专题08 分式方程解的三种考法（教师版）

专题08 分式方程解的三种考法 类型一、整数解的问题 例．关于x 的不等式组 有解，且使关于x 的分式方程 有非 负整数解的所有m 的值的和是( ) ．-1 B．2 ．-7 D．0 【答】 【详解】解： 关于 的不等式组 有解， 由 可得： ，解得 ， 由 解得 ， 分式方程 有非负整数解， 是非负整数， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练1】若关于x 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y 的分式方程 的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是( ) ．4 B．2 ．0 D． 【答】D 【详解】解： ， 由①得，x＞2，由②得x＞-1， ∵不等式组的解集为x＞2，∴-1≤2， ≤3 ∴ ， ，3-y+3=3-y，(-1)y=3，y= ∵方程的解为整数，∴=-2，0，2，4， ∵y≠3，∴ ≠3，∴≠2， ≤3 ∵ ，∴的取值为-2，0， ∴所有满足条件的整数的值之和是-2+0=-2， 故选：D． 【变式训练2】若关于x 的不等式组 有且只有两个奇数解，且关于y 的分 式方程 有解，则所有满足条件的整数m 的和是( ) ．7 B．10 ．18 D．21 【答】 【详解】解不等式组： 由①得： 由②得： ， ， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有且只有两个奇数解 ∴ ，解得： ∵分式方程有解，则分母不为零 ∴ 解分式方程： ，解得： ∴满足条件的m 值为5，6，7 ∴所有满足条件的整数m 的和是 ，故选． 【变式训练3】若关于x 的一元一次不等式组 的解集是 ，且关于y 的 分式方程 有非负整数解．则符合条件的所有整数k 的和为( ) ．3 B．1 ．0 D．6 【答】B 【详解】解： ，解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜5，由题意得k＜5， 解分式方程 得，y＝ ， 由题意得， ≥0，且 ≠1，解得，k≥ 3 ﹣且k≠ 1 ﹣， ∴k 的取值范围为：﹣3≤k＜5，且k≠ 1 ﹣的整数， ∴k 的取值为﹣3，﹣2，0，1，2，3，4， 当k＝﹣3 时， ＝0，当k＝﹣2 时， ＝ ，当k＝0 时， ＝ ， 当k＝1 时， ＝2，当k＝2 时， ＝ ，当k＝3 时， ＝3，当k＝4 时， ＝ ， ∵ 为整数，且k 为整数，∴符合条件的整数k 为﹣3，1，3， 3 ∵﹣＋1＋3＝1，∴符合条件的所有整数k 的和为1． 故选：B 【变式训练4】已知关于x 的分式方程 的解为正数，关于y 的不等式组 ，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数的和是( ) ．1 B．3 ．4 D．6 【答】 【详解】解： ，去分母得， ，解得 ， 时，方程产生增根， ，即 ， ， ， 且 ， ， 解不等式①得： ，解不等式②得： ， 不等式组有解，∴不等式组的解集为： ， 恰好有三个整数解， ，解得 ， 又 且 ， 且 ， 整数 为 ，其和为1+3=4，故选． 类型二、增根问题 例1 若关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为( ) ．15 B．-6 ．1 或-2 D．15 或-6 【答】D 【详解】解： ， 方程两边同乘以 ，得 ，即 ， 关于 的分式方程 有增根， 或 ，即 或 ， (1)当 时，则 ，解得 ， (2)当 时，则 ，解得 ， 综上， 的值为 或 ， 故选：D． 【变式训练1】关于x 的分式方程： ． (1)当m＝3 时，求此时方程的根； (2)若这个关于x 的分式方程会产生增根，试求m 的值． 【答】(1)x=-5；(2)-4 或6 【详解】解：(1)把m=3 代入方程得： ，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解 得：x=-5， 检验：当x=-5 时，(x+2)(x-2)≠0，∴分式方程的解为x=-5； (2)去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x 的分式方程会产生增根，∴x=2 或x=-2， 把x=2 代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2 代入整式方程得：-2m=-12， 解得：m=6． 【变式训练2】关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为( ) ． B． ．1 D．6 【答】 【详解】解：由题意得，分式两边同乘(x-2)得： ， 化简得： ， ∵方程有增根，∴x=2， 即： ， 解得： ， 故选：． 【变式训练3】若关于x 的分式方程 有增根，则增根是______． 【答】1 【详解】解： ， 方程两边都乘以 ∴方程的增根是使 的x 的值， 故答为1 【变式训练4】若关于x 的方程 有增根，则 的值为___________． 【答】-1 【详解】解：方程两边同乘以x−2 得 ① ∵原方程有增根，∴x−2=0， 即x=2 把x=2 代入①，得 m=−1 故答为：-1． 类型三、无解问题 例1．已知关于x 的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m 的值是( ) ．﹣2 B．﹣3 ．﹣2 或﹣3 D．0 或3 【答】 【详解】解：两边都乘以x(x 3) ﹣ ，得：x(x+m)﹣x(x 3) ﹣ ＝x 3 ﹣，整理，得：(m+2)x＝﹣3， 解得： ， ①当m+2＝0，即m＝﹣2 时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x 的分式方程 ﹣1＝ 无解，∴ 或 ，即无解或3(m+2) ＝﹣3， 解得m＝﹣2 或﹣3．∴m 的值是﹣2 或﹣3． 故选． 【变式训练1】如果关于x 的分式方程 无解，则m 的值为( ) ．0 B．1 ．2 D．3 【答】B 【详解】解： ，方程两边同时乘以x 5 ﹣得，2 ( ﹣m+1)＝x 5 ﹣， 去括号得，2﹣m 1 ﹣＝x 5 ﹣，解得x＝6﹣m， ∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1， 故选：B． 【变式训练2】若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是( ) ．－1 B．1 ．0 D．0 或1 【答】D 【详解】方程左右两边同乘(x-1)得， 2m+x-1=m(x-1)，化简整理后得， (m-1)x=3m-1， 当m-1=0，m=1 时，0·x=2，此时x 无解； 当x=1 时，是分式方程的增根，则分式方程无解，将x=1 代入，得， m-1=3m-1，则m=0， 所以当m=0 或1 时，分式方程无解，故选D． 【变式训练3】已知关于 的分式方程 无解，则 的值为( ) ． B．或 ． D．或 或 【答】D 【详解】解：由 得x= ∵分式方程无解 ∴ =±2 或m+4=0 m=0 ∴ 或m=-8 或 ∴或 或 故答为D 【点睛】 本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件另 外，让分式的解有意义是本题的易错点 【变式训练4】若分式方程 无解，则 的值为( ) ．0 B．6 ．0 或6 D．0 或 【答】 【详解】情况一：解是方程的增根 分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18 移项并合并同类项得：(6－m)x=18 解得： ∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根 要想是分式方程的增根，则x=3 或x=0 显然 不可能为0，则 解得：m=0 情况二：转化的一元一次方程无解 由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18 要使上述一元一次方程无解，则6－m=0 解得：m=6，故选：