高考数学答题技巧题型09 8类导数大题综合（证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移）（原卷版）Word（23页）

题型09 8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （1） （2）（2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ． 要证 ，即证 ，即证 ． （ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为 ，所以 在区间 内为增函数，所以 ． （ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间 内为减函数，所以 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）有 ． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得 ， ， 且 ， 当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，故 ； 当 时， ， 单增，故 ； 综上所述， 在 恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减 函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且 ， ，即 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ． （ⅱ）当 时， ，同理可证得 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)证明：当 ，且 时， ． 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 . (1)讨论 的极值； (2)当 时，证明： . 技法02 利用导数研究恒成立问题 例2．（2020·新高考二卷·高考真题）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式 恒成立，求a 的取值范围． （2）［方法一］：通性通法 , ，且 . 设 ,则 利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 g( ∴ x)在 上单调递增，即 在 上单调递增， 当 时， ,∴ ,∴ 成立. 当 时， ， ， , ∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ， ， ， 因此 >1, ∴ ∴ 恒成立； 当 时， ∴ 不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由 得 ，即 ，而 ，所以 ． 令 ，则 ，所以 在R 上单调递增． 由 ，可知 ，所以 ，所以 ． 令 ，则 ． 所以当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减． 所以 ，则 ，即 ． 所以a 的取值范围为 ． ［方法三］：换元同构 由题意知 ，令 ，所以 ，所以 ． 于是 ． 由于 ，而 在 时为增函数，故 ，即 ，分离参数后有 ． 令 ，所以 ． 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减． 所以当 时， 取得最大值为 ．所以 ． ［方法四］： 因为定义域为 ，且 ，所以 ，即 ． 令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增． 因为 ，所以 时，有 ，即 ． 下面证明当 时， 恒成立． 令 ，只需证当 时， 恒成立． 因为 ，所以 在区间 内单调递增，则 ． 因此要证明 时， 恒成立，只需证明 即可． 由 ，得 ． 上面两个不等式两边相加可得 ，故 时， 恒成立． 当 时，因为 ，显然不满足 恒成立． 所以a 的取值范围为 ． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)若 恒成立，求a 的取值范围． 2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 . （1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求a 的取值范围. 3．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数 ． (1)当 时，求 在 处的切线方程； (2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 例3．（全国·高考真题）设函数 ，曲线 处的切线斜 率为0 求b;若存在 使得 ，求a 的取值范围． 的定义域为 ， ， （ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增， 所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ， 所以 . （ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ； 利用导数研究能成立（有解）问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加 练习 当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增. 所以，存在 ，使得 的充要条件为 ， 而 ，所以不合题意. （ⅲ）若 ，则 . 综上，a 的取值范围是 . 1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在 ，使 成立，求a 的取值范围. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数 （e 为自然对数的底数），a， . (1)当 时，讨论 在 上的单调性； (2)当 时，若存在 ，使 ，求a 的取值范围. 3．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知 ．（ ） (1)讨论 的单调性； (2)若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围． 技法04 利用导数研究函数的零点问题 例4-1．（2023·全国·统考高考真题）函数 存在3 个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 ，则 ， 若 要存在3 个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ， 令 ，解得 或 ， 且当 时， ， 当 ， ， 利用导数研究函数的零点问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 故 的极大值为 ，极小值为 ， 若 要存在3 个零点，则 ，即 ，解得 ， 例4-2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 . （1）当 时，讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围. （2）若 有两个零点，即 有两个解， 从方程可知， 不成立，即 有两个解， 令 ，则有 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 或 ， 所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 且当 时， ， 而 时， ，当 时， ， 所以当 有两个解时，有 ， 所以满足条件的 的取值范围是： . 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 在区间 各恰有一个零点，求a 的取值范围． 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ． (1)若 ，求a 的取值范围； (2)证明：若 有两个零点 ，则 ． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ． (1)当 时，求 的最大值； (2)若 恰有一个零点，求a 的取值范围． 技法05 利用导数研究方程的根 利用导数研究方程的根是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 例5．（2021·全国·统考高考真题）已知 且 ，函数 ． （1）当 时，求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a 的取值范围． （2）[方法一]【最优解】：分离参数 ,设函数 , 则 ,令 ，得 , 在 内 , 单调递增； 在 上 , 单调递减； , 又 ，当 趋近于 时， 趋近于0， 所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要 条件是 ,这即是 , 所以 的取值范围是 . [方法二]：构造差函数 由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程 在区间 内有两个解． 构造函数 ，求导数得 ． 