胡不归求最小值 内容导航 方法点拨 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日 夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径--B（如图所示：是出发地，B 是目的地， 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍 告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归 为定点，点 在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最 小． M N C B 轴交于点，抛物线 的顶点为Q，连接B． （1）求直线B 的解析式； （2）点P 是直线B 上方抛物线上的一点，过点P 作PD⊥B 于点D，在直线B 上有一动点M，当 线段PD 最大时，求PM+ MB 最小值； 【解答】解：（1）令y＝0，﹣ x2+ x+2 ＝0，解得x＝﹣1 和4， ∴（﹣1，0），B（4，0）， 令x＝0，y＝2 ， ∴（0，2 ）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则有

阿氏圆求最小值 内容导航 方法点拨 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平 面上两点 、B，则所有满 足 P=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图 1 所示，⊙ 的半径为 r，点 、B 都在⊙ 上一动点，已知 r=k·B， 连接 P、PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段 B 上截取 使 =k·r，则可说 明△BP 与△P 相似，即 k·PB=P。故本题求 “P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值，其中与 与 为定点,P 为动点，故当 、 P、 三点共线时， “P+P”值最小。如图3 所示： 【破解策略详细步骤解析】 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，点M 为线段B 的中点，点P 为直线B 下方抛物线上 的一动点．当△PM 的面积最大时，过点P 作P⊥y 轴于点，若在坐标平面内有一动点Q 满足PQ ＝ ，求Q+ Q 的最小值； 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴（﹣2，﹣4）； （2）如图1，过P 作P⊥x 轴交B 于，作PG⊥B 于G，过M 作MD⊥y 轴交y 轴于D， ∵点B 为抛物线上横坐标等于﹣6

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 中，P 为平面内一点，连结P，PB，P，分别以P 和为一边向右作等边三角形 △PM 和△D． 【探究】求证：PM＝P，MD＝P 【应用】若B＝，＝b，∠B＝60°，则P+PB+P 的最小值是 （用，b 表示） 【解答】【探究】证明：∵以P 和为一边向右作等边三角形△PM 和△D， ∴PM＝P，＝D，P＝M，∠PM＝∠D＝60°， ∴∠P＝∠MD， 在△P 和△DM 当B、P、M、D 共线时，P+PB+P 的值最小， 即P+PB+P 的最小值为： ； 故答为： ． 练11 问题提出 （1）如图①，在△B 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD

内容导航 方法点拨 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： P 轴交于点，在抛物线第一象限的图象上存在一点 B，x 轴上存在一点，使∠B＝90°，＝B，抛物线的顶点为D． （1）求直线B 的解析式； （2）如图2，若点E 是B 上一动点（点、B 除外），连接E，E，当E+E 的值最小时，求△BDE 的面积； 【解答】解：（1）由题意（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3） m B A m A B m A B B' P P' 设（m，0），则B（m，m+1），把点B 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则有 ， ∴ ， ∴直线B 的解析式为y＝x+1． （2）如图1 中，如图作点关于直线B 的对称点′，连接′交直线B 于E，连接E、E，此时E+E 的 值最小． ∵（4，0），′关于直线B 对称， ∴′（﹣1，5）， ∴直线′的解析式为y＝﹣5x， 由 ，解得 ， ∴E（﹣ ， ），∵D（1，﹣4）， ∴S△BDE＝9×（4+ ）﹣ ×3×9﹣

内容导航 方法点拨 已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上 要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： 过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即 为所求的点。 作DE∥交抛物线于点E，交y 轴于点P． （1）点F 是直线下方抛物线上点一动点，连DF 交于点G，连EG，当△EFG 的面积的最大值时， 直线DE 上有一动点M，直线上有一动点，满足M⊥，连GM，，求GM+M+的最小值； 【解答】解：（1）如图1 中，作F∥y 轴交DE 于．设F（m， m2+ m+2 ）． 由题意可知（﹣6，0），B（﹣2，0），（0，2 ）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣4，，D 关于直线x＝﹣4 交于，作M⊥DE 于M，连接 TM，GM，此时GM+M+的值最小． ∵直线DF 的解析式为：y＝﹣ x﹣2 ， 由 ， 解得 ， ∴G（﹣ ， ）， ∵TG⊥， ∴直线GR 的解析式为y＝﹣ x﹣ ， 由 ，解得 ， ∴R（﹣ ， ）， ∴RG＝4，R＝ ， ∵GM＝TM＝R， ∴GM+M+＝R++RG＝RG+＝4+ ． ∴GM+M+的最小值为4+ ． 练11 如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3

