河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题

第1 页（共27 页） （北京）股份有限公司 河南省南阳市第一中学学校2022-2023 高二下学期 数学3 月份月考试卷卷一 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的 相应位置上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题，共60 分） 一．选择题（共12 小题，满分60 分，每小题5 分） 1．在等比数列{an}中，若a1＝27， ，则a3 ＝（ ） A．3 或﹣3 B．3 C．﹣9 或9 D．9 2．在等差数列{an}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{an}的前17 项和为（ ） A．166 B．172 C．168 D．170 3．若数列{ }是等差数列，a1＝l，a3＝﹣ ，则a5 ＝（ ） A．﹣ B． C． D．﹣ 4．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S10＝310，S20＝930，则S30 ＝（ ） A．1240 B．1550 C．1860 D．2170 5．在等差数列{an}中，a1+a3＝8，a2a4＝40 ，则公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设等差数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若 ＝ ，则 ＝（ ） A． B．43 C． D．41 第2 页（共27 页） （北京）股份有限公司 8．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3 个数， 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2023 ＝（ ） 第2 页（共27 页） （北京）股份有限公司 A．4044 B．4046 C．4048 D．4050 9．等差数列{an}的前n 项和是Sn，且满足S5＝S10，若Sn 存在最大值，则下列说法正确的 是（ ） A．a1+a16＞0 B．a2+a15＜0 C．a1+a14＜0 D．a2+a14＞0 10．已知等比数列{an}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则 的值为（ ） A．20 B．10 C．5 D． 11．已知数列{an}满足an＝2n+kn，若{an}为递增数列，则k 的取值范围是（ ） A．（﹣2，+∞） B．（2，+∞） C ∞ ．（﹣ ，﹣2） D ∞ ．（﹣ ，2） 12．设等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题,共90 分） 二．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分） 13．等差数列{an}的前n 项和是Sn，若Sn＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝ ． 14．若等比数列{an}的各项均为正数，且 ，则lna1+lna2+ + ⋯lna7＝ ． 15．在等比数列{an}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{an}的前n 项和、前n 项积分别 为Sn，Tn，则 的最大值是 ． 16．首项为正数，公差不为0 的等差数列{an}，其前n 项和为Sn，现有下列4 个命题： ①若S8＜S9，则S9＜S10； ②若S11＝0，则a2+a10＝0； ③若S13＞0，S14＜0，则{Sn}中S7最大； ④若S2＝S10，则Sn＞0 的n 的最大值为11． 第3 页（共27 页） （北京）股份有限公司 使其中所有真命题的序号是 ． 三．解答题（共6 小题，满分70 分） 第3 页（共27 页） （北京）股份有限公司 17．已知等差数列{an}满足a4＝6，a6＝10． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}各项均为正数，其前n 项和Tn，若b3＝a3，b5＝a9，求Tn． 18．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，a5﹣a1＝90，S4＝90． （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}中，满足bn＝an+log2an，求数列{bn}的前n 项和Tn． 19．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn为数列 的前n 项和，求Tn． 20．已知数列{an}中，a2＝ ，an＝an+1+2anan+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令{ }的前n 项和为Tn，求证：Tn＜ ． 21．