2019年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

1/8 上海市2019 届秋季高考数学考试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分，共54 分） 1.已知集合 ，则 ________. 【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出： . 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2.已知 且满足 ，求 ________. 【思路分析】解复数方程即可求解结果． 【解析】： ， . 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础． 3.已知向量 ， ，则 与 的夹角为________. 【思路分析】根据夹角运算公式 cosθ= ⃗ a⋅⃗ b |⃗ a| ⋅ |⃗ b|求解． 【解析】： . 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 4.已知二项式 ，则展开式中含 项的系数为________. 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 项的的项，再求系数． 【解析】： 令 ，则 ， 系数为 . 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础． 5.已知x、y 满足 ，求 的最小值为________. 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 ， 时， . 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6.已知函数 周期为，且当 ， ，则 ________. 2/8 【思路分析】直接利用函数周期为1，将转 3 2 到已知范围 内，代入函数解析式即 可． 【解析】： . 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题． 7.若 ，且 ，则 的最大值为________. 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 的式子求解 【解析】：法一： ，∴ ； 法二：由 ， （ ），求二次最值 . 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题． 8.已知数列 前n 项和为 ，且满足 ，则 ______. 【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由 得： （ ） ∴ 为等比数列，且 ， ，∴ . 9.过 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与 交于 ， 在 上方， 为抛物线上一点， ，则 ______. 【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得： ， ，设M 坐标 有： ，代入 有： 即： . 【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中 档题． 10 某三位数密码锁，每位数字在 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是______ _. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解. 【解析】：法一： （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数 字） 法二： （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 2/8 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11.已知数列 满足 （ 3/8 ）， 在双曲线 上，则 _______. 【思路分析】利用点在曲线上得到 关于n 的表达式，再求极限. 【解析】：法一：由 得： ，∴ ， ，利用两点间距离公式求解极限。 法二（极限法）：当 时， 与渐近线平行， 在x 轴投影为1，渐近线倾 斜角 满足： ，所以 . 【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题． 12.已知 ，若 ， 与 轴交点为 ， 为曲 线 ，在 上任意一点 ，总存在一点 （ 异于 ）使得 且 ， 则 __________. 【思路分析】 【解析】： 【归纳与总结】 二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分） 13.已知直线方程 的一个方向向量 可以是（ ） A. B. C. D. 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意： 为直线的一个法向量，∴ 方向向量为 ，选D. 【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题． 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意： ， ，选B. 15.已知 ，函数 ，存在常数 ，使得 为偶函 数，则 可能的值为（ ） A. B. C. D. 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 3/8 【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验 的奇偶性，选C；法二： ，若 为偶函数，则 ，且 4/8 也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ ，当 时， ，选C. 16.已知 . ①存在 在第一象限，角 在第三象限； ②存在 在第二象限，角 在第四象限； A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令 和 ，求 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)， 选D. 法二：解： ……① 设 ，则原式可化为 ，整理得 ， 以 为主元，则要使方程有解，需使 有解， 令 ，则 恒成立 ∴函数 在 上单调递减，又∵ ∴存在 使 ，当 时 设方程 的两根分别为 ， 当 时， ，故必有一负根，②对； 当 时， ，故两根均为 负根，①错；选D. 三. 解答题（本大题共5 题，共76 分） 17.（本题满分14 分）如图，在长方体 中， 为 上一点，已知 ， ， ， . （1）求直线 与平面 的夹角； （2）求点 到平面 的距离. 【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解.. 【解析】：（1）依题意： ，连接AC，则 与平面ABCD 所成夹角为 ；∵ ， ，∴ 为等腰直角△， ； ∴ 直线 与平面 的夹角为 . 4/8 （2）法一（空间向量）：如图建立坐标系： 则： ， ， ， 5/8 ， ， ∴求平面 的法向量 ： ，得： A 到平面 的距离为： 法二（等体积法）：利用 求解，求 时，需要求出三边长（不是特 殊三角形），利用 求解. 【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是基础题． 18.（本题满分14 分）已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时， 有零点，求 的范围. 【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值 与值域. 【解析】：（1）当 时， ； 代入原不等式： ；即： 移项通分： ，得： ； （2）依题意： 在 上有解 参编分离： ，即求 在 值域， 在 单调递增， ； ，故： . 【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转 化与划归思想的应用．19.（本题满分14 分）如图， 为海岸线， 为线段， 为四分之一圆弧， ， ， ， . 5/8 （1）求 长度； （2）若 ，求 到海岸线 的最短距离.（精确到 ） 6/8 【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形. 【解析】：（1）依题意： ，弧BC 所在圆的半径 弧BC 长度为： km （2）根据正弦定理： ，求得： ， ∴ km<CD=36.346km ∴ D 到海岸线最短距离为35.752km. 【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结 合思想的应用． 20.（本题满分16 分） 已知椭圆 ， 为左、右焦点，直线过 交椭圆于A、B 两点. （1）若AB 垂直于 轴时，求 ； （2）当 时， 在 轴上方时，求 的坐标； （3）若直线 交 轴于M，直线 交 轴于N，是否存在直线，使 ， 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【思路分析】直接求出A,B 坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积 关系 转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程. 【解析】：（1）依题意： ，当AB⊥x 轴，则坐标 ， ， ∴ （2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式： ； 又： ， ，即 所以A 在短轴端点，即 直线 （即 ）方程为： ，联立： ，得 . 法二（常规）：依题意：设坐标 ，∵ （注意：用点 更方便计算） 则有： 又A 在椭圆上，满足： ，即： 6/8 ∴ ，解出： ， 7/8 B 点坐标求解方法同法一， . （3）设坐标 ， ， ， ，直线l： （k 不存在时 不满足题意） 则： ； ； 联立方程： ， ，韦达定理： 由直线 方程： 得M 纵坐标： ； 由直线 方程： 得N 纵坐标： ； 若 ，即 ∴ ， ，代入韦达定理： 得： ，解出： ∴ 存在直线 或 满足题意. 【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力 属于中档题． 21.（本题满分18 分） 数列 有 项， ，对任意 ，存在 ，若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 . （1）若 ，求 可能的值； （2）若 不为等差数列，求证： 中存在满足性质 ；（3）若 中恰有三项具 有性质 ，这三项和为 ，使用 表示 . 【思路分析】根据定义式子代入即可求解 ；通过证明逆否命题证明；去掉具有P 性质三 项，求和 【解析】：（1） 可能的值为3,5,7； （2）要证明 中存在满足性质 ， 7/8 即证明：若数列 中不存在满足性质 的项，则 为等差数列（原命题的逆否命题） 显然 时， ，满足性质 ，不成立； 8/8 时， ， ， 同理 时， 不成立； 时， 所以 以此类推 ，其中 时不成立 只有 ，即 成立，即 为等差数列， 即得证明： 不为等差数列， 中存在满足性质 （3）将数列中具有性质P 的三项去掉，形成一个新数列 时， ，且 中元素满足性质P 的项， 根据（2） 为等差数列，所以 即 又因为三项去掉和为c，所以 【归纳与总结】本题考查新定义“性质 ”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定 义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布