高考数学答题技巧题型15 等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧（原卷版）Word（10页）

题型15 等差数列、等比数列的性质 及其前n 项和解题技巧 技法01 等差数列的性质解题技巧 知识迁移 等差数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am+an=ap+aq ，或m+n=2 p⇔am+an=2ap （2）若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{man±kbn}仍为等差数列 例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 . 根据等差数列的性质可得 ，解得 ， 技法01 等差数列的性质解题技巧 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 技法03 等比数列的性质解题技巧 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 所以 . 例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ． 因为{an}，{bn}都是等差数列,所以 也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5 ＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝ . 1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列 中， ， ，则 （ ） A．210 B．190 C．170 D．150 2．（2024·河南郑州·统考一模）已知数列 为等差数列， ，则 （ ） A．19 B．22 C．25 D．27 3．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列 满足 ， ，则 （ ） A．25 B．35 C．40 D．50 4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 . 5．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知 为等差数列，若 ，则 的值为 . 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 知识迁移 1. 等差数列前n 项和与函数关系 Sn=na1+ n (n−1)d 2 ⇒Sn=na1+ dn2−dn 2 ⇒Sn=d 2 n2+(a1−d 2)n 令 A=d 2 ， B=a1−d 2 ，⇒Sn=An2+Bn⇒等差数列{an}前n 项和公式是无常数项的二次函数 2. 等差数列前n 项和的性质 （1）Sk ，S2k−Sk ，S3k−S2k ……仍成等差数列 （2）{ Sn n }为等差数列 推导过程： Sn n = An2+Bn n =An+B （一次函数） ⇒{ Sn n }为等差数列 （3）Sm+n=Sm+Sn+mnd （4）S2n−1=(2n−1)an 等差数列前n 项和的性质是等差数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 例2-1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ） A．9 B． C．12 D． 【详解】由已知 ， ， ，即3， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 例2-2．（2023·辽宁大连·校联考二模）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】由等差数列的性质可知 、 、 、 成等差数列， ∵ ，即 ， ，∴ ， ，∴ ， ， ∴ . 例2-3．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， 为等差数列， 所以 ， ，所以 ， 例2-4．（2022·全国·模拟预测）设等差数列 与等差数列 的前n 项和分别为 ， .若对于任意的正 整数n 都有 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】设 ， ， .则 ， ，所以 . 1．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列 的前n 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．0 B． C． D． 2．（2021·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知等差数列 的前n 项和为 ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·广东广州·铁一中学校考一模）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2024·广东中山·中山一中校考一模）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 . 6．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列说 法正确的是（ ） A． 是递增数列 B． 是数列 中的项 C．数列 中的最小项为 D．数列 是等差数列 技法03 等比数列的性质解题技巧 等比数列通项公式的性质是等比数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 知识迁移 等比数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am⋅an=ap⋅aq 或m+n=2 p⇔am⋅an=a p2 （2）若{an}，{bn}为等比数列，则{an⋅bn}，{ an bn}仍为等比数列 例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 = A． B．7 C．6 D． 由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝ 例3-2．（全国·高考真题）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ） A．12 B．10 C．8 D． 为等比数列，则 ． 1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列 中， ，则 （ ） A．4 B．8 C．32 D．64 2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知 为递增的等比数列，且满足 ， ， 则 （ ） A． B．1 C．16 D．32 3．（2023·吉林·统考一模）在等比数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D．11 4．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）设 是等比数列，且 ， ，则 . 5．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列 中， 与 是方程 的两个根，则 . 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 知识迁移 等比数列前n 项和的性质 等比数列前n 项和的性质是等比数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. （1） Sk ， S2k−Sk ， S3k−S2k ……仍成等比数列 （2） Sm+n=Sm+qm⋅Sn 例4-1．（2021·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n 项和.若 ， ，则 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 ∵ 为等比数列 的前n 项和，∴ ， ， 成等比数列 ∴ ， ∴ ，∴ . 例4-2．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n 项和，若 ， ，则 （ ）． A．120 B．85 C． D． 方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ， 若 ，则 ，与题意不符，所以 ； 若 ，则 ，与题意不符，所以 ； 由 ， 可得， ， ①， 由①可得， ，解得： ， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ，所以 ，否则 ， 从而， 成等比数列， 所以有， ，解得： 或 ， 当 时， ，即为 ， 易知， ，即 ； 当 时， ， 与 矛盾，舍去． 例4-3．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列 的前n 项和是 ，则下列说 法正确的是（ ） A．若 ，则 是等差数列 B．若 ， ，则 是等比数列 C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列 D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列 对于A， ， 时， ，解得 ，因此 ， ， 是等差数列， A 正确； 对于B， ， ，则 ，而 ， 是等比数列，B 正确； 对于C，设等差数列 的公差为 ，首项是 ， ， ， 因此 ，则 ， 成等差数列，C 正确； 对于D，若等比数列 的公比 ，则 不成等比数列，D 错误. 1．（2023·全国·模拟预测）设等比数列 的前 项和是 .已知 ，则 （ ） A．13 B．12 C．6 D．3 2．（2023·全国·模拟预测）设等比数列 的前 项和是 ．已知 ， ，则 （ ） A．900 B．1200 C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ， ，则 （ ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A．36 B．54 C．28 D．42 5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 .