在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项． Ⅰ （）求数列{an}的通项公式； Ⅱ （）若数列{bn}满足： ，求数列{bn}的通项公 式； Ⅲ （）令 （n∈N*），求数列{cn}的前n 项和Tn． 22 ．已知数列{an} 的各项均为正数，其前n 项和为Sn ，且满足a1 ＝1 ，an+1 ＝2 ． Ⅰ （）求数列{an}的通项公式； Ⅱ （）设数列{bn}满足bn＝ ，设数列{bn}的前n 项和为Tn，若∀n∈N*，不等式Tn ﹣na＜0 恒成立，求实数a 的取值范围． 第4 页（共27 页） （北京）股份有限公司 河南省南阳市第一中学学校2022-2023 高二下学期 数学3 月份月考试卷卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共12 小题） 1．【解答】解：因为a3是a1和a5的等比中项，则 ， 解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3． 故选：B． 2．【解答】解：在等差数列{an} ∵ 中，a3+a4+a9+a16＝4a8＝28 ∴ ，a8＝7， 又a10＝13， ∴S17＝ ． 故选：D． 3．【解答】解：数列{ }是等差数列， 设其公差为d，则2d＝ ， ∴ ，可得 ，即a5＝ ． 故选：D． 4．【解答】 ∵ 解：等差数列{an}的前n 项和为Sn， ∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列， 2 ∴（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930 310 ﹣ ）＝310+S30 930 ﹣ ， ∴S30＝1860． 故选：C． 5．【解答】解：等差数列{an}中，a1+a3＝8，a2a4＝40， 第5 页（共27 页） （北京）股份有限公司 ∴ ， 解得a1＝1，d＝3． 故选：C． 第5 页（共27 页） （北京）股份有限公司 6．【解答】 ∵ 解：{an}为等差数列，a1＝2， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 7．【解答】解：设S3＝x，则S6＝7x，由 ＝ ，可得q≠1， 因为{an}为等比数列， 所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列． 因为 ＝ ＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x， 故 ＝ ． 故选：A． 8．【解答】解：设数列{bn}的公差为d1， 由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1， 故d1＝2，故bn＝2n， 则b2023＝2023×2＝4046， 故选：B． 9．【解答】解：因为等差数列Sn存在最大项，故等差数列的公差d＜0， 又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0， 则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A 错误； a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B 正确； a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C 错误； 第6 页（共27 页） （北京）股份有限公司 而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D 错误． 故选：B． 第6 页（共27 页） （北京）股份有限公司 10．【解答】解：在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8． 所以 ． 故选：D． 11．【解答】解：若{an}为递增数列，则an+1﹣an＞0， 则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1 2 ﹣n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立． ∴k＞﹣2n，对于n∈N+ ∴ 恒成立，k＞﹣2． 故选：A． 12 ．【解答】解：根据条件： ＝ ． 故选：A． 二．填空题（共4 小题） 13．【解答】解：因为 ， 当n≥2 时， ， 因为{an}是等差数列， 所以当n＝1 时，a1＝11﹣a 也符合上式，故a＝3． 故答案为：3． 14．【解答】 ∵ 解：{an}是各项均为正数的等比数列， ∴a2a6＝a4 2，又a4 2+a2a6＝2e6， 2 ∴a4 2＝2e6，又a4＞0， ∴a4＝e3， ∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna4 7＝7lne3＝21． 故答案为：21． 15．【解答】解：等比数列{an}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24， 第7 页（共27 页） （北京）股份有限公司 所以q＝ ＝2，a1＝ ＝ ＝1， 第7 页（共27 页） （北京）股份有限公司 所以数列{an}的前n 项和为Sn＝ ＝2n 1 ﹣， 前n 项积为Tn＝1×2×22×...