模型43 相似形——旋转相似模型-原卷版

相似形 模型（四十三）——旋转相似模型 ◎结论1：如图 △B，△BDE 为等腰直角三角形，∠B＝∠BDE＝90°，E 与D 相 交于点P，则①△BD∽△BE，相似比为1∶ ❑ √2，②D 与E 的夹角为45° 证明：①将△BD 绕点B 顺时针旋转45°，再将三边扩大到原来的 ❑ √2倍 D,E ∵ 夹角45°， ∠DB ∴ ＝∠EB，∠P＝∠B ∠BD ∵ ＝45°－∠BE ∠EB＝45°－∠BE ∠DB ∴ ＝∠EB BD BE ＝BA BC ＝1 ❑ √2 △BD∽△BE ∴ ∴DA EC ＝BD BE ＝1 ❑ √2 ②∵△BD∽△BE，∴∠BD＝∠BE, ∠P ∴ ＋∠E＝∠BD＋∠B＋∠E＝∠BE＋∠E＋∠B＝∠B＋∠B＝45°＋90°＝135° ∠P ∴ ＝180°－∠E－∠P＝45° ∴D 与E 的夹角为45º。 【结论2】如图 ，Rt△B∽Rt△D ，则①△∽△BD，②⊥BD, D ③ 2＋B²＝D²＋ B2 【证明】 ∠P ∵ ＝90°＋∠B ∠BD＝90°＋∠B ∠P ∴ ＝∠BD △B∽△D ∵ ，∴AO CO ＝OB OD，∴AO OB ＝CO OD △∽△BD ∴ ∠ ∴ ＝∠BD ∠M ∵ ＝∠BMP ∠M ∴ ＝∠BPM＝90° 即⊥BD D² ∵ ＝P²＋PD²，B²＝PB²＋P2,D²＝P²＋PD2,B²＝P²＋PB2, D² ∴ ＋B²＝D²＋B2 ①旋转前有一对相似三角形，旋转后新产生一对相似三角形; ②证明新三角形相似采用"SS 判定法" ③若看不出相似三角形，则需作辅助线构造相似三角形 1．（2021·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形BD 的一边D 的延长线上，连结 G，E 交于点，若 ， ，则的长为________ 2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，D 为斜边B 上一点 （不与点B，重合），将线段D 绕点顺时针旋转90°得到E，连接E，则线段BD 与E 的数量关系是______， 位置关系是______； 【探究证明】如图2，在Rt△B 和Rt△DE 中，∠B＝∠DE＝90°，B＝，D＝E，将△DE 绕点旋转，当点，D， E 在同一条直线上时，BD 与E 具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BD 中，∠BD＝90°，B＝2D＝4，过点作⊥BD 于．将△D 绕点顺时针旋转，点 的对应点为点E．设旋转角∠E 为 （0°＜ ＜360°），当，D，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出 线段BE 的长度． 相同图形在一起，要把边角边想起 1．（2022·全国·九年级专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点 为公共顶点， ．如图②，若△B 固定不动，把△DE 绕点逆时针旋转，使D、E 与边B 的交点分别为M、点M 不与点B 重合，点不与点重合． 【探究】求证： ． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4． (1) 的值为______． (2)若 ，则M 的长为______． 1．（2020·广西贵港·模拟预测）在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是△B 的中线，∠D＝45°，把△D 沿D 对折，使点 落在′的位置，′D 交B 于点Q，则 的值为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·河北保定·二模）几何探究： 【问题发现】 （1）如图1 所示，△B 和△DE 是有公共顶点的等边三角形，BD、E 的关系是_______（选填“相等”或 “不相等”）；（请直接写出答） 【类比探究】 （2）如图2 所示，△B 和△DE 是有公共顶点的含有 角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明 理由； 【拓展延伸】 （3）如图3 所示，△DE 和△B 是有公共顶点且相似比为1 : 2 的两个等腰直角三角形，将△DE 绕点自由旋 转，若 ，当B、D、E 三点共线时，直接写出BD 的长．