高考数学答题技巧题型09 8类导数大题综合（证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移）（解析版）Word（68页）

题型09 8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （2）设函数 ．证明: ． （1） （2）（2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ． 要证 ，即证 ，即证 ． （ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为 ，所以 在区间 内为增函数，所以 ． （ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间 内为减函数，所以 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）有 ． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得 ， ， 且 ， 当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，故 ； 当 时， ， 单增，故 ； 综上所述， 在 恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减 函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且 ， ，即 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ． （ⅱ）当 时， ，同理可证得 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 【答案】(1)a= ；增区间为 ，减区间为 ．(2)证明见解析. 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用 ，求得a= ，从而确定出函数的解析式，再解不等 式 即可求出单调区间； （2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当 时， ，之后构造新函数 ，利用导数研究函数的单调性，从而求得 ，利用不等式的传递性，证得结 果. 【详解】（1） 的定义域为 ， ，则 ，解得： ，故 ．易知 在区间 内单调递增，且 ， 由 解得： ；由 解得： ， 所以 的增区间为 ，减区间为 ． （2）［方法一］：【最优解】放缩法 当 时， . 设 ，则 . 当 时， ； 当 时， .所以 是 的最小值点. 故当 时， .因此，当 时， . ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为 ，所以 在区间 内单调递增．设 ，当 时， ，当 时， ，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，所以 ． 设 ，则 ． 所以 在区间 内单调递减，故 ，即 成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证 时 ，即 ，则证 成立． 令 ，则 ． 令 ，则 ，由 知 在区间 内单调递减，从而 在 内单调递增，在区间 内单调递减． 所以 ，而 ，所以 恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合 与 的图像，可知 有唯一实数解，不妨设 ，则 ．易知 在区间 内是减函数，在区间 内是增函数．所以 ． 由 ，得 ． ． 当且仅当 ，即 时， ，所以 ． ［方法五］：异构 要证明 ，即证 ， 即证明 ，再证明 即可． 令 ， ． 设 ，则 ． 若 时， 在 上恒成立，所以 ； 若 时，当 时 ；当 时， ． 所以 为 的极小值点，则 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 令 ． 当 时， ；当 时， ，所以 为 的极小值点． 则 ，所以 ，即 ． 所以 ． ［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数 ． 令 ，则 ． 令 ．显然 为定义域 上的增函数．又 ，故当 时， ，得 ；当 时， ，得 ．即 在区间 上为减函数， 在区间 上为增 函数，故 ．即 恒成立，而 恒成立． 【整体点评】（2）方法一：利用 的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解； 方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法； 方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法； 方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不 一样； 方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐； 方法六：基本类似于方法三． 2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)证明：当 ，且 时， ． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分 ， ， 分别讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为 ，然后构造函数 ，证明其单调性， 即可得到证明. 【详解】（1） ， ， ①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增． ②当 ，即 时， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减． ③当 ，即 时， 若 ，则 ， 在区间 单调递增． 若 ，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增． 综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减； 时， 在区间 单调递增 时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增． （2）证明：要证 ，即证 ， 即证 ． 令 ， ，则 ， 所以 在区间 单调递增，所以 时， ， 即 时， ． 令 ， ，则 在 时恒成立， 所以 ，且 时， 单调递增， 因为 时， ， ，且 ， 所以 ，且 时， ，即 ． 所以 ，且 时， ． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数的单调性，以及用导数证明不等式问题，难度较难， 解决本题的关键在于构造函数 ，用其单调性去证明不等式. 