专题09 分式方程中参数问题的四种考法（解析版）

专题09 分式方程中参数问题的四种考法 类型一、整数解问题求参数 例．若关于x 的不等式组 有解且至多有5 个整数解，且关于y 的方程 的解为整数，则符合条件的整数m 的个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【答】 【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组 有解且至多有5 个整数 解，即可求得m 的取值范围，再根据 的解为整数，即可写出符合条件的m 的值． 【详解】解：解不等式组 得： ， ∵不等式组 至多有5 个整数解， ， 解得 ， ∴整数 的值为 ， 解方程 得： ， 又 为整数， 当 时， ，符合题意， 当 时， ，符合题意， 当 时， ，不符合题意， 当 时， ，不符合题意， 符合条件的整数 的个数为 ， 故选：． 【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不 等式组的解集的确定方法是解题的关键． 【变式训练1】．若关于 的不等式组 有且仅有3 个整数解，且关于 的 分式方程 的解是正数，则符合条件的所有整数 的和为（ ） ．6 B．8 ．9 D．10 【答】 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3 个整数解，确定出的范围，分式 方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x 为整数确定出的值即可． 【详解】解：不等式组 解得： ∵不等式组恰有3 个整数解， ∴ ，解得： ∴整数可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4 变形为 去分母，得 ，解得 且 为正数 ∴ ，即 ∵ ∴ ，解得 且 ∴符合条件的整数为0，2，3，4 故选 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则 是解本题的关键． 【变式训练2】．若整数使关于x 的分式方程 的解为非负整数，且使关于y 的不等式组 至多有3 个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） ．24 B．12 ．6 D．4 【答】B 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3 个整数解，确定求出 的范围； 再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定 的值即可解答． 【详解】解：解不等式 得： ， 解不等式 得： ， ∴ ∵不等式组至多有3 个整数解， ∴ ， ∴ ． 方程 ， ，解得： ∵分式方程有非负整数解， ∴ （x 为非负整数）且 ， ∴ 且 ， ∴ 的偶数且 ， ∴ 且 且为偶数， ∴符合条件的所有整数的值为： ，0，4，6，8． ∴符合条件的所有整数．的和是：12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解 一元一次不等式组和解分式方程是解题的关键． 【变式训练3】．若整数 使关于 的不等式组 有且仅有四个整数解，且使 关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的所有整数 之和为 ． 【答】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的整数解确定的 取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组有且仅有四个整数解， 且 解得： ； 分式方程 有整数解， 解得： 且 （增根） 当 为整数时， 或 或 或或 或4， 解得 或 或 或 或或 ， ， 或 或 或 或 ； 又 或 或 ， 则符合条件的所有整数的和是 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组 的整数解的个数及分式方程的整数解确定的取值范围． 类型二、由解的情况求参数 例1．关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ） ． B． ． 且 D． 且 【答】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方 程分母不为0 求出 的范围即可． 【详解】解：去分母得： ， 解得： ， 由题意得： ， 解得： 又因为 ，即 所以 ， 综上所述： 且 故选D． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要 考虑分母不为0． 例2．已知不等式 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解为非 负数，则 的取值范围为 ． 【答】 且 【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解 集，注意增根的陷阱． 【详解】∵不等式 的解集为 ，又不等式 的解集为 ， ∴ ， 解得 ， ∴分式方程变形为 ， 解方程，得 ， ∵分式方程 的解为非负数， ∴ ， 解得 ， ∵ 时，分式无意义， ∴ ∴ ， ∴ ， 故的取值范围是 且 ， 故答为： 且 ． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的 求出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键． 【变式训练1】．关于x 的方程 的解不小于，则 的取值范围为 ． 【答】 且 【分析】先解分式方程可得 ，由题意得 ，再由 ，得 ， 求出 的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵方程的解不小于， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的取值范围为： 且 ， 故答为： 且 ． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是 解题的关键． 【变式训练2】．若数 使关于 的分式方程 的解为正数，且使关于 的不 等式组 的解集为 ，则符合条件所有整数 的积为 ． 【答】240 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出 且 ，根据不等式组的解集为 ， 即可得出 ，找出 且 ，中所有的整数，将其相乘即可得出结论． 