34 相似三角形存在性揭秘

二次函数背景下的相似三角形的存在性 二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1 先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2 简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3 复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标， 继而用待定系数法求函数解析式； 4 还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5 当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边 的数量关系转化到三角形的相似问题； 6 考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。 【备注】： 1 以下每题法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现 一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、 领悟题目的意思； 3 可以根据各题的“法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生 计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来； 4 例题讲解，可以根据“参考法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个 问题后面有答提示； 5 引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7 每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7 分钟，选讲例题在时间足够的情况 下讲解。 例1（2022 青浦一模24）．（12 分）如图，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx +与x 轴交于点（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点，顶点为点D． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）联结B、BD，求∠BD 的正切值； （3）若点P 为x 轴上一点，当△BDP 与△B 相似时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）将（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+， 得 ， 解得： ， 所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3． 当x＝0 时，y＝﹣3． ∴点的坐标为（0，﹣3）． （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点D 的坐标为（1，﹣4）． ∵B（3，0）、（0，﹣3）、D（1，﹣4）， ∴B＝ ，D＝ ，BD＝ ． ∴B2+D2＝18+2＝20＝DB2． ∴∠BD＝90°． ∴t∠BD＝ ． （3）∵t∠＝ ， ∴∠＝∠BD． ∵＝B， ∴∠B＝∠B＝45°． ∴∠+∠B＝∠BD+∠B． 即：∠B＝∠DB． ∴当△BDP 与△B 相似时，点P 在点B 左侧． （）当 时， ∴ ． ∴BP＝6． ∴P（﹣3，0）． （）当 时， ∴ ． ∴BP＝ ． ∴P（﹣ ，0）． 综上，点P 的坐标为（﹣3，0）或（﹣ ，0）． 例2（2022 嘉定一模24）（12 分）（2021 秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xy 中， 点、B 两点在直线y＝ x 上，如图．二次函数y＝x2+bx﹣2 的图象也经过点、B 两点， 并与y 轴相交于点，如果B∥x 轴，点的横坐标是2． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设这个二次函数图象的对称轴与B 交于点D，点E 在x 轴的负半轴上，如果以点 E、、B 所组成的三角形与△BD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标； （3）设这个二次函数图象的顶点是M，求t∠M 的值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx﹣2 的图像与y 轴相交于点， ∴点的坐标为（0，﹣2）， ∵B//x 轴， ∴点B 的纵坐标是﹣2， ∵点、B 两点在直线y＝ x 上，点的横坐标是2， ∴点的坐标为（2，1），点B 的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵这个二次函数的图像也经过点（2，1）、B（﹣4，﹣2）， ∴ ， 解这个方程组，得 ＝ ，b＝1， ∴二次函数的解析式是y＝ +x﹣2； （2）根据（1）得，二次函数y＝ +x﹣2 图像的对称轴是直线x＝﹣2， ∴点D 的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴B＝2 ，BD＝2， ∵B//x 轴， ∴∠BD＝∠BE， ∴以点E、、B 组成的三角形与△BD 相似有可能以下两种： ①当 时，△BD∽△BE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1 矛盾，这种情况应舍去， ②当 时，△BD∽△EB， ∴ ， ∴E＝10， 又点E 在x 轴的负半轴上， ∴点E 的坐标为 （﹣10，0）； （3）过点作⊥M，垂足为， 根据（1）得，二次函数的解析式是y＝ +x﹣2 的顶点坐标为M（﹣2，﹣3）， 设直线M 的解析式为y＝kx+m， ， 解得k＝1，m＝﹣1， ∴直线M 的解析式为y＝x﹣1， 设直线M 与x 轴、y 轴的交点分别为点P、Q， 则点P 的坐标为（1，0），点Q 的坐标为（0，﹣1）， ∴△PQ 是等腰直角三角形，∠QP＝45°， ∵∠QP＝∠， ∴∠＝45°， ∵点的坐标为（0，﹣2）， ∴Q＝1， ∴＝Q＝ ， 又MQ＝2 ， ∴M＝MQ﹣Q＝ ， ∴t∠M＝ ． 例3（202 崇明一模）24 如图，抛物线y=− x2+bx+与x 轴交于点(4，0)，与y 轴交于 点B(0，3)，点M(m，0)为线段上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线B 及抛物 线分别交于点P，． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）如果以点P、、B、为顶点的四边形为平行四边形，求m 的值； （3）如果以B、P、为顶点的三角形与△B 相似，求点M 的坐标． 【小问1 详解】解：∵抛物线y=− x2+bx+与x 轴交于点(4，0)，与y 轴交于点B(0，3)， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+3， ∵y=− x2+ x+3=− (x- )2+ ， ∴此抛物线的 对称轴为x= ， 顶点坐标为( ， )； 【小问2 详解】解：设直线B 的解析式为y=px+q， 把（4，0），B（0，3）代入得 ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为y= ， ∵M（m，0），M⊥x 轴， ∴（m，− m2+ m+3），P（m， ）， ∴P=− m2+3m，B=3， ∵P∥B，且以点P、、B、为顶点的四边形为平行四边形， ∴P= B，即− m2+3m=3， 整理得：m2-4m+4=0， 解得：m=2； 【小问3 详解】∵（4，0），B（0，3），P（m， ）， ∴B= 5，BP= ， 而P=− m2+3m， ∵P∥B， ∴∠BP=∠B， 当 时，△BP∽△B， 即 ， 整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ， 此时M 点的坐标为（ ，0）； 当 时，△BP∽△B， 即 ， 整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3， 此时M 点的坐标为（3，0）； 综上所述，点M 的坐标为（ ，0）或（3，0）． 