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 . (1)讨论 的极值； (2)当 时，证明： . 【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值. (2)证明见解析 【分析】（1）求得 ，分 和 ，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值点、极值的 概念，即可求解； （2）令 ，利用单调性得到 ，得到 ，转化为证明不等式 ，再由 ，利用导数得到 ，进而得到 ，转化为 ，令 ， 设 ，利用导数证得 ，得到 ，进而证得结论. 【详解】（1）解：由函数 ，可得 ， 当 时，可得 ，解得 ，即函数的定义域为 ， 令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值 ； 当 时，可得 ，解得 ，即函数的定义域为 ， 令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值 ， 综上可得，函数 的极小值为 ，无极大值. （2）证明：因为 ，所以 ，解得 ，即函数的定义域为 ， 令 ，可得 ，所以 在 单调递增， 所以 ，即 ， 要证不等式 ， 只需证明 ， 又由函数 ，可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立， 所以，当 时， ， 只需证明： ，即 ， 即 ，即 ， 令 ，可得 ， 设 ，可得 ，令 ，可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 ，所以 ，所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 又由以上不等式的等号不能同时成立，所以 . 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 技法02 利用导数研究恒成立问题 例2．（2020·新高考二卷·高考真题）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式 恒成立，求a 的取值范围． （2）［方法一］：通性通法 , ，且 . 设 ,则 g( ∴ x)在 上单调递增，即 在 上单调递增， 当 时， ,∴ ,∴ 成立. 利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 当 时， ， ， , ∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ， ， ， 因此 >1, ∴ ∴ 恒成立； 当 时， ∴ 不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由 得 ，即 ，而 ，所以 ． 令 ，则 ，所以 在R 上单调递增． 由 ，可知 ，所以 ，所以 ． 令 ，则 ． 所以当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减． 所以 ，则 ，即 ． 所以a 的取值范围为 ． ［方法三］：换元同构 由题意知 ，令 ，所以 ，所以 ． 于是 ． 由于 ，而 在 时为增函数，故 ，即 ，分离参数后有 ． 令 ，所以 ． 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减． 所以当 时， 取得最大值为 ．所以 ． ［方法四］： 因为定义域为 ，且 ，所以 ，即 ． 令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增． 因为 ，所以 时，有 ，即 ． 下面证明当 时， 恒成立． 令 ，只需证当 时， 恒成立． 因为 ，所以 在区间 内单调递增，则 ． 因此要证明 时， 恒成立，只需证明 即可． 由 ，得 ． 上面两个不等式两边相加可得 ，故 时， 恒成立． 当 时，因为 ，显然不满足 恒成立． 所以a 的取值范围为 ． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)若 恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求导,然后令 ,讨论导数的符号即可; （2）构造 ,计算 的最大值,然后与0 比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可. 【详解】（1） 令 ,则 则 当 当 ,即 . 当 ,即 . 所以 在 上单调递增,在 上单调递减 （2）设 设 所以 . 若 , 即 在 上单调递减,所以 . 所以当 ,符合题意. 若 当 ,所以 . . 所以 ,使得 ,即 ,使得 . 当 ,即当 单调递增. 所以当 ,不合题意. 综上, 的取值范围为 . 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当 ,对应当 . 2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 . （1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求a 的取值范围. 【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增. （2） 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值 即可确定实数a 的取值范围. 【详解】(1)当 时， ， ， 由于 ，故 单调递增，注意到 ，故： 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由 得， ，其中 ， . ①当x=0 时，不等式为： ，显然成立，符合题意； . ②当 时，分离参数a 得， ， 记 ， ， 令 ， 则 ， ， 故 单调递增， ， 故函数 单调递增， ， 由 可得： 恒成立， 故当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 因此， , 综上可得，实数a 的取值范围是 . [方法二]：特值探路 当 时， 恒成立 ． 只需证当 时， 恒成立． 当 时， ． 只需证明 ⑤式成立． ⑤式 ， 令 ， 则 ， 所以当 时， 单调递减； 当 单调递增； 当 单调递减． 从而 ，即 ，⑤式成立． 所以当 时， 恒成立． 综上 ． [方法三]：指数集中 当 时， 恒成立 ， 记 ， ， . ①当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ， 所以当 时， ，不合题意； . ②若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，又 ， 所以若满足 ，只需 ，即 ，所以当 时， 成立； ③当 即 时， ，又由②可知 时， 成立，所以 时， 恒成立， 所以 时，满足题意. 