2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一下学期下月联考数学试题（word版含答案）试卷

2022 年湖北云学新高考联盟学校高一年级5 月联考 数学试卷 命题学校：洪湖一中 命题人：路明琴 审题人：洪湖一中 杨前军 嘉鱼一中 甘业明、郑世波 考试时间：2022 年5 月30 日09：50—11：50 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。） 1.下列命题正确的是（ ） A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.有一个面是平面多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C.等腰梯形绕它上、下底边中点的连线旋转180°可以得到一个圆台 D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 2.已知向量 ， ，且 ，则 （ ） A.6 B. C. D. 3.设 ， 为两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ） A. 内有无数条直线与 平行 B. ， 平行于同一个平面 C. ， 平行于同一条直线 D. ， 垂直于同一个平面 4.顺次连接点 ， ， ， 所构成的图形是（ ） A.等腰梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 5.设 ， ， ，则a，b，c 大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6.设函数 ，若 ， ，则函数 的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.在 中，设 ，则动点M 的轨迹必通过 的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 8.已知四面体 的所有棱长均为2，M，N 分别为棱 ， 的中点，F 为棱 上异于A，B 的动点. 有下列结论： ①线段 的长度为 ； ②若点G 为线段 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线 与直线 都是异面直线； ③异面直线 和 所成的角为 ； ④ 的最小值为2. 其中正确的结论为（ ） A.①③④ B.②③ C.②③④ D.①④ 二、选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。） 9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. C.若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限 D.已知复数z 满足 ，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 10.已知向量 ， （ ），则下列命题正确的是（ ） A.若 ，则 B.存在 ，使得 C.若向量 在 方向上的投影向量为 ，则向量 与 的夹角为 D.与向量 共线的单位向量是 11.已知正方体 的棱长为1，下面选项正确的是（ ） A.直线 与平面 不垂直 B.四面体 的体积为 C.异面直线 与直线 所成角的为 D.直线 与平面 所成的角为 12.已知正四棱台 ，下底面 边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（ ） A.它的表面积是 B.它的外接球球心在该四棱台的内部 C.侧棱与下底面所成的角为 D.它的体积比半径为 的球的体积小 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知虚数z 的实部不为0，模为2，则符合要求的一个虚数 _______________. 14.已知四棱锥 中，侧棱 平面 ，底面 是矩形，则该四棱锥的4 个侧面中直角 三角形的个数是______________. 15.如图，矩形 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中 ， ，则原四边形 的周长是 16.已知一圆锥底面直径是 ，圆锥的高是 ，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，且正四面体 可以在该圆锥内任意转动，则a 的最大值为_____________. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分10 分） 平行四边形 中，点M 在 上，且 ，点N 在 上，且 ，记 ， （1）以 ， 为基底表示 ； （2）求证：M、N、C 三点共线. 18.（本小题满分12 分） 已知关于x 的不等式 的解集为 （ ）. （1）求a，b 的值； （2）当 ， ，且满足 时，有 恒成立，求k 的取值范围. 19.（本小题满分12 分） 某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600 万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定 的关系式.设年产量为x（ ， ）台，若年产量不足70 台，则每台设备的额外成本为 万元；若年产量大于等于70 台不超过200 台，则每台设备的额外成本为 万元.每台设备售价为100 万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式； （2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？ 20.（本小题满分12 分） 设函数 . （Ⅰ）求函数 的周期及 图象的对称轴； （Ⅱ）在锐角 中，若 ，且能盖住 的最小圆的面积为 ，求 的取值范围. 21.（本小题满分12 分） 已知四棱锥 的底面 是菱形， 平面 ， ， ，F，G 分别为 ， 中点， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积； （Ⅲ）求证： 与 不垂直. 22.（本小题满分12 分） 对于函数 ，若在定义域内存在实数x，满足 ，则称 为“局部奇函数”. （1）已知二次函数 （ ），试判断 是否为“局部奇函数”，并说明理由； （2）若 是定义在区间 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）若 为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围. 2022 年湖北云学新高考联盟学校高一年级5 月联考 数学评分细则 一、单选题 1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.A 二、多选题 9.BD 10.AC 11.BCD 12.AD 三、填空题 13. （答案不唯一） 14.4 15. 16.4 四、解答题 17.（1）解： ；····································································································5 分 （2）证明：∵M b， ， ∴ ， ∴ 且 与 有公共点M， 所以M、N、C 三点共线.