×2n 1 ﹣＝21+2+...+（n 1 ﹣）＝ ， 所以 ＝ ＝ ，当n＝2 或n＝3 时， ＝3， 所以 的最大值是23＝8． 故答案为：8． 16．【解答】解：对于①，S8＜S9， 则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误； 对于② ∵ ，S11＝0， ∴ ＝ ，即a2+a10＝0，故②正确； 对于③，S13＞0，S14＜0， 则 ，即a7＞0， ，即 a7+a8＜0， 故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数， 故{Sn}中S7最大，故③正确； 对于④，若S2＝S10， 则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0， 故a3+a10＝2a1+11d＝0，即 ， ∵a1＞0， ∴d＜0， ∴ ＝ ＝ ， 令Sn＞0， 第8 页（共27 页） （北京）股份有限公司 则0＜n＜12，n∈N*， 故Sn＞0 的n 的最大值为11，故④正确． 故答案为：②③④． 三．解答题（共6 小题） 第8 页（共27 页） （北京）股份有限公司 17．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， ∵a4＝6，a6＝10， ∴ ，解得 ， 故数列{an}的通项公式an＝a1+（n 1 ﹣）d＝2n 2 ﹣； （2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）， ∵an＝2n 2 ﹣， 则a3＝4，a9＝16， ∵a3＝b3，a9＝b5， ∴b3＝4，b5＝16，即 ，解得2 或﹣2（舍去）， ∴ ． 18．【解答】解：（1）记等比数列{an}的公比为q，由a5﹣a1≠0 可知q≠1， ， ， 解得a1＝6，q＝2，所以数列{an}的通项公式为 ． （2 ∵ ） ， ∴ ＝3× + +n•log23＝3×2n+1+ +n•log23 6 ﹣． 19．【解答】解：（1）设公差为d，则 ∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列 4 ∴a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d） ∵d≠0 ∴ ，d＝1，a1＝2， ∴an＝n+1 第9 页（共27 页） （北京）股份有限公司 （2） ＝ ∴Tn＝ ﹣ + ﹣ +…+ ＝ ＝ ． 第9 页（共27 页） （北京）股份有限公司 20．【解答】解：（1）由a2＝ ，an＝an+1+2anan+1， 可得a1＝a2+2a1a2＝ + a1，解得a1＝1， 又对an＝an+1+2anan+1两边取倒数，可得 ﹣ ＝2， 则{ }是首项为1，公差为2 的等差数列， 可得 ＝1+2（n 1 ﹣）＝2n 1 ﹣， 所以an＝ ； （2）证明：由（1）可得 ＝ ＝ （ ﹣ ）， 所 以 Tn ＝ （ 1﹣ + ﹣ + ﹣ +...+ ﹣ + ﹣ ） ＝ [ ﹣ ]， 因为n∈N*，所以 ＞0， 则Tn＜ × ＝ ． 21．【解答】 Ⅰ 解：（）等差数列{an}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项， 可得a2 2＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6）， 解得a1＝2， 则an＝a1+（n 1 ﹣）d＝2+2（n 1 ﹣）＝2n； Ⅱ （）数列{bn}满足： ， 可得a1＝ ，即b1＝8； 第10 页（共27 页） （北京）股份有限公司 n≥2 时，an 1 ﹣＝ + +…+ ， 与 ， 相减可得2＝ ，即有bn＝2（3n+1）， 上式对n＝1 也成立， 第10 页（共27 页） （北京）股份有限公司 可得bn＝2（3n+1），n∈N*； Ⅲ （） ＝n（3n+1）， 则前n 项和Tn＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n）， 设Sn＝1•3+2•32+…+n•3n，3Sn＝1•32+2•33+…+n•3n+1， 相减可得﹣2Sn＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝ ﹣n•3n+1， 化简可得Sn＝ ， 则Tn＝ + n（n+1）． 22 ．【解答】 Ⅰ 解：（ ）由 得 ，故 ， ∵an＞0 ∴ ，Sn＞0 ∴ ， ＝ +1，（2 分） ∴数列 是首项为 ，公差为1 的等差数列．（3 分） ∴ ∴ ， … ， （4 分） 当n≥2 时， ，a1＝1 … ， （5 分） 又a1＝1 ∴ 适合上式，an＝2n 1 ﹣ … ． （6 分） Ⅱ （ ） 将 an ＝ 2n 1 ﹣ 代 入 ， … （7 分） 第11 页（共27 页） （北京）股份有限公司 ∴ …（9 分） ∵Tn﹣na＜0 ∴ ， ， ∵n∈N+ ∴ ， …（10 ∴ 分） ， 2 ∵n+1≥3， ， ∴ ， ．（12 分） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/1 14:41:47；用户：刘闪；邮箱：18739020952；学号：38915037