综上， . 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 3．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数 ． (1)当 时，求 在 处的切线方程； (2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程. （2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值 的性质讨论参数的取值范围. 【详解】（1）当 时， ． 故切线的斜率 ，又 切点为 切线方程为 ，化简得 ． （2）法1：当 时， 恒成立，故 ， 也就是 ，即 ， 由 得 ，令 ， 则 ， 令 ，则 ， 可知 在 单调递增，则 ，即 在 恒成立，． 故 在 单调递增，所以 ，故 在 恒成立． 所以 在 单调递增，而 ，所以 ，故 ． 法2：因为当 时， 恒成立，故 ， 由 ， 令 ，得 或 ， ①当 ，即 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减， ， 不合题意， 合题意． ②当 ，即 时， 当 时 ，当 时 ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 设 ，则 恒成立， 在 上单调递减，故 即 ，合题意． 综上， ． 法3：因为当 时， 恒成立，也就是 ， 即 恒成立，令 ， 令 ， 恒成立， 在 上单调递增． ． ①当 ，即 时， 在 上单调递增， ，合题意； ②当 ，即 时， ， 因为 ， ， 存在 ，使得 ，即 ． 在 上单调递减，在 上单调递增． ，不合题意． 综上， ． 【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值， 或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值. 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 利用导数研究能成立（有解）问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加 练习 例3．（全国·高考真题）设函数 ，曲线 处的切线斜 率为0 求b;若存在 使得 ，求a 的取值范围． 的定义域为 ， ， （ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增， 所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ， 所以 . （ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ； 当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增. 所以，存在 ，使得 的充要条件为 ， 而 ，所以不合题意. （ⅲ）若 ，则 . 综上，a 的取值范围是 . 1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在 ，使 成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求出切线方程，由 方程求出切线与 轴的交点即可求出三角形的面积. (2) 令 ，则只要函数 在区间 的最小值小于 即可.通过求导讨论函数 的单调 性，从而可求函数的最小值，最后求出a 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ， ，所以曲线 在 处的切线的斜率 ，又 ， 切线方程为 . 与 轴的交点分别是 ， 切线与坐标轴围成的三角形的面积 · （2）存在 ，使 即 ，即 . 即存在 ，使 成立. 令 ，因此，只要函数 在区间 的最小值小于 即可· 下面求函数 在区间 的最小值. ， 令 ，因为 ， 所以 为 上的增函数，且 . 在 恒成立· 在 递调递增， 函数 在区间 的最小值为 ， ，得 . 【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值问题，在这类问题 中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若 在给定区间内恒成立，则 要大于 的最大值；若 在给定区间内能成立，则 只需要大于 的最小值. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数 （e 为自然对数的底数），a， . (1)当 时，讨论 在 上的单调性； (2)当 时，若存在 ，使 ，求a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对a 分类讨论，由导数法求函数单调性； （2）法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数， 对a 分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论； 【详解】（1）当 时， ， 的定义域为 ， ， 当 ，即 时， 且不恒为0，所以 在 上单调递增； 当 时，方程 有两不等正根 ， 结合定义域由 可得 ，由 可得 ， 所以 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增； 当 时，方程 有一负根 和一正根 ， 结合定义域由 可得 ，由 可得 ， 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 综上可知： 当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. （2）法一：分离变量可得： ，令 ， ，则 ， 易得当 时， ，且 ，从而 ， 所以 在 单调递减，于是 . 即a 的取值范围为 . 法二：当 时， ，令 ， ，则 ，即为 ， 而 在 上单调递减，所以当 时， ， 又 ， i. 当 ，即 时， ，符合题意； ii. 当 时，由（1）知 在 上是增函数，恒有 ，故不存在 ， 使 ； iii. 当 时，由于 时， ，所以 ， 令 ，则 ，所以 在 上是增函数， 最大值为 ， 又 ，所以 ，此时恒有 ， 因此不存在 ，使 . 综上可知， ，即a 的取值范围为 . 【点睛】函数不等式恒成立或可能成立问题，一般可用分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结 论；或采用分类讨论法，由导数法研究函数单调性及最值