模型41 相似形——射影定理模型-解析版

相似形 模型（四十一）——射影定理模型 ◎结论：如图，∠B＝90º，D⊥B，则： 1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在 中， ， 于点D，下列结论错误的有 （ ）个 ①图中只有两对相似三角形；② ；③若 ，D＝8，则D＝4． 公共边2＝共线边乘积 D²＝D·DB ²＝D·B B²＝BD·B ·B＝B·D 多个垂直先导角，相等互余少不了 1 ∠＝∠2，∠3＝∠4 D BD B △∽△ ∽△ 以△D BD ∽△ 为例 AD CD ＝CD BD , D²＝D·DB 记：D 用了两次，D 能写出两条共线线段 同理：²＝D·B B²＝BD·B 等面积：·B＝B·D ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．0 个 【答】 【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出BD，再利用勾股定 理求出D 即可． 【详解】解：∵∠B=90°，D⊥B， ∴ ， ∵ ， ∴△D∽△B∽△BD，故①错误， ∵S△B= •B= B•D， ∴B•=B•D，故②正确， ∵△BD∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴BD=2 或-10（舍弃）， 在Rt△DB 中，D= ，故③正确， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题， 属于中考常考题型． 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，已知D＝ ， 那么B＝_______． 【答】 【分析】证明△BD∽△B，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠B＝90°，D⊥B， ∴∠B＝∠DB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BD∽△B， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴ , ∵ ∴B＝ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在 中， ，垂足为D，我们 可以得到如下正确结论：① ；② ；③ ，这些结论是由古希酷著名数学家 欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③ ． (2)【结论运用】如图2，正方形 的边长为6，点是对角线 、 的交点，点E 在 上，过点作 ， 垂足为F，连接 ． ①求证： ． ②若 ，求 的长． 【答】(1)见解析； (2)①见解析；② ． 【分析】（1）由证明 ，再由相似三角形对应边称比例得到 ，继而解题； （2）①由“射影定理”分别解得 ， ，整理出 ，再结合 即可 证明 ； ②由勾股定理解得 ，再根据 得到 ，代入数值解题即可． （1） 证明： （2） ① 四边形BD 是正方形 ② 在 中， 在 ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（1）问题情境：如图1，Rt 中，∠B＝90°，D⊥B，我们可以利用 与 相似证明2 ＝D•B，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． （2）结论运用：如图2，正方形BD 的边长为6，点是对角线，BD 的交点，点E 在D 上，过点作F⊥BE，垂足为 F，连接F，试利用射影定理证明 ． 【答】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由证明 ，再结合相似三角形对应边成比例即可解题； （2）根据正方形的性质及射影定理解得B2＝B•BD，B2＝BF•BE，再运用SS 证明△BF∽△BED 即可． 【详解】证明：（1）如图1， （2）如图2， ∵四边形BD 为正方形， ∴⊥B，∠BD＝90°， ∴B2＝B•BD， ∵F⊥BE， ∴B2＝BF•BE， ∴B•BD＝BF•BE，即 ， 而∠BF＝∠EBD， ∴△BF∽△BED． 【点睛】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相 关知识是解题关键． 2．如图所示，△B 被平行光线照射，D B ⊥ 于D，B 在投影面上． (1)指出图中的投影是什么？D 与B 的投影呢？ (2)探究：当△B 为直角三角形( B ∠＝90°)时，易得2＝D·B，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在 斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． B ① 2＝BD·B；②D2＝D·BD． 【答】(1)的投影是D，D 的投影是点D，B 的投影是BD；(2)证明见解析 【详解】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即 可； （2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BD∽△B，根据相似三角形对应边成比例可证明结论； ②同理可证△D∽△BD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立． 试题解析： 解：（1）∵D⊥B， 而平行光线垂直B， ∴的投影是D，D 的投影是点D，B 的投影为BD； （2）①∵∠B＝90°，D⊥B 于D， ∴∠B＝∠DB＝90°． ∵∠B＝∠B， ∴△BD∽△B， ∴ ， ∴B2＝BD•B； ②同理可得：△D∽△BD， ∴ ， ∴D2＝D•BD． 点睛：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结合图形得 出相似三角形是解决（2）的关键．