当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在 内最多只有一个零点，不符合题意； 当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ； 所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ． 由于 ， 当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知 ，所以 ，即 ． 构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ． 所以，实数a 的取值范围为 ． [方法三]分离法：一曲一直 曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解． 因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且 仅有两个交点． ①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意． ②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为 ，即 ． 当 与 为同一直线时有 得 直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点． 记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增； 在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所当 且 时 有 ． 综上所述，实数a 的取值范围为 ． [方法四]：直接法 ． 因为 ，由 得 ． 当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意； 当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得 在区间 内单调递减． 因为 ，且 ，所以 ，即 ，即 ，两边取对数，得 ，即 ． 令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ． 故实数a 的范围为 ．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题， 属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数 形结合思想求解. 方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线 斜率与一次函数的斜率比较得到结论． 方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论. 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交 点的横坐标成等差数列． 2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ． (1)求 的单调区间； (2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证 明： （ⅰ）若 ，则 ； （ⅱ）若 ，则 ． （注： 是自然对数的底数） 3．（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数 ． (1)求证 ： ； (2)若方程 恰有两个根，求证： ． 技法06 利用导数研究双变量问题 利用导数研究双变量问题是高考中的难点，双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性， 解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．需强加练习 例6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： . (2)[方法一]：等价转化 由 得 ，即 ． 由 ，得 ． 由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ， ①令 ， 则 ， 当 时， ， 在区间 内为减函数， ， 从而 ，所以 ， 由（1）得 即 ．① 令 ，则 ， 当 时， ， 在区间 内为增函数， ， 从而 ，所以 ． 又由 ，可得 ， 所以 ．② 由①②得 ． [方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ． 令 ．则上式变为 ， 于是命题转换为证明： ． 令 ，则有 ，不妨设 ． 由（1）知 ，先证 ． 要证： ． 令 ， 则 ， 在区间 内单调递增，所以 ，即 ． 再证 ． 因为 ，所以需证 ． 令 ， 所以 ，故 在区间 内单调递增． 所以 ．故 ，即 ． 综合可知 ． [方法三]：比值代换 证明 同证法2．以下证明 ． 不妨设 ，则 ， 由 得 ， ， 要证 ，只需证 ，两边取对数得 ， 即 ， 即证 ． 记 ，则 . 记 ，则 ， 所以， 在区间 内单调递减． ，则 ， 所以 在区间 内单调递减． 由 得 ，所以 ， 即 ． [方法四]：构造函数法 由已知得 ，令 ， 不妨设 ，所以 ． 由（Ⅰ）知， ，只需证 ． 证明 同证法2． 再证明 ．令 ． 令 ，则 ． 所以 ， 在区间 内单调递增． 因为 ，所以 ，即 又因为 ，所以 ， 即 ． 因为 ，所以 ，即 ． 综上，有 结论得证． 1．（四川·高考真题）已知函数 ， 的导函数是 ．对任意两个不相等的正数 、 ，证明： (1)当 时， ； (2)当 时， ． 2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ． (1)求 的单调区间； (2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证 明： （ⅰ）若 ，则 ； （ⅱ）若 ，则 ． （注： 是自然对数的底数） 3．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知函数 . (1)设函数 ，若 恒成立，求 的最小值； (2)若方程 有两个不相等的实根 、 ，求证： . 技法07 导数中的隐零点问题 零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一, 其源于含指对函数 的方程无精确解, 这样 我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估 计, 利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 例7．已知函数 ，若 , 求 的取值范围. 解：记 , 依题意, 恒成立, 求导得 , 令 , 则 在 上单调递增, 又 , 则 , 使得 , 即 成立, 则当 单调递减; 当 单调递增, , 由 , 得 , 于是得 , 当 时, 令 , 有 在 上单调递减, 而 在 上单调递增, 即 有函数 在 上单调递减, 于是得函数 在 上单调递减, 则当 时, , 不合题意; 当 且 时, 由 (1) 中 知, , 有 , 从而 , 由 吅 , 因此满足 , 又 在 上单调递增, 则有 , 而 , 所以实数 的取值范困是 . 1．已知函数 ，当 且 时, 不等式 在 上恒成立, 求 的最大值. 2．已知函数 对任意的 恒成立, 其中实数 , 求 的取 值范围. 3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数 ， 且 . (1)求a； (2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 . 技法08 导数中的极值点偏移问题 例8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ． 极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思 想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习 (1)若 ，求a 的取值范围； (2)证明：若 有两个零点 ，则 ． （2）[方法一]：构造函数 由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证 ,即证 因为 ,即证 又因为 ,故只需证 即证 即证 下面证明 时， 设 ， 则 设 所以 ,而 所以 ,所以 所以 在 单调递增 即 ,所以 令 所以 在 单调递减 即 ,所以 ； 综上, ,所以 . [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，故 只有1 个解 又因为 有两个零点 ，故 两边取对数得： ，即 又因为 ，故 ，即 下证 因为 不妨设 ，则只需证 构造 ，则 故 在 上单调递减 故 ，即 得证 1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有两个零点 ， ，求证： ． 2．（2023 春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）已知函数 ． （1）当 时，若 有两个零点，求 的取值范围； （2）若 且 ，证明： ． 3．（2023·四川达州·统考一模）已知函数 (其中e 是自然对数的底数，k R) ∈ ． (1)讨论函数 的单调性； (2)当函数 有两个零点 时，证明： ．