图③不成立，有数量关系：E－D＝ 过点分别作K⊥，⊥B， ∵为∠B 的角平分线，且K⊥，⊥B，∴K=，∠KD= E=90° ∠ ， 又∵∠KD 与∠E 都为旋转角，∴∠KD= E ∠， KD E ∴△ ≌△，∴DK=E，∴E-D=+E-D=+DK-D=+K， 由（1）知：+K= ，∴D，E，满足E-D= ． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变， 两组对应点连线的交点是旋转中心． 例3．（2022 秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知 ， ， 是过点 的直线， 过点 作 于点 ，连接 ． (1)问题发现：如图(1)，过点 作 ，与 交于点 ， 、 、 之间的数量关系是什么？并 给予证明．(2)拓展探究：当 绕点 旋转到如图(2)位置时， 、 、 之间满足怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并给予证明． 【答】(1) ；证明见解析(2) ；证明见解析 【分析】(1)过点 作 ，得到 ，判断出 ，确定 为等腰直角三 角形即可得出结论；(2)过点 作 于点 ，判断出 ，确定 为等腰直角三角形， 即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点 作 交 于点 ， ， ， ， ， 在四边形 中， ， ， ，∴ ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，∴ ； （2） ；理由：如图 ，过点 作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，∴ ； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角 形是解题的关键． 例4．（2022 四川宜宾八年级期末）如图1， ， 平分 ，以 为顶点作 ， 交 于点 ， 于点E （1）求证： ；（2）图1 中，若 ，求 的长； （3）如图2， ， 平分 ，以 为顶点作 ，交 于点 ， 于点 若 ，求四边形 的面积． 【答】（1）见解析；（2）D+E = ；（3） 【分析】（1）过点作G⊥于G, B ⊥于，然后根据题意利用S 定理进行证明△DG E ≌△，从而求解；（2）根 据全等三角形的性质得到D+E =2，然后利用勾股定理求的值，从而求解； （3）过点作G⊥于G, B ⊥于，然后根据题意利用S 定理进行证明△DG E ≌△，从而求得 = =2 ，然后利用含30°的直角三角形性质求得= ,= 从而求得三角形面积，使问题得到解决． 【详解】解：（1）如图,过点作G⊥于G, B ⊥于， ∵ 平分 ∴G = ∵ , D+ E=180︒ ∴∠ ∠ DG+ D=180 DG = E ∵∠ ∠ ∴∠ ∠ 在△DG 与△E 中 ∴△DG E( ≌△S)∴ (2)由（1）得△DG E DG=E ≌△∴ 由题易得△G 与△是全等的等腰直角三角形，且G= ∴D+E=D++E=G+=2 设==x，在Rt△中，由勾股定理，得: 2+2=2∴ ∴ (舍负) = ∴ D+E =2= ∴ （3）如图,过点作G⊥于G, B ⊥于， ∵ 平分 ∴G = ∵ , D+ E=180︒ ∴∠ ∠ DG+ D=180 DG = E ∵∠ ∠ ∴∠ ∠ 在△DG 与△E 中 ∴△DG E( ≌△S) DG=E ∴ 由题易得△G 与△是全等的直角三角形,且G= D+E=D++E=G+=2 ∴ ∴ = =2 在Rt△中,有∠=60°,=3，∴= ,= ∴ ∴ =2 = 【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题， 掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键 例5．（2022 湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠B=120°，在∠B 的平分线M 上有一点，将一个60°角 的顶点与点重合，它的两条边分别与直线、B 相交于点D、E． （1）当∠DE 绕点旋转到D 与垂直时（如图1），请猜想E+D 与的数量关系，并说明理由；（2）当∠DE 绕点旋转到D 与不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DE 绕点旋 转到D 与的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段D、E 与之间 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为E ﹣D=，证明详见解析 【分析】(1)根据M 是∠B 的角平分线，可得∠B=60°，则∠E=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得 出D= ，同理：E= ，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到F+G=，再根据S 证明△FD≌△GE，得出 DF=EG，则F=D+DF=D+EG，G=E﹣EG，F+G=D+E，即可得出结论(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量 代换可得E﹣D= 【详解】(1)∵M 是∠B 