题型09 8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值， 或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值. 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 利用导数研究能成立（有解）问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加 练习 例3．（全国·高考真题）设函数 ，曲线 处的切线斜 率为0 求b;若存在 使得 ，求a 的取值范围． ， ， ， 令 ，则 ， 所以 在 上存在且只存在1 个零点，设为 ，在 上存在且只存在1 个零点，设为 再次，证明存在b，使得 因为 ，所以 ， 若 ，则 ，即 ， 所以只需证明 在 上有解即可， 即 在 上有零点， 因为 ， ， 所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可， 此时取 则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点， 最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 的取值范围． 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 例3．（全国·高考真题）设函数 ，曲线 处的切线斜 率为0 求b;若存在 使得 ，求a 的取值范围． 的定义域为 ， ， （ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增， 所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ， 所以 . （ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ； 利用导数研究能成立（有解）问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加

（北京）股份有限公司 由 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 同时 ， 所以 ， 所以 在 上有实数解等价于 在 上有解， 即 在 上有解， ① 时， 无解； ② 时， 有解， 即 在 有解， 即 在 有解， 令 ， 所以 的值域为 ， 所以 在 有解等价于 . （北京）股份有限公司

2 时{x|x>a 或 x<−1 2 } .…………………………………6 分 （2）不等式f ( x)<0 在x∈[−2,0)上有解，即 2 x2−2ax+1<0 在x∈[−2,0)上有解， 所以 a有解， 所以 a<( x+ 1 2 x )max ，x∈[−2,0)，…………………………………8 分 因为 (−x)+(−1 2x 时取等号，…………11 分 所以a<−√2 …………………………………12 分 22．解：（1）函数 恒具有性质 ， 即关于 的方程f (t+1)=f (t )+f (1)（∗）恒有解；…………………………1 分 选择①：因为 ， 关于 的方程（∗）为 ， 可化为 ，此方程无解， …………………………3 分 所以函数 一定不具有性质 ； …………………………4

专题09 分式方程中参数问题的四种考法 类型一、整数解问题求参数 例．若关于x 的不等式组 有解且至多有5 个整数解，且关于y 的方程 的解为整数，则符合条件的整数m 的个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【答】 【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组 有解且至多有5 个整数 解，即可求得m 的取值范围，再根据 的解为整数，即可写出符合条件的m 的值． 解， 第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m 的值，不 等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m 的范围，进而求出符合条件的 所有m 的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得： ， 整理得： ， 分式方程无解的情况有两种， 情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解， ∴ ； 情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2 或x=6， 的乘积为2×1=2． 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式 方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化 成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一 元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键． 类型三、由增根问题求参数 例．若关于x 的分式方程 有增根，则m

·····12 分 22.解： 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程 有解. （1）当 （ ）时，方程 ， 即 有解，而 ，所以 ，从而 为“局部奇函数”.·············2 分 （2）当 时， 可化为 .··························3 分 因为 的定义域为 ，所以方程 在 上有解. 令 ，则 ，上式化为 .······················ ·····················8 分 可化为 . 设 ，则 ，则 ， 从而只需要关于t 的方程 在 上有解即可.···························9 分 令 . ①当 时， 在 上有解， 由 ，即 ，解得 ； ②当 时， 在 上有解等价于 ，解得 .·····················································11

专题08 分式方程解的三种考法 类型一、整数解的问题 例．关于x 的不等式组 有解，且使关于x 的分式方程 有非 负整数解的所有m 的值的和是( ) ．-1 B．2 ．-7 D．0 【答】 【详解】解： 关于 的不等式组 有解， 由 可得： ，解得 ， 由 解得 ， 分式方程 有非负整数解， 是非负整数， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练1】若关于x 的一元一次不等式组 【变式训练2】若关于x 的不等式组 有且只有两个奇数解，且关于y 的分 式方程 有解，则所有满足条件的整数m 的和是( ) ．7 B．10 ．18 D．21 【答】 【详解】解不等式组： 由①得： 由②得： ， ， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有且只有两个奇数解 ∴ ，解得： ∵分式方程有解，则分母不为零 ∴ 解分式方程： ，解得： ∴满足条件的m 值为5，6，7 ) ．1 B．3 ．4 D．6 【答】 【详解】解： ，去分母得， ，解得 ， 时，方程产生增根， ，即 ， ， ， 且 ， ， 解不等式①得： ，解不等式②得： ， 不等式组有解，∴不等式组的解集为： ， 恰好有三个整数解， ，解得 ， 又 且 ， 且 ， 整数 为 ，其和为1+3=4，故选． 类型二、增根问题 例1 若关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为(

﹣x＝3（k 2 ﹣）的解为非负数，且关于 x 的不等式组¿有解，符合条件的整数k 的值的和为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 6．（2022·重庆涪陵·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组¿有解，则符合条件的所有 正整数的和为（ ） ．50 B．55 ．66 D．70 7．（2022·福建漳州·七年级期末）若不等式组¿有解，则m 的取值范围为（ ） ．m<4 B．m>4 ．m≤4 ）个 ．5 B．4 ．3 D．2 10．（2022·广东云浮·七年级期末）若关于x的一元一次不等式组¿有解，则m的取值范围 为（ ） ．m>−2 B．m≤2 ．m>2 D．m←2 11．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）若实数m使关于x的不等式 组¿有解且至多有3 个整数解，且使关于y的方程2 y= 4 y−m 3 +2的解为非负整数解，则满 足条件的所有整数m的和为（ ） ．m>3 B．m≤4 ．3有解，则满足条件的所有整数的值有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 14．（2022·重庆荣昌·七年级期末）若关于x 的方程ax+3 2 −2 x−1 3 =1的解为正数，且使 得关于y

的不等式组¿有解，符合条件的整数k 的值的和为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组有解得出k≥-1，解方程得出x=-k+3，由方 程的解为非负数知-k+3≥0，据此得k≤3，从而知-1≤k≤3，继而可得答． 【详解】解：¿ 解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1， 解不等式2k+x 3 ≥x，得：x≤k， ∵不等式组有解， ∴k≥-1， 6．（2022·重庆涪陵·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组¿有解，则符合条件的所有 正整数的和为（ ） 1 ．50 B．55 ．66 D．70 【答】B 【分析】先解不等式组得¿，根据关于x的一元一次不等式组¿有解可得a−15 4 ←1，从而得 出正整数a，再求和即可得解． 【详解】解：解不等式组¿，得¿， ∵关于x的一元一次不等式组¿有解， ∴ a−15 4 ←1， ∴a<11， 解法是解此题 的关键． 7．（2022·福建漳州·七年级期末）若不等式组¿有解，则m 的取值范围为（ ） ．m<4 B．m>4 ．m≤4 D．m≥4 【答】 【分析】先求出不等式x−4<0的解集，再根据已知不等式组有解即可得出m 的范围． 【详解】解：解不等式x−4<0得：x<4， ∵不等式组¿有解， ∴m<4， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解的情况得出m

【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令 和 ，求 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)， 选D. 法二：解： ……① 设 ，则原式可化为 ，整理得 ， 以 为主元，则要使方程有解，需使 有解， 令 ，则 恒成立 ∴函数 在 上单调递减，又∵ ∴存在 使 ，当 时 设方程 的两根分别为 ， 当 时， 【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值 与值域. 【解析】：（1）当 时， ； 代入原不等式： ；即： 移项通分： ，得： ； （2）依题意： 在 上有解 参编分离： ，即求 在 值域， 在 单调递增， ； ，故： . 【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转 化与划归思想的应用．19.（本题满分14 分）如图，