【详解】解：分式方程 的解为 且 ， ∵分式方程 的解为正数， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ， 解不等式①，得 ，解不等式②，得 ， ∵关于y 的不等式组 的解集为 ， ∴ ， ∴ 且 ，又 为整数，则 的值为2，4，5，6 符合条件的所有整数 的积为 ， 故答为：240 【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合 不等式组的解集为 ，找出 的取值范围是解题的关键． 【变式训练3】．已知关于x 的分式方程 无解，且关于y 的不等 式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为（ ） ．1 B．2 ．4 D．8 【答】B 【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解， 第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m 的值，不 等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m 的范围，进而求出符合条件的 所有m 的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得： ， 整理得： ， 分式方程无解的情况有两种， 情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解， ∴ ； 情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2 或x=6， ①当x=2 时，代入 ，得： 解得：得m=4． ②当x=6 时，代入 ，得： ， 解得：得m=2． 综合两种情况得，当m=4 或m=2 或 ，分式方程无解； 解不等式 ，得： 根据题意该不等式有且只有三个偶数解， ∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4， −4< ∴ m−4≤−2，∴0<m≤2， 综上所述当m=2 或 时符合题目中所有要求， ∴符合条件的整数m 的乘积为2×1=2． 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式 方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化 成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一 元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键． 类型三、由增根问题求参数 例．若关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为（ ） ．1 B．﹣2 ．1 或 D． 或2 【答】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求 出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可． 【详解】解：去分母得： ， 由分式方程有增根，得到 或 ， 把 代入整式方程得： 解得： ； 把 代入整式方程得： ， 解得： ； 故选：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式训练1】．若关于x 的分式方程 有增根，则 ． 【答】 【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可． 【详解】解：关于 的分式方程 ， 去分母可化为 ， 又因为关于 的分式方程 有增根 ， 所以 是方程 的根， 所以 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键． 【变式训练2】．若关于x 的分式方程 有增根，求m 的值． 【答】 或 【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0 的未知数的值，代入整式 方程进行求解即可． 【详解】解：分式方程去分母，得： ，整理，得： ， ∵分式方程有增根，∴ ， ∴ 或 ，当 时， ； 当 时， ；∴ 或 ． 【点睛】本题考查分式方程有增根的问题．熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程 无意义的未知数的值，是解题的关键． 类型三、由无解问题求参数 例．分式方程 无解，则的值是( ) ．3 或2 B． 或3 ．- 或3 D． 或2 【答】 【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0 时，无解；②分式方程化为形如 的整式方程后，如果 且 ，亦无解．据此即可解答． 【详解】解：将 化为整式方程得： 整理得： ①∵分式方程 无解， ∴ 将 代入 得： ∴ ． ②整式方程 中， 当 时，方程无解， 此时， 综合①②两种情况可知，的值为3 或2． 故选：． 【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键． 【变式训练1】．关于x 的方程 无解，则m 的值为 ． 【答】 或 【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得 或x=3，分别求出 m 值即可． 【详解】去分母得： ， 整理得： ， 当 ，即 时，方程无解； 当 时，方程无解，即 ，解得： ， ∴ 的值为 或 ．故答为： 或 ． 【点睛】此题考查分式方程无解的情况，分情况求出方程中未知数的值，解题中注意运用 分类思想解答 【变式训练2】．若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ． 【答】10 或 或3 【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后， 整式方程无解． 【详解】解：（1） 为原方程的增根， 此时有 ，即 ， 解得 ； （2） 为原方程的增根， 此时有 ，即 ， 解得 ． （3）方程两边都乘 ， 得 ， 化简得： ． 当 时，整式方程无解． 综上所述，当 或 或 时，原方程无解． 故答为：10 或 或3． 【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又 要考虑整式方程无解的情形． 课后训练 1．分式方程 有解，则 的取值范围是（ ） ． B． ． 