高考数学答题技巧题型15 等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧（解析版）Word（17页）

题型15 等差数列、等比数列的性质 及其前n 项和解题技巧 技法01 等差数列的性质解题技巧 知识迁移 等差数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am+an=ap+aq ，或m+n=2 p⇔am+an=2ap （2）若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{man±kbn}仍为等差数列 例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 . 根据等差数列的性质可得 ，解得 ， 技法01 等差数列的性质解题技巧 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 技法03 等比数列的性质解题技巧 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 所以 . 例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ． 因为{an}，{bn}都是等差数列,所以 也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5 ＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝ . 1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列 中， ， ，则 （ ） A．210 B．190 C．170 D．150 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义知公差为 ，然后利用求和公式结合等差数列通项性质求和即可； 【详解】由 知数列 是公差为 的等差数列， 所以 . 故选：C. 2．（2024·河南郑州·统考一模）已知数列 为等差数列， ，则 （ ） A．19 B．22 C．25 D．27 【答案】A 【分析】依题意由等差数列性质计算可得 ，利用等差中项计算可得 ，可求出 . 【详解】根据等差数列性质，由 可得 ， 所以可得 ， 又 可得 ， 所以 . 故选：A 3．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列 满足 ， ，则 （ ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可. 【详解】设等差数列的公差为 . 由 ，得 ，即 ①； 由 ，得 ， ②； 由①②得 ， 则 . 故选：A. 4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 . 【答案】24 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】因为在等差数列 中，有 ，所以由 ， 得 ， ，又 ，所以 . 故答案为：24 5．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知 为等差数列，若 ，则 的值为 . 【答案】 【分析】先利用等差数列的性质求出 ，进而得 ，再代入所求即可． 【详解】因为 为等差数列，且 ， 由等差数列的性质得 ， 所以 ， 故 . 故答案为： . 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 知识迁移 等差数列前n 项和的性质是等差数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 1. 等差数列前n 项和与函数关系 Sn=na1+ n (n−1)d 2 ⇒Sn=na1+ dn2−dn 2 ⇒Sn=d 2 n2+(a1−d 2)n 令 A=d 2 ， B=a1−d 2 ，⇒Sn=An2+Bn ⇒等差数列{an}前n 项和公式是无常数项的二次函数 2. 等差数列前n 项和的性质 （1）Sk ，S2k−Sk ，S3k−S2k ……仍成等差数列 （2）{ Sn n }为等差数列 推导过程： Sn n = An2+Bn n =An+B （一次函数） ⇒{ Sn n }为等差数列 （3）Sm+n=Sm+Sn+mnd （4）S2n−1=(2n−1)an 例2-1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ） A．9 B． C．12 D． 【详解】由已知 ， ， ，即3， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 例2-2．（2023·辽宁大连·校联考二模）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】由等差数列的性质可知 、 、 、 成等差数列， ∵ ，即 ， ，∴ ， ，∴ ， ， ∴ . 例2-3．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， 为等差数列， 所以 ， ，所以 ， 例2-4．（2022·全国·模拟预测）设等差数列 与等差数列 的前n 项和分别为 ， .若对于任意的正 整数n 都有 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】设 ， ， .则 ， ，所以 . 1．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列 的前n 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，即可得出． 【详解】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列， ， ，解得 ． 故选：C. 2．（2021·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知等差数列 的前n 项和为 ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用通项公式和求和公式可以得到 为等差数列，利用此性质得到方程求解即得. 【详解】∵ ，∴ 是等差数列， ，是其中的连续三项， ∴ ， 解得 故选:C. 【点睛】 是以 为首项，以数列 的公差的一半为公差的等差数列，这是一个很有用的结论. 3．（2024·广东广州·铁一中学校考一模）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设 ，求得 ，即可得结果. 【详解】由等差数列片段和性质知： 是等差数列. 由 ，可设 ，则 ，于是 依次为 ， 所以 ，所以 . 故选：B 4．（2024·广东中山·中山一中校考一模）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 ，结合等差数列的前 项和公式，构造出符合题意的一组 与 的通项公式， 再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列 、 都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前 项和公式为 ， 所以不妨令 为常数，且 ， 所以 时， ， ． ， ， ， . 故选：A 5．（2022·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 . 【答案】16 【分析】方法一：由等差数列的性质得： ， ， 成等差数列，则 ，求解 即可得到答案；方法二：利用等差数列前 项和公式，列出方程，求解即可得到答案. 【详解】方法一：因为 为等差数列 的前 项和，则 ， ， 也成等差数列， ， ， 成等差数列，所以 ，解得 . 方法二：设等差数列 的公差为 ，由 为等差数列 的前 项和，且 ， ， 所以 ，解得： ， 所以 . 故答案为：16 6．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列说 法正确的是（ ） A． 是递增数列 B． 是数列 中的项 C．数列 中的最小项为 D．