8 胡不归求最小值

胡不归求最小值 内容导航 方法点拨 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日 夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径--B（如图所示：是出发地，B 是目的地， 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍 告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？ 一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且V1<V2，、B 为定点，点 在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最 小． M N C B A α D H 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型问题转化 为“P+P”型． 胡不归模型问题解题步骤如下： 1、将所求线段和改写为“P+ PB”的形式（ <1，若 >1，提取系数，转化为小于1 的形式解决）。 2、在PB 的一侧，P 的异侧，构造一个角度α，使得sα= 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 例题演练 题组 1 ： P+k • PB 例1．如图①，已知抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，抛物线 的顶点为Q，连接B． （1）求直线B 的解析式； （2）点P 是直线B 上方抛物线上的一点，过点P 作PD⊥B 于点D，在直线B 上有一动点M，当 线段PD 最大时，求PM+ MB 最小值； 【解答】解：（1）令y＝0，﹣ x2+ x+2 ＝0，解得x＝﹣1 和4， ∴（﹣1，0），B（4，0）， 令x＝0，y＝2 ， ∴（0，2 ）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则有 ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2 ． （2）如图1 中，作PM∥y 轴交B 于M． ∵∠DPM 是定值， ∴当PM 的值最大时，PD 的值最大，设P（m，﹣ m2+ m+2 ），则M（m，﹣ m+2 ）， ∴PM＝﹣ m2+2 m＝﹣ （m﹣2）2+2 ， ∵﹣ ＜0， ∴m＝2 时，PM 的值有最大值，即PD 的值最大，此时P（2，3 ）． 在y 轴上取一点G，使得s∠GB＝ ，作GK⊥B 于K， ∵s∠GBK＝ ＝ ，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2 k， ∵∠GK＝∠B，∠GK＝∠B＝90°， ∴△KG∽△B， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴K＝ k，G＝ k， ∵K+BK＝B， ∴ k+2 k＝2 ， ∴k＝ ， ∴G＝﹣G＝ ， ∴G（0， ）， ∴直线BG 的解析式为y＝﹣ x+ ， ∵PM+ BM＝PM+ME， ∴当P．M，E 共线，且PE⊥BG 时，PM+PE 的值最小， ∵PE⊥BG， ∴直线PE 的解析式为y＝y＝ x﹣2 ， 由 ，解得 ， ∴E（ ， ）， ∴PE＝ ＝ ， ∴PM+ BM 的最小值为 ． 练11 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+与x 轴交于B、两点（点B 在点的左 侧），与y 轴交于点，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），（0， ） （1）求抛物线解析式及D 点坐标； （2）如图1，P 为线段B 上（不与、B 重舍）一动点，过点P 作y 轴的平行线交线段B 于点M， 交抛物线于点，点作K⊥B 交B 于点K，当△MK 与△MPB 的面积相等时，在X 轴上找一动点Q， 使得 Q+Q 最小时，求点Q 的坐标及 Q+Q 最小值； 【解答】解：（1 ）把B （﹣3 ，0 ），（0 ， ）的坐标代入y ＝﹣ x2+bx+ ，得到 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+ ， 顶点D 的坐标为（﹣1， ）． （2）如图1 中，设P（m，0）则（m，＝﹣ m2﹣ m+ ）． ∵（0， ），B（﹣3，0）， ∴直线B 的解析式为y＝ x+ ，B 用P 