模型40 相似形——“A”、“8”字模型-解析版

相似形 模型（四十）——“”、“8”字模型 ◎结论1：如图 ，已知∠1=∠2 结论∶△DE∽△B AD AB ＝AE AC＝DE BC 3 组 字模型∶－DE－B, －D－BM, －E－M; 3 组8 字模型∶DE－－B，D－－M, E－－BM 粽子模型 ： 由字型可推导出：E＝AD∙BC AD+BC， 三角形内的正方形边长＝高× 底 高＋底 1．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于 点G，，则下列结论中错误的是（ ） 拓展 鸡（积）在河（和）上飞 ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵B D ∥， ∴ ， ∴选项正确，不符合题目要求； ∵E DF ∥ ， ∴∠GE=∠D，∠EG=∠D， ∴△EG∽△D， ∴ ， ∴ ， ∵B D ∥， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， B ∴ 选项正确，不符合题目要求； ∵B D ∥，E DF ∥ ， ∴四边形EDF 是平行四边形， ∴F=DE， ∵E DF ∥ ， ∴ ， ∴ ； ∴选项正确，不符合题目要求； ∵E DF ∥ ， ∴△BF∽△BG， ∴ ， ∵B＞F， ∴ D ∴ 选项不正确，符合题目要求． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此 题的关键． 1．（2021·海南海口·九年级期末）如图，在▱BD 中，E 为D 的中点，连接E、BD，且E、BD 交于点F，则 ： 为（ ） ．1：5 B．4：25 ．4：31 D．4：35 【答】 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得 ，然后求出 和 相似，再根据相似三角形面积的 比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设 ， ，再根据等高的三角形的面积的比 等于底边的比求出 ，然后表示出 的面积，再根据平行四边形的性质可得 ，然后相比计 算即可得解． 【详解】解： 四边形BD 是平行四边形， ，B=D ∵E 为D 的中点， ∴DE：D=1：2 ∵B//DE ∽ ， ： ： ：4，EF:F=1:2 设 ，则 ， ： ：2， ： ： ：2， ， ， 是平行四边形BD 的对角线， ， ， ： ： ：5． 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形 面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 2．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△B 中，点D 在边B 上，点E、点F 在边上，且DE B， ． （1）求证：DF BE； （2）如且F＝2，EF＝4，B＝6 ．求证△DE∽△EB． 【答】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得 ，则有 ，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知 ，然后可得 ，进而可证 ，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DE B， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴DF BE； （2）∵F＝2，EF＝4， ∴由（1）可知， ，E=6， ∵B＝6 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， = ∵∠∠， ∴△DE∽△EB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形BD 中，点E 是D 上一点（不与，D 两点重 合），连接BE，过点作⊥BE 于点F，交对角线BD 于点G，交D 边于点，连接GE． （1）求证：＝BE； （2）如图2，若点E 是D 的中点，当BE＝12 时，求线段GE 的长； （3）设正方形BD 的面积为S1，四边形DEG 的面积为S2，点E 将D 分成1 2 ∶两部分，求 的值． 【答】（1）见解析（2）4（3）5 或8． 【分析】（1）可得∠D＝∠BE，根据S 可证明△D≌△EB，即可求解； （2）由三角形全等与平行线的性质，可得 ．则G＝2G，可求出G 的长，故可得到GE 的长； （3）点E 将D 分成1 2 ∶两部分得到① ，② ，再分别得到 S1和S2的关系进行求解． 【详解】解：（1）∵四边形BD 是正方形， ∴D＝B，∠D＝∠BE＝90°， ∴∠D＋∠D＝90°， ∵⊥BE， ∴∠EF＝90°， ∴∠EF＋∠BE＝90°， ∴∠D＝∠BE， ∴△D≌△EB（S）， ∴＝BE； （2）∵△D≌△EB， ∴＝BE，D＝E， ∵E＝DE＝ D，D＝B， ∴D＝ B， ∵D B， ∴ ， ∴G＝2G， 设G＝x，则，则G＝2x， 3 ∴x＝12， ∴x＝4． 即G＝4 ∵D=DE，∠DG=∠EDG=45°，DG=DG ∴△DG≌△EDG（SS） ∴GE=G=4； （3）点E 将D 分成1 2 ∶两部分 则① ，② 当 时， ∵D＝E，D＝B， ∴ ， ∵D B， ∴ ， ∴ ， ， 设S△DG＝，则S△BG＝9，S△DG＝3， ∴S△BD＝9＋3＝12， ∴S1＝2S△BD＝24， ∵S△DEG：S△EG＝2：1， ∴S△DEG＝2， ∴S2＝2＋＝3． ∴S1：S2＝24：3＝8． 当 时， ∵D＝E，D＝B， ∴ ， ∵D B， ∴ ， ∴ ， ， 设S△DG＝4，则S△BG＝9，S△DG＝6， ∴S△BD＝9＋6＝15， ∴S1＝2S△BD＝30， ∵S△DEG：S△EG＝1：2， ∴S△DEG＝2， ∴S2＝2＋4＝6． ∴S1：S2＝30：6＝5． 故S1：S2＝5 或8． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等 知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 1．（2020·安徽·合肥市第四十八中学一模）如图，在△B 中，B＝6， ，动点P 在射线EF 上， BP 交E 于点D，∠BP 的平分线交E 于点Q，当Q＝ E 时，EP+BP 的值为（ ） ．9 B．12 ．18 D．24 【答】 【分析】如图，延长EF 交BQ 的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥B，推出 ＝ ＝3， 即可求出EG 解决问题． 【详解】解：如图，延长EF 交BQ 的延长线于G． ∵ ， ∴EG∥B， ∴∠G＝∠GB， ∵∠GB＝∠GBP， ∴∠G＝∠PBG， ∴PB＝PG， ∴PE+PB＝PE+PG＝EG， ∵Q＝ E， ∴EQ＝3Q， ∵EG∥B， ∴△EQG∽△QB， ∴ ＝ ＝3， ∵B＝6， ∴EG＝18， ∴EP+PB＝EG＝18， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅 助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2021·山东临沂·三模）如图，在△B 中，DE∥B，若E＝2，E＝3，则△DE 与△B 的面积之比为（ ） ．4：25 B．2：3 ．4：9 D．2：5 【答】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DE∽△B，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答． 【详解】解：∵E=2，E=3， = ∴E+E=5， ∵DE B， ∴△DE∽△B， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．