······················································································10 分 18.解：（1）因为不等式 的解集为 （ ）， 所以1 和a 是方程 的两个实数根且 ，···········································2 分 所以 ，解得 .·················································································4 分 （2）由（1）知 ，且 ， 故 ，·······································7 分 当且仅当 ，即 时，等号成立.······························································8 分 依题意有 ，即 ， 得 ，·········································································11 分 所以k 的取值范围为 .··················································································12 分 19.解：（1）当 ， 时， ；················································3 分 当 ， 时， . . ∴ ·······················································6 分 （2）①当 ， 时， ， ∴当 时，y 取得最大值，最大值为1200 万元.·····················································8 分 ②当 ， 时， ，·············································10 分 当且仅当 ，即 时，y 取得最大值1320，·············································11 分 ∵ ， ∴当年产量为80 台时，年利润最大，最大值为1320 万元.············································12 分 20.解：（Ⅰ）因为 ，································································································· 2 分 所以函数 的周期 ············································································3 分 令 （ ），解得 （ ） 所以函数 的周期是 ，对称轴方程是 （ ）.·································5 分 （Ⅱ）因为 ，所以 . 又因为 为锐角三角形，所以 ， . 所以 ，故有 .················································································6 分 已知能盖住 的最小圆为 的外接圆，而其面积为 ，设半径为 。 所以 ，得 ，···················································································7 分 的角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 由正弦定理 . 所以 ， ， ，······························9 分 因为 为锐角三角形，所以 .·······························································10 所以 ，则 ， 故 ，····························································································11 分 所以 的取值范围是 .·····································································12 分 21.（Ⅰ）证明：如图，连接 ， ， ∵O 是 中点，F 是 中点，∴ ， 平面 ， 平面 ，则 平面 . ∵O 是 中点，G 是 中点，∴ ， 平面 ， 平面 ，则 平面 . 又 ， ， 平面 ， ∴平面 平面 ，又 平面 ， 则 平面 .······························································································4 分 （注：也可构造线线平行证明.） （Ⅱ）解：∵ 底面 ， 底面 ，∴ ， 又四边形 为菱形，∴ ， 又 ， 、 平面 ， ∴ 平面 ，且 ，·······································································6 分 而F 为 的中点， ∴ ；·····································8 分 （Ⅲ）证明：假设 ， 又 ，且 ， ， 平面 ， ∴ 平面 ，而 平面 ， 则 ，与 矛盾. ∴假设错误，故 与 不垂直.··········································································12 分 22.解： 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程 有解. （1）当 （ ）时，方程 ， 即 有解，而 ，所以 ，从而 为“局部奇函数”.·············2 分 （2）当 时， 可化为 .··························3 分 因为 的定义域为 ，所以方程 在 上有解. 令 ，则 ，上式化为 .···························································4 分 设 ，则 在 上为单调减函数；在 上为单调增函数. 因为 ， ， ， 所以 时， . 所以 ，即 .···········································································7 分 （3）当 时，··································································8 分 可化为 . 设 ，则 ，则 ， 从而只需要关于t 的方程 在 上有解即可.···························9 分 令 . ①当 时， 在 上有解， 由 ，即 ，解得 ； ②当 时， 在 上有解等价于 ，解得 .·····················································11 分 （注：也可转化为大根不小于2 求解） 综上，所求实数m 的取值范围为 .·······························································12 分