高考数学答题技巧题型16 11类数列通项公式构造解题技巧（原卷版）Word（18页）

题型16 11 类数列通项公式构造解题技巧 技法01 用an与Sn关系求通项公式的解题技巧 知识迁移 an={ s1,n=1 sn−sn−1,n≥2 技法01 用an 与Sn关系求通项公式的解题技巧 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 技法03 已知an+1=an⋅f (n) 用累乘法求通项公式的解题技巧 技法04 已知an+1=pan+q 用an+1+λ=p (an+λ)求通项公式的解题技巧 技法05 已知an+1=pan+f (n)用an+ An+B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项公式的解题技巧 技法06 已知an+1=pan+qn 用 an+1 qn+1= p q⋅an qn + 1 q 求通项公式的解题技巧 技法07 已知an+2=pan+1+qan用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式的解题技巧 技法08 已知an−1−an=pan−1an用 1 an −1 an−1 =p 求通项公式的解题技巧 技法09 已知 an+1= man pan+q 用 1 an+1 =m q 1 an + m p 求通项公式的解题技巧 技法10 已知an+1= pa nq ( p>0,an>0)用lg an+1=q lg an+lg p 求通项公式的解题技巧 技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧 用an 与Sn 关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可. 例1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和．已知 ． (1)证明： 是等差数列； (2)若 成等比数列，求 的最小值． （1）因为 ，即 ①，当 时， ②， ① ②得， ，即 ， 即 ，所以 ， 且 ， 所以 是以为公差的等差数列． 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 3．（2023·广东·统考二模）记数列 的前n 项和为 ，已知 ，且满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前n 项和为 ，若 ， ， ，求 . 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an+f (n),a1=A ，若{ f (n)为常数，构造成等差数列 f (n)为一次函数，构造等差求和 f (n)为指数函数，构造等比求和 f (n)为分式函数，构造裂项相消求和 例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ，求通项公式 ． 原递推式可化为 ，则 ， ，…， ，逐项相加，得 ，故 ． 1．（2023 上·江苏·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式． 累加法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累加的类型，需强化练习. 2．（2023·江苏南京·校考二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 . (1)求 的值，并求数列 的通项公式. (2)令 ，求数列 的前 项和. 3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n 项和为 ， 则（ ） A． B． C． D． 技巧技法03 已知an+1=an⋅f (n)用累乘法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an⋅f (n),a1=A⇒ an+1 an =f (n)，若：f (n) 为{ 常数→等比数列 函数→累乘法 例3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； 累乘法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累乘的类型，需强化练习. (2)证明： ． （1）∵ ，∴ ,∴ , 又∵ 是公差为 的等差数列， ∴ ,∴ , ∴当 时， ， ∴ , 整理得： , 即 , ∴ ， 显然对于 也成立， ∴ 的通项公式 ； 1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列 满足： . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前n 项和 . 2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)证明： ． 3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， . (1)求证：数列 为等差数列； (2)设 ，求数列 的前n 项和 . 技法04 已知an+1=pan+q用an+1+λ=p (an+λ)求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=pan+q,其中p,q为常数 构造：假设存在一个实数λ，使得：an+1+λ=p(an+λ)成立 ∴ an+1+λ an+λ =p ∴数列{an+λ}是以p为公比，以{a1+λ}为首项的等比数列， ∴an+λ=(a1+λ) pn−1⇒an=(a1+λ) pn−1−λ 此类型题关键在于是否存在这样的λ，使得{an+λ}为等比数列？ 可用待定系数展开an+1+λ=p(an+λ)⇒an+1=pan+( p−1) λ⇒λ=q p−1 ∴λ=q p−1 使得{an+λ}为等比数列 例4．an+1=3an+8,a1=2, 求{an}通项公式? 解：假设存在一个实数λ，使得：an+1+λ=3(an+λ)成立 解得：λ=4 ∴an+1+4=3(an+4) ∴ an+1+4 an+4 =3 ∴数列{an+4}是以3为公比，以a1+4=6为首项的等比数列 ∴an+4=6×3n−1 ∴an=6×3n−1−4 已知an+1=pan+q ，我们可以用待定系数法构造an+1+λ=p (an+λ) ，从而转化为我们熟悉的等比数列 求解，是高考的常考题型，需强化练习 1．（2023·湖南张家界·统考二模）数列 中， ， . (1)求数列 的通项公式 ； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 中， ，且 ， 为其前 项的和． (1)求数列 的通项公式； (2)求满足不等式 的最小正整数 的值； (3)设 ， ，其中 ，若对任意 ， ，总有 成立，求 的 取值范围． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足 ， . (1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 4．（2023·山东德州·三模）已知 为数列 的前 项和， ． (1)求数列 的通项公式 ； (2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ． 5．（2023·贵州遵义·统考三模）已知 为数列 的前 项和，且满足 ， . (1)求证：数列 是等比数列； (2)若 ，记 为数列 的前 项和，求满足不等式 的 的最大值. 技法05 已知an+1=pan+f (n)用an+ An+B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项公式的解题技巧 例5．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）在数列 中，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和． （1）因为 ， 所以 ，又 ， 所以 是首项为2，公比为2 的等比数列． 所以 ，即 ； 1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在数列 中， ． 已知an+1=pan+f (n) 用an+ An+B=p[an−1+ A (n−1)+B]求通项，可以套模板来灵活解题，其本质是 待定系数，需强化练习. (1)证明：数列 为常数列． (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 2．