或 D． 且 【答】D 【分析】先求出m 与x 的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以 得： ， ∴ ， ∵分式方程有解， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ∵分式方程 有解， ∴ 且 ∴ 且 ∴ ， ∴ ， 综上可知， 且 ， 故选D 【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根． 2．关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为 ，代入求 解参数值． 【详解】解：分式方程变形，得 ， 把 代入，得 ； 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键． 3．若关于 的不等式组 有且只有2 个奇数解，且关于 的分式方程 的解为非负数，则符合条件的所有整数 的和为（ ） ．3 B．4 ．11 D．12 【答】 【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定 的值，进而解决此题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 关于 的不等式组 有且只有2 个奇数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于 的分式方程 的解为非负数， ，且 ， 且 ， 所有满足条件的整数 为： 或 或0 或2 或3 或4 或5， 所有满足条件的整数 的值的和为： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、 分式方程的解法是解决本题的关键． 4．关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围 ． 【答】 且 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x 的值，再根据分式方程解为非负数 和分式有意义的条件，即可得出m 的取值范围． 【详解】解： ， 去分母，得： ， 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 化系数为1，得： ． ∵分式方程的解为非负数， ∴ ，解得： ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴ 且 ． 故答为： 且 ． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握解分式方程 的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不等于0． 5．若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是 ． 【答】 且 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m 的取值范围． 【详解】解： ， 去分母得， ， 整理得， ， 解得， ， ∵分式方程的解为正数， ∴ 且 ， ∴ 且 ． 故答为： 且 ． 【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式．解分式方程时注意分母不能为零． 6．若整数既使得关于x 的分式方程 有整数解，又使得关于x，y 的方程组 的解为正数，则 ． 【答】5 【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出的值，再解不等式组，根据不等式组 解为正求出的取值范围，再综合得出结论． 【详解】解：解方程 得， ， ∵分式方程有整数解，且 ， ∴ 或 或 或1 或2 或4，且 ， ∴ 或1 或2 或4 或5， 解方程组 得， ， ∵方程组的解为正数， ∴ ， 解得 ， 综上， ． 故答为：5． 【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求 字母参数值是解题的关键． 7．若关于 的一元一次不䇡式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的 的值之积为 ． 【答】35 【分析】先解一元一次不等式组得出的取值范围，再解分式方程得的范围，最后综合求出 满足条件的的值，即可求得． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得： ， 解得： ， 解不等式 移项合并同类项得： ， ∵关于 的一元一次不䇡式组 的解集为 ∴由“同大取大”得：≤7； 解分式方程： ， 分式方程去分母，得： ， 移项合并同类项得： ， 系数化为1 得： ， ∵方程 的解为非负整数， ∴ ， 又∵≤7， ∴满足条件的整数可以取7，-1，-5 其积为 ． 故答为：35． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次 不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点． 8．若关于x 的分式方程 的解是非负数，则m 的取值范围是 ． 【答】m≤6 且m≠4 【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：关于x 的分式方程 的解为：x＝6−m， ∵分式方程有可能产生增根2， 6− ∴ m≠2，∴m≠4， ∵关于x 的分式方程 的解是非负数， 6− ∴ m≥0， 解得：m≤6， 综上，m 的取值范围是：m≤6 且m≠4． 故答为：m≤6 且m≠4． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可 能产生增根的情况，这是解题的关键． 9．已知关于x 的分式方程 无解，求的值 【答】 或0 或 【分析】若关于x 的分式方程 无解，则最简公分母为零或所化成的整式方 程无解，据此求解即可． 【详解】解：方程两边同乘 得， ， ， 当 即 时，整式方程无解，即分式方程无解； 当 时，有 或 时，分式方程无解， 此时 或 ， 解得 或 ， 经检验均为所列方程的解， 综上所述， 或0 或 ． 【点睛】本题主要考查分式方程无解问题．本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零 的情况，而忽略了化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答不全．