杠杆的分类与应用、杠杆的平衡条件、杠杆 中最小力的问题 一．杠杆及其五要素（共1 小题） 1．在足球赛场上，我们总能看到靠近球门的摄像师利用一根长支架进行拍摄，如图所示。 这样做的好处是 。 二．力臂的画法（共3 小题） 2．如图甲所示，曲杆B 自重不计，为支点，＝60m，B＝40m，B＝30m，要使曲杆在图示 位置平衡，请作出最小的力F 的示意图及其力臂L。 3．如图所示 （3）若绳子能承受的最大拉力为 G，则重物最多能悬挂在离点多远处？ 4．如图所示，为杠杆的支点，在B 处挂一小球，＝B＝B，为使杠杆在水平位置平衡，画 第1 页/ 共17 页 出施加在杠杆上最小动力F1的力臂L1，并标出F1的方向。 三．杠杆的平衡条件（共25 小题） 5．有一物体由粗细不同的两段圆柱体组成，用线系着悬挂起来，恰好能在水平位置平衡， 如图所示，已知该物体由同一材料制成，粗段的横截面积是细段的2 端较粗，整个木杆的重量（所受的重力）为 。 17．一块边长为10 厘米、质量为15 千克的正方体，放在水平地面上，若要把它翻转一 次，至少要做 焦的功，把此正方体翻转的最小推力为 牛。（g＝10/kg） 18．轻质杠杆力臂L1≠L2，左端悬挂一物体时，右端每个砝码质量为m，盘质量为m0．已 知物体体积为V，水的密度为ρ，物体密度大于ρ．物体完全浸没在水中后，需要拿掉

第1 页/ 共45 页 初中物理自主招生讲义43 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用、杠杆的平衡条件、杠杆 中最小力的问题 一．杠杆及其五要素（共1 小题） 1．在足球赛场上，我们总能看到靠近球门的摄像师利用一根长支架进行拍摄，如图所示。 这样做的好处是 为了获得更大的拍摄范围 。 答与解析：从图中可以看出摄像师利用的这根长支架是一个费力杠杆，虽然他费了力却 2．如图甲所示，曲杆B 自重不计，为支点，＝60m，B＝40m，B＝30m，要使曲杆在图示 位置平衡，请作出最小的力F 的示意图及其力臂L。 答与解析：根据杠杆平衡的条件可知，力臂越长越省力，因为B＝40m，B＝30m，所以 ＝50m，而＝60m，故作为力臂最长，所以过点作垂直于的有向线段，方向向上，即为 最小的力F 的示意图。如图所示： 第1 页/ 共45 页 3．如图所示，一 答：（2）拉力F 的大小 ； （3）重物最多能悬挂在离点的距离为 。 4．如图所示，为杠杆的支点，在B 处挂一小球，＝B＝B，为使杠杆在水平位置平衡，画 出施加在杠杆上最小动力F1的力臂L1，并标出F1的方向。 答与解析：杠杆平衡时，动力F1要最小，F1的力臂应最大，即为动力臂，力F1作用点 在点，竖直向上拉，如图： 三．杠杆的平衡条件（共25 小题） 5．有一物体由粗细不同的两段圆柱体组成，用线系着悬挂起来，恰好能在水平位置平衡，

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数 ， ，记 的最 大值为 ，最小值为 ，则

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数 ， ，记 的最 大值为 ，最小值为 ，则

辅助圆 例题精讲 【例1】如图， 的圆心 的坐标为 ，半径为1，直线的表达式为 ， 是直线上的动点， 是 上的动点，则 的最小值是 ． B． ． D． 【解答】解：过点 作 直线，交圆 于 点，此时 的值最小，连接 、 ， 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ， 解得， ， 的半径为1， 轴分别交于 、 两点， 是以 为圆心， 为半径的 上一动点，连接 、 ，则 面积的最小值 是 ．30 B．29 ．28 D．27 【解答】解：过 作 于 ，连接 ，如图， 令 ，则 ，令 ，则 ， ， ， ， ， ， 则由三角形面积公式得， ， ， 圆 上点到直线 的最小距离是 ， 面积的最小值是 ． 故选： ． 【变式训练2】 如图，在 中， ， ， ，点 是 的三 与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动点，则 的最大值 与最小值之差是 ．5 B．6 ．7 D．8 【解答】解：如图，设 与 相切于点 ，连接 ，过点 作 垂足为 交 于 ， 此时垂线段 最短， 最小值为 ， ， ， ， ， ， 点 是 的三等分点， ， ， ， 与 相切于点 ， ， ， ， ， 最小值为 ， 如图，当 在 边上时， 与 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长，