（2022 下·湖北·高二校联考阶段练习）在数列 中， ，且 . (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前n 项和 . 技法06 已知an+1=pan+qn用 an+1 qn+1= p q⋅an qn + 1 q 求通项公式的解题技巧 例6．（2023·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为 (1)试求数列 的通项公式； (2)求 . 已知an+1=pan+qn 用 an+1 qn+1= p q⋅an qn + 1 q 求通项公式，其本质是除以一个指数式，是高考中的高频考题， 可灵活运用模板解题 （1）由题意 ，两边同时除以 ，将其变形为 ，即 ， 由等差数列的定义可知 是以首项为 、公差为 的等差数列， 所以 ，即 . 1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ， ． (1)证明： 是等差数列； (2)求数列 的前 项积． 2．（2022 下·全国·高三校联考开学考试）已知数列 中， ， ， . (1)设 ，求证 是等差数列； (2)求 的通项. 技法07 已知an+2=pan+1+qan用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式的解题技巧 例7．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列 满足 ， ， . (1)证明：数列 为等比数列. (2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 . （1） ， ． 已知 ， ，得 ，可得 ， 数列 为以2 为首项，以2 为公比的等比数列 1．（2024 上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ， ． (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的通项公式． 2．（2023 下·吉林白城·高二校考阶段练习）已知数列 满足 (1)求数列 的通项公式 已知an+2=pan+1+qan用an+2−kan+1=h(an+1−kan)求通项公式，其本质是待定系数法，是高考中的高频 考题，可灵活运用模板解题 (2)设 为数列 的前n 项和，若 恒成立，求实数m 的取值范围 3．（2023 下·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知数列 满足 ， ，且 . (1)求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式； (2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围. 4．（2023 上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知数列 满足 ， ，对任意的 时， 都有 成立. (1)令 ， ，求证： ， 都是等比数列； (2)求数列 的通项公式 . 技法08 已知an−1−an=pan−1an用 1 an −1 an−1 =p 求通项公式的解题技巧 例8．（2023·福建三明·统考三模）已知数列 满足 ， . (1)求数列 的通项公式； 已知an−1−an=pan−1an用 1 an −1 an−1 =p 求通项公式，其本质是除以an−1an，是高考中的高频考题，可灵 活运用模板解题 (2)设 ， 的前 项和为 ，证明： . （1）因为 ， ，所以 ， 所以 . 所以 ， 所以 为等差数列，首项为 ，公差 ， 所以 ， 所以 1．（2023·河南安阳·统考三模）已知数列 满足 . (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 2．（2023 上·陕西西安·高三校联考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且 . (1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 . 3．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 的前n 项和为 ，若 ，求k 的最小值． 技法09 已知 an+1= man pan+q 用 1 an+1 =m q 1 an + m p 求通项公式的解题技巧 例9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）数列 中， ，且 . (1)求 的通项公式； (2)令 ，记数列 的前 项和为 ，求 . （1）由 ，可得 . 因为 ，所以 . 已知 an+1= man pan+q 用 1 an+1 =m q 1 an + m p 求通项公式，其本质是取到数，是高考中的高频考题，可灵活运 用模板解题 所以数列 是首项为1，公差为1 的等差数列. 所以 ，即 . 1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列 满足 ，且 . (1)求证：数列 是等比数列； (2)若 ，求满足条件的最大整数n. 2．（2023·山东·模拟预测）已知数列 满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： . 3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)求证：数列 的前n 项和 . 技法10 已知an+1= pa nq ( p>0,an>0)用lg an+1=q lg an+lg p求通项公式的解题技巧 例10．an+1=3×a n2,已知a1=3, 求{an}的通项公式？ 解:两边同时取以3为底的对数得： log3an+1=log3(3×a n2)=log33+log3a n2=1+2log3an b 设n=log3an⇒bn+1=2bn+1 假设存在一个实数λ 使得bn+1+λ=2(bn+λ)成立， 解得：λ=1 ∴bn+1+1=2(bn+1)⇒ bn+1+1 bn+1 =2 ∴{bn+1}是以2为公比，以2为首项的等比数列 ∴bn+1=2×2n−1=2n⇒bn=2n−1 ∴log3an=2n−1⇒an=32n−1 1．（2023·浙江宁波·浙江省宁波市鄞州中学校考模拟预测）数列 满足 ，下列 说法正确的是（ ） A．存在正整数 ，使得 B．存在正整数 ，使得 C．对任意正整数 ，都有 D．数列 单调递增 已知an+1= pa nq ( p>0,an>0)用lg an+1=q lg an+lg p 求通项公式，其本质是取对数，是高考中的高频 考题，可灵活运用模板解题 2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式. 3．（江西抚州·高一统考期中）已知 ，点 在函数 的图像上，其中 . （1）求 的值； （2）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （3）记 ，求数列 的前 项和 . 4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式. 技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧 例11．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）数列 的前 项和为 ，且满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 构造常数列的题在近年模拟题中越来越多，也是考向标的一种风向，能替代部分累加累乘，能做到快速求 解. （1）由 ，得当 时， ，两式相减得： ， 从而 ，即数列 是常数列，因此 ， 所以数列 的通项公式是 . 1．（2023·江苏无锡·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ， . (1)求 的通项公式； (2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 除以3 的余数. 2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ． (1)求 的通项公式； (2)记 ，求数列 的前n 项和 ． 3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 . (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列 的前 项和 .