数列 是等差数列 【答案】ACD 【分析】利用数列的单调性可判断A 选项；求出数列 的通项公式，解方程 ，可判断B 选项；解 不等式 ，可判断C 选项；求出数列 的通项公式，利用等差数列的定义可判断D 选项. 【详解】由已知 ， ，所以，数列 是首项为 ，公差为的等差数列， 所以， . 对于A 选项，因为 ，所以， 是递增数列，A 对； 对于B 选项，令 ，可得 ，B 错； 对于C 选项，令 可得 ，所以，数列 中的最小项为 ，C 对； 对于D 选项， ，则 ， 所以， ， 故数列 为等差数列，D 对. 故选：ACD. 技法03 等比数列的性质解题技巧 知识迁移 等比数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am⋅an=ap⋅aq 或m+n=2 p⇔am⋅an=a p2 （2）若{an}，{bn}为等比数列，则{an⋅bn}，{ an bn}仍为等比数列 例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 = A． B．7 C．6 D． 等比数列通项公式的性质是等比数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝ 例3-2．（全国·高考真题）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ） A．12 B．10 C．8 D． 为等比数列，则 ． 1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列 中， ，则 （ ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由 可得 ，又 ， 故 ，则 ，解得 ，即 . 故选：D 2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知 为递增的等比数列，且满足 ， ， 则 （ ） A． B．1 C．16 D．32 【答案】C 【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得 ，再根据等比数列的基本量求 . 【详解】由题意， ， 联立 ，则 或 因为 是递增的数列，得 ， 设等比数列 的公比为 ，则 . 故选：C. 3．（2023·吉林·统考一模）在等比数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】设 ，倒序相加再由等比数列的性质求解. 【详解】设 ， 则 ， 所以 . 故选：A 4．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）设 是等比数列，且 ， ，则 . 【答案】189 【分析】由 是等比数列，则 ， ， ， 成等比数列，再根据新等比数列的性质 计算即可. 【详解】由 是等比数列，设其公比为 ， 则 ， ， ， 构成等比数列，且公比为 ， ， ， 则 . 故答案为：189. 5．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列 中， 与 是方程 的两个根，则 . 【答案】5 【分析】利用韦达定理，可得 ，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可. 【详解】因为 与 是方程 的两个根，所以 ， 因为 为正项等比数列，所以 ， 所以 ， 故答案为：5. 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 知识迁移 等比数列前n 项和的性质 （1） Sk ， S2k−Sk ， S3k−S2k ……仍成等比数列 （2） Sm+n=Sm+qm⋅Sn 例4-1．（2021·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n 项和.若 ， ，则 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 等比数列前n 项和的性质是等比数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. ∵ 为等比数列 的前n 项和，∴ ， ， 成等比数列 ∴ ， ∴ ，∴ . 例4-2．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n 项和，若 ， ，则 （ ）． A．120 B．85 C． D． 方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ， 若 ，则 ，与题意不符，所以 ； 若 ，则 ，与题意不符，所以 ； 由 ， 可得， ， ①， 由①可得， ，解得： ， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ，所以 ，否则 ， 从而， 成等比数列， 所以有， ，解得： 或 ， 当 时， ，即为 ， 易知， ，即 ； 当 时， ， 与 矛盾，舍去． 例4-3．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列 的前n 项和是 ，则下列说 法正确的是（ ） A．若 ，则 是等差数列 B．若 ， ，则 是等比数列 C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列 D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列 对于A， ， 时， ，解得 ，因此 ， ， 是等差数列， A 正确； 对于B， ， ，则 ，而 ， 是等比数列，B 正确； 对于C，设等差数列 的公差为 ，首项是 ， ， ， 因此 ，则 ， 成等差数列，C 正确； 对于D，若等比数列 的公比 ，则 不成等比数列，D 错误. 1．（2023·全国·模拟预测）设等比数列 的前 项和是 .已知 ，则 （ ） A．13 B．12 C．6 D．3 【答案】A 【分析】方法一，根据等比数列的性质可求得 ，可得 ，求得 ，可得解； 方法二，同方法一求得 ，再根据等比数列前 项和公式代入运算可得解. 【详解】方法一 因为 ，所以 ， ， 所以 ，所以 .又 ，得 ， 所以 . 故选：A. 方法二 因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 . 故选：A. 2．（2023·全国·模拟预测）设等比数列 的前 项和是 ．已知 ， ，则 （ ） A．900 B．1200 C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质及前 项和公式计算即可求解. 【详解】设等比数列 的公比为 ，因为 ， ， 所以 ， ， 得 ，所以 ， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ， ，则 （ ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】由等比数列前 项和列出 与 ，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前 项和的性质得 ， ， 成等比数列，且公比为 ，即可列式 ，代入值即可解出答案. 【详解】法一：因为等比数列 的公比为 ， 则 ， ， 所以 ，解得 . 法二：根据等比数列前 项和的性质得 ， ， 成等比数列，且公比为 ， 所以 ，即 ，解得 .. 故选：C 4．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A．36 B．54 C．28 D．42 【答案】D 【分析】利用等比数列前 项和公式整体代入计算即可求得 . 【详解】根据题意设等比数列 的首项为 ，公比为 ，易知 ； 由 可得 ， 两式相除可得 ，即 ； 所以 . 故选：D 5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 . 【答案】510 【分析】利用等比数列的性质： ， ， ，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果. 【详解】因为数列 为等比数列，由等比数列的性质知， ， ， ，…， ，…构成首项为 ，公比为 的等比数列，且 是该等比数列的前8 项和， 所以 . 故答案为：510.