的角平分线，∴∠=∠B= ∠B=60°， ∵D⊥，∴∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠E=∠DE﹣∠D=30°， 在Rt△D 中，D= ，同理：E= ，∴D+E=， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点作F⊥于F，G⊥B 于G，如图， ∴∠F=∠G=90°，∵∠B=120°，∴∠FG=60°， 同(1)的方法得，F= ，G= ，∴F+G=， ∵F⊥，G⊥B，且点是∠B 的平分线M 上一点，∴F=G， ∵∠DE=60°，∠FG=60°，∴∠DF=∠EG，∴△FD≌△GE，∴DF=EG， ∴F=D+DF=D+EG，G=E﹣EG， ∴F+G=D+EG+E﹣EG=D+E，∴D+E=； (3)(1)中结论不成立，结论为：E﹣D=， 理由：过点作F⊥于F，G⊥B 于G，如图， ∴∠F=∠G=90°，∵∠B=120°，∴∠FG=60°， 同(1)的方法得，F= ，G= ，∴F+G=， ∵F⊥，G⊥B，且点是∠B 的平分线M 上一点，∴F=G， ∵∠DE=60°，∠FG=60°，∴∠DF=∠EG，∴△FD≌△GE， ∴DF=EG，∴F=DF﹣D=EG﹣D，G=E﹣EG， ∴F+G=EG﹣D+E﹣EG=E﹣D，∴E﹣D=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质正确作辅助线是 解题的关键 例6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△B 是边长为4 的等边三角形，点D 是线段B 的中点， ∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段B、交于点E、F．（1）当DF⊥时，求证： BE=F； （2）在旋转过程中，BE+F 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 【答】（1）证明见解析；（2）是，2 【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DE=90°，根据“S”可判定△BDE DF ≌△ ，即可证BE=F； （2）过点D 作DM B ⊥于M，作D⊥于，如图2，易证△MBD D ≌△，则有BM=，DM=D，进而可证到 △EMD FD ≌△ ，则有EM=F，就可得到BE+F=BM+EM+F=BM+F+F=BM+=2BM=2BD×s60°=BD= B=2 【详解】（1）∵△B 是边长为4 的等边三角形，点D 是线段B 的中点， B= =60° ∴∠ ∠ ，BD=D，∵DF⊥，∴∠DF=90°， + EDF+ FD+ ED=180° ∵∠∠ ∠ ∠ ，∴∠ED=90°， DEB= DF ∴∠ ∠ ，且∠B= =60° ∠ ，BD=D，∴△BDE DF ≌△ （S） （2）过点D 作DM B ⊥于M，作D⊥于， 则有∠MD= BMD= D= D=90° ∠ ∠ ∠ ． =60° ∵∠ ，∴∠MD=360°-60°-90°-90°=120°． EDF=120° ∵∠ ，∴∠MDE= DF ∠ ． 在△MBD 和△D 中， ，∴△MBD D ≌△（S）BM=，DM=D． 在△EMD 和△FD 中， ，∴△EMD FD ≌△ （S）∴EM=F， BE+F=BM+EM+F=BM+F+F=BM+=2BM=2BD×s60°=BD= ∴ B=2 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知 识，通过证明三角形全等得到BM=，DM=D，EM=F 是解决本题的关键． 例7．（2022 山东省枣庄市一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一 个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 （1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由； （2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理 由； （3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 【答】（1） ，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【分析】（1）先判断出∠E＝60°，再利用特殊角的三角函数得出D＝ ，同E＝ ，即可得出结论； （2）同（1）的方法得F＋G＝ ，再判断出△FD GE ≌△ ，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】解：（1） 是 的角平分线 在 中， ，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点 作 于 ， 于 由（1）知， ，且点 是 的平分线 上一点 （3）结论为： 理由：过点作F⊥于F，G B ⊥于G，∴∠F＝∠G＝90°， B ∵∠＝60°，∴∠FG＝120°，同（1）的方法得，F＝ ，G＝ ，∴F＋G＝ ， F ∵⊥，G B ⊥，且点是∠B 的平分线M 上一点， F ∴＝G，∵∠DE＝120°，∠FG＝120°，∴∠DF＝∠EG， FD GE ∴△ ≌△ ，∴DF＝EG，∴F＝DF−D＝EG−D，G＝E−EG， F ∴＋G＝EG−D＋E−EG＝E−D，∴E−D＝ ． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用， 正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键． 例8．（2022 秋·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P 在 的平分线上， 且 ，以点P 为顶点的 绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ， 相交于M，两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不变； ③四边形 的面积不变；④点M 与点的距离保持不变．其中正确的为（ ） ．①③ B．①②③ ．①③④ D．②③ 【答】B 【分析】如图作 于点E， 于点F，只要证明 ， 即可 一一判断． 【详解】解：如图所示：作 于点E， 于点F， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，故①正确， ， 定值，故③正确， 定值，故②正确， 的位置是变化的， 之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会 添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 模型2 对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向 两边做垂线，从而证明两个三角形相似 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△B 中，∠＝∠EF＝90°，点是B 的中点， 辅助线：过点作D⊥，垂足为D，过点作⊥B，垂足为， 结论：①△DE∼△F；② （思路提示： ） 2）对角互补相似2 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，∠B＝ 辅助线：作法1：如图1，过点作F⊥，垂足为F，过点作G⊥B，垂足为G； 结论：①△EG∼△DF；②E＝D· （思路提示： ，F=G，在Rt△G 中， ） 辅助线：作法2：如图2，过点作F⊥，交B 于F； 结论：①△FE∼△D；②E＝D· （思路提示： ，在Rt△F 中， ） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形BD 中，∠B+∠D=180° 辅助线：过点D 作DE⊥B，垂足为E，过点D 作DF⊥B，垂足为F； 结论：①△DE∼△DF；②BD 四点共圆。 例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在 中， ， ，在 中， ，点P 在 上， 交 于点E， 交 于点F．当 时， 的值为（ ）． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】过P 作P⊥B 于，PQ⊥B 于Q，证明△PQE∽△PF，得出PQ=2P=2BQ，再由PQ∥B 证得△QP∽△B， 得到 ，设BQ=x，则Q=3﹣x，PQ=2x，求出x 值即可解决问题． 【详解】解：∵在 中， ， ， = ∴ ， 过P 作P⊥B 于，PQ⊥B 于Q，则∠PQB=∠PB=∠B=90°， ∴四边形PQB 是矩形，∴P=BQ，∠QP=90°=∠MP，PQ∥B， ∴∠EP+∠QPE=∠EP+∠PF=90°，∴∠QPE=∠PF， ∴△PQE∽△PF，∴ ，又PE=2PF，∴PQ=2P=2BQ， ∵PQ∥B，∴△QP∽△B，∴ ， 设BQ=x，则Q=3﹣x，PQ=2x，∴ ，解得： ，P=3，故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握 相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键． 例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过 点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与 交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证： ． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意先由等腰直角△B 得到∠B=∠B=45°，从而结合∠DE=45°得到∠D=∠EB，再由平行线 的性质得到∠P=∠B=∠B=45°，从而得到△D∽△EB； （2）根据题意由相似三角形的性质得到D：E=：B，转化为D：=E：B，结合∠DE=∠B=45°得证结果； （3）根据题意结合∠D=45°和∠B=90°，由D=E 得到∠DE=∠ED=225°，从而得到∠D=225°，然后得到 △D∽△D，最后即可求证． 【详解】解：（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ，∴ ； （2）证明：∵ ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ； （3）∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形