例4（2022 宝山一模） 已知在平面直角坐标系 中，拋物线 经 过点 、 ，顶点为点 ． （1）求抛物线的表达式及顶点 的坐标； （2）联结 ，试判断 与 是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点 ，使得 ．如果存在，请求出点 的坐标；如果 不存在，请说明理由． 【小问1 详解】解：抛物线经过点 ， ， ， 设抛物线解析式为： ， 将点代入可得： ， 解得： ， ∴ ， ∴顶点坐标为： ； 【小问2 详解】解：如图所示： 为直角三角形且三边长分别为： ， ， ， 的三边长分别为： ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， ∵ ， ∴△AOC △DCB； 【小问3 详解】解：设存在点P 使 ，作线段的中垂线交于点E，交P 于点F， 连接F，如（2）中图： ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ，即 解得： ， 设 ， ∴ ， ， ∴ ， 整理得： ①， = ， 即 ②， 将①代入②整理得： ， 解得： ， ， ∴ ， ， ∴ 或 （不符合题意舍去）， ∴ ， ， 设直线F 解析式为： ，将两个点代入可得： ， 解得： ， ∴ ， ∴联立两个函数得： ， 将①代入②得： ， 整理得： ， 解得： ， ， 当 时， ， ∴ ． 例5．（2022 静安区一模24）如图，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2+bx 经过点 （2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D． （1）求直线B 的表达式； （2）求t∠BD 的值； （3）设线段BD 与x 轴交于点P，如果点在x 轴上，且△B 与△BP 相似，求点的坐标． 【分析】（1）将（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y ＝x2﹣2x，求出m 的值，然后用待定系数法求直线B 的解析式即可； （2）利用勾股定理判定△BD 是直角三角形，即可求解； （3）求出P 点坐标（ ，0），设（t，0），当∠B＝∠PB 时，△BP∽△P，过B 点作BQ⊥x 轴交于点Q，则t∠BQ＝ ＝ ，求出Q＝9，即可求（﹣10，0）；当P 点与点重合时， △B≌△BP，即可求点坐标． 【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2+bx， ∴4+2b＝0， ∴b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x， 将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x， ∴m＝3， ∴B（﹣1，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴y＝﹣x+2； （2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴D（1，﹣1）， ∴D＝ ，B＝2 ，B＝3 ， ∵B2＝D2+B2， ∴△BD 是直角三角形， ∴t∠BD＝ ＝ ； （3）设直线BD 的解析式为y＝k1x+b1， ∴ ， ∴ ， ∴y＝﹣2x+1， 令y＝0，则x＝ ， ∴P（ ，0）， 设（t，0）， 如图1，当∠B＝∠PB 时，△B∽△PB， ∴∠B＝∠BP 过B 点作BQ⊥x 轴交于点Q， ∴t∠BQ＝ ＝ ， ∴Q＝9， ∴＝10， ∴（﹣10，0）； 当点与P 点重合时，△B≌△BP， 此时（ ，0）； 综上所述：点坐标为（﹣10，0）或（ ，0）． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质， 利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键． 1（2021 年宝山二模24）在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx﹣1（≠0）经过点 （﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，），与y 轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）将抛物线平移，使点落在点B 处，点D 落在点E 处，求△DE 的面积； （3）如果点P 在y 轴上，△PD 与△B 相似，求点P 的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣1 经过点（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：y＝ x2+ x﹣1； ∴ ＝2， ∴D（﹣3，2）； （2）∵将抛物线平移，使点落在点B 处，点D 落在点E 处， ∴E（﹣2，3）， ∴S△DE＝9﹣ ﹣ ＝ ； （3）如图1，连接D，，B，过点D 作DE⊥y 轴于点E， ∵（﹣2，0），B（1，0），（﹣1，0），D（﹣3，2）， ∴B＝，DE＝E＝3，B＝3，B＝ ，D＝3 ， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵△PD 与△B 相似，点P 在y 轴上， ∴分两种情况讨论： ①如图2，当∠B＝∠DP 时，△DP∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴P＝2， ∴P（0，1）， ②如图3，当∠B＝∠DP 时，△PD∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴P＝9， ∴P（0，8）． ∴点P 的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PD 与△B 相似． 2 （2021 崇明二模24）（12 分）已知抛物线y＝x2+bx﹣4 经过点（﹣1，0），B（4， 0），与y 轴交于点，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结、B、D、BD． （1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴； （2）当S△BD＝4S△时，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上的一点，点F 是抛物线上一点，当点、D、 E、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E 的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝x2+bx﹣4 经过点（﹣1，0），B（4，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣3x﹣4， ∴﹣4＝﹣4， ∴＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴 ． （2）如图1 中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接D． ∵S△BD＝S△D+S△BD﹣S△B＝4S△， ∴ ×4×（﹣m2+3m+4）+ ×4×m﹣ ×4×4＝4× ×1×4 整理得：m2﹣4m+4＝0， 解得m＝2， ∴D（2，﹣6）． （3）如图2 中，当E 为平行四边形的边时， ∵DF∥E，D（2，﹣6） ∴F（1，﹣6）， ∴DF＝1， ∴E＝1， ∴E（0，0），或E′（﹣2，0）． 如图3 中，当E，DF 是平行四边形的对角线时， ∵点D 与点F 到x 轴的距离相等， ∴点F 的纵坐标为6， 当y＝6 时，6＝x2﹣3x﹣4， 解得x＝﹣2 或5， ∴F（﹣2，6）或（5，6）， 设E（，0），则有 ＝ 或 ＝ ， 解得＝1 或8， ∴E（1，0）或（8，0）， ，综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．