题型15 等差数列、等比数列的性质 及其前n 项和解题技巧 技法01 等差数列的性质解题技巧 知识迁移 等差数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am+an=ap+aq ，或m+n=2 p⇔am+an=2ap （2）若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{man±kbn}仍为等差数列 例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 . 根据等差数列的性质可得 根据等差数列的性质可得 ，解得 ， 技法01 等差数列的性质解题技巧 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 技法03 等比数列的性质解题技巧 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 所以 . 例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ 技法03 等比数列的性质解题技巧 知识迁移 等比数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am⋅an=ap⋅aq 或m+n=2 p⇔am⋅an=a p2 （2）若{an}，{bn}为等比数列，则{an⋅bn}，{ an bn}仍为等比数列 例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 = A． B．7 C．6 D． 等比数列通项公式的性质

题型15 等差数列、等比数列的性质 及其前n 项和解题技巧 技法01 等差数列的性质解题技巧 知识迁移 等差数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am+an=ap+aq ，或m+n=2 p⇔am+an=2ap （2）若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{man±kbn}仍为等差数列 例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 . 根据等差数列的性质可得 根据等差数列的性质可得 ，解得 ， 技法01 等差数列的性质解题技巧 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 技法03 等比数列的性质解题技巧 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 所以 . 例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ 是等差数列 技法03 等比数列的性质解题技巧 等比数列通项公式的性质是等比数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 知识迁移 等比数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am⋅an=ap⋅aq 或m+n=2 p⇔am⋅an=a p2 （2）若{an}，{bn}为等比数列，则{an⋅bn}，{ an bn}仍为等比数列 例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{

(2)若 成等比数列，求 的最小值． （1）因为 ，即 ①， 当 时， ②， ① ②得， ， 即 ， 即 ，所以 ， 且 ， 所以 是以为公差的等差数列． 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 与 的关系得到 为等比数列求解即可; 为等比数列求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 即 ， 又因为 ，满足上式， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 则 . （2）因为 ， 所以 . 2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) ， ， ，求 . 【答案】(1) (2)-36672 【分析】（1）利用 得到数列 为等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）求出 ，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）因为 ，则当 时， ， 两式相减可得 ，则 ， 且当 时， ，解得 ， 所以 是首项为 ，公比为2 的等比数列， 所以 ， 即 ； （2）因为 ， 则 . 技法02 已知an+1=an+f

1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 比数列 的前三项． (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求； （2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和． 【详解】（1）由数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，可得 ． 又 ， ， 是等比数列 的前三项，可得 ， 即有 ，解得 或 ， 时， ，不能作为等比数列的项， 舍去， 所以 ； （2）由（1）可得等比数列 的前三项为1，2，4，则 首项为1 公比为2， ， 所以 ， 数列 的前n 项和 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可； （2）分组求和即可. 【详解】（1） 数列 为等比数列， ， ． 设 的公比为 ， 则 ， ， ，解得 或 ． 由 单调递增，得 ， 故 ． （2）由上可知， ， ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)证明 是等比数列； (2)若 ，求 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见解析

（数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n 项和为 ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)若 ，数列 的前n 项和为 ，证明： ． 【详解】（1）由 得 ，则当 时，有 ， 技法01 数列中不等式的证明 技法02 数列中的不等式放缩 技法03 数列中的参数求解 数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生 具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习. 两式相减得 ， 整理得 ，即 ， 因此数列 是以 为公比的等比数列． （2）由（1）及 可得 ， 因此 ． 于是 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 故 ． 1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 为 ， 的等比中项 2．（2023·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列． (1)求数列 的通项公式． (2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知等比中项列等式，结合 与 的关系可得 的递推公式，然后利用构造法求 ， 再根据 与 的关系求通项； （2）根据裂项相消法求 ，然后可证明. 【详解】（1）由 成等比数列， 得 ， 所以 ． 整理，得 ，则

C.π D.π＋1 4..已知数列 的前项和 （是既不为也不为1 的常数），那么 （ ） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列，或者是等比数列 D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 5. 已知等比数列{ } n a 满足 0, 1,2, n a n   ，且 2 5 2 5 2 ( 3) n n a a n     ，则当 若点P 是曲线y＝x2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y＝x－2 的最小距离为( ) A．1 B．2 C．3 D． 7 已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 ， 使得 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C. D． 8. 设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c ，则（ ） A． 为等差数列 B． 为递增数列 C． 为等比数列D． 的前 项和 三．填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.若 ，则数列 的前21 项和 ___________. 14.已知直线x＋y＝b 是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________ 15.等比数列{ } n a 中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则a1

一．本大题共16 小题，每小题5 分，共80 分。在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1. 在等差数列 中， ， ，则数列 的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 等比数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．在等差数列 中， ， 表示数列 的前 项和，则 （ ） A．43 B．44 C．45 C． D． 7. 已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ，则 A． B． C． D． 8．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 （， ， 且 ），则的取值集合是（ ） A． B． C． D． 9．已知等差数列 的公差 ，若 ， ，则该数列的前 项和 的 最大值为（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 10．等比数列 的公比 ， 中有连续四项在集合 中有连续四项在集合 中，则 等 于（ ） A． B． C． D． 11．已知数列 是递减的等比数列， 的前 项和为 ，若 ， ，则 =（ ） A．54 B．36 C．27 D．18 12．在各项都为正数的数列 中，首项 为数列 的前 项和，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 13．若等差数列 与等差数列 的前n 项和分别为 和 ，且

关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可. 例1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和．已知 ． (1)证明： 是等差数列； (2)若 成等比数列，求 的最小值． （1）因为 ，即 ①，当 时， ②， ① ②得， ，即 ， 即 ，所以 ， 且 ， 所以 是以为公差的等差数列． 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 技巧技法03 已知an+1=an⋅f (n)用累乘法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an⋅f (n),a1=A⇒ an+1 an =f (n)，若：f (n) 为{ 常数→等比数列 函数→累乘法 例3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； 累乘法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累乘的类型，需强化练习 ∴数列{an+λ}是以p为公比，以{a1+λ}为首项的等比数列， ∴an+λ=(a1+λ) pn−1⇒an=(a1+λ) pn−1−λ 此类型题关键在于是否存在这样的λ，使得{an+λ}为等比数列？ 可用待定系数展开an+1+λ=p(an+λ)⇒an+1=pan+( p−1) λ⇒λ=q p−1 ∴λ=q p−1 使得{an+λ}为等比数列 例4．an+1=3an+8,a1=2, 求{an}通项公式

答案写在答题卡的 相应位置上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题，共60 分） 一．选择题（共12 小题，满分60 分，每小题5 分） 1．在等比数列{an}中，若a1＝27， ，则a3 ＝（ ） A．3 或﹣3 B．3 C．﹣9 或9 D．9 2．在等差数列{an}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{an}的前17 ，则公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设等差数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若 ＝ ，则 ＝（ ） A． B．43 C． D．41 第2 页（共27 页） （北京）股份有限公司 8．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3 9．等差数列{an}的前n 项和是Sn，且满足S5＝S10，若Sn 存在最大值，则下列说法正确的 是（ ） A．a1+a16＞0 B．a2+a15＜0 C．a1+a14＜0 D．a2+a14＞0 10．已知等比数列{an}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则 的值为（ ） A．20 B．10 C．5 D． 11．已知数列{an}满足an＝2n+kn，若{an}为递增数列，则k

是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 比数列 的前三项． (1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n 项和 ． 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ． (1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)证明 是等比数列；(2)若 ，求 的前 项和 ． 技法02 项和为 ， ， ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)求证： ． 3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列 的前 项和 满足 . (1)证明：数列 是等差数列； (2)设 ，若 成等比数列，求数列 的前 项和 . 4．（2023·山东德州·三模）已知 为数列 的前 项和， ． (1)求数列 的通项公式 ； (2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ． 5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 （1） ． （2）因为 ，所以 ， ， 两式相减得， ， ，即 ， ． 也可以用万能公式求出A、B、C 直接求解 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 为数列 的前 项和， ，且 是公差为1 的等差数 列．正项等比数列 满足 ， ． (1)求数列