的交点M（m， m+ ）， ∵∠MK＝∠BMP，∠KM＝∠MPB＝90°， ∴△MK∽△BM， ∵△MK 与△MPB 的面积相等， ∴△MK≌△BM， ∴M＝BM， 在Rt△B 中，t∠B＝ ＝ ， ∴∠B＝30°， ∴BM＝2PM＝M， ∴﹣ m2﹣ m+ ﹣ m﹣ ＝2（ m+ ）， 解得m＝﹣2 或﹣3（舍弃）， ∴（﹣2， ）， 在y 轴上取一点F，使得∠F＝30°，作Q⊥F 于， ∵Q＝ Q， ∴Q+ Q＝Q+Q， 根据垂线段最短可知，当、Q、共线，且⊥F 时，Q+ Q＝Q+Q 的值最小． ∵直线F 的解析式为y＝ x﹣ ，直线的解析式为y＝﹣ x﹣ ， ∴Q（﹣1，0）， 由 ，解得 ， ∴（﹣ ，﹣ ）， ∴＝ ＝3， ∴Q+ Q＝Q+Q 的最小值为3． 练12 如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 与x 轴交于点，点B，与y 轴交于点，点D 与点关于x 轴对称， 点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q． （1）求直线BD 的解析式； （2）当点P 在线段B 上运动时，直线l 交BD 于点M，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点 E，使QE+ EB 的值最小，求E 的坐标和最小值． 【解答】解：（1）当y＝0 时， x2+ x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1， ∴（﹣1，0）、B（6，0）， 当x＝0 时，y＝3，则（0，3）． ∵点 D 与点 关于 x 轴对称， ∴点D 为（0，﹣3）． 设直线BD 的解析式为y＝kx+b，将D（0，﹣3）和B （6，0）分别代入得 ， 解得：k＝ ，b＝﹣3． ∴直线BD 的解析式为y＝ x﹣3． （2）设点P 的坐标为（m，0），则点Q（m， m2+ m+3），M（m， m﹣3）． △QBD 的面积＝ QM•B＝ ×6×（ m2+ m+3﹣ m+3）＝﹣ （m﹣2）2+24， ∴当m＝2 时，△QBD 的面积有最大值，此时Q（2，6）． 如图1 所示：过点E 作EF⊥BD，垂足为F． 在Rt△BD 中，B＝6，D＝3，则BD＝3 ， ∴t∠EBF＝t∠BD＝ ＝ ． ∴EF＝ BE． ∴QE+ EB＝QE+EF． ∴当点Q、E、F 在一条直线上时，QE+ EB 有最小值． 过点Q 作QF′⊥B，垂足为F′，QF′交B 与点E′． 设QF′的解析式为y＝﹣2x+b，将点Q 的坐标代入得：﹣4+b＝6，解得b＝10， ∴QF′的解析式为y＝﹣2x+10． 由 ，解得x＝ ， ∴F（ ，﹣ ） 当y＝0 时，﹣2x+10＝0，解得x＝5， ∴点E′的坐标为（5，0）．即点E 的坐标为（5，0）时QE+ EB 有最小值． ∴QE+ EB 的最小值＝QF＝ ＝ ． 练13 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+ 与x 轴交于、B 两点（点在点 B 的左侧），与y 轴交于点，对称轴与x 轴交于点D． （1）求直线B 的解析式； （2）如图2，点P 为直线B 上方抛物线上一点，连接PB、P．当△PB 的面积最大时，在线段B 上找一点E（不与B、重合），使PE+ BE 的值最小，求点P 的坐标和PE+ BE 的最小值； 【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝﹣ x2+ x+ ＝ ， ∴点的坐标为（0， ）； 当y＝0 时，有﹣ x2+ x+ ＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点B 的坐标为（3，0）． 设直线B 的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将B（3，0）、（0， ）代入y＝kx+b，得： ，解得： ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+ ． （2）如图2 中，过点P 作PM⊥x 轴于点M，交直线B 于点F． E⊥x 轴 设P（，﹣ 2+ + ），则F（，﹣ + ） ∴PF＝﹣ 2+ ∴S△PB＝ ×PF×3＝﹣ 2+ ∴当，＝ 时，S△PB最大 ∴P（ ， ） ∵直线B 的解析式为y＝﹣ x+ ． ∴∠B＝30°，E⊥x 轴 ∴E＝ BE ∴PE+ BE＝PE+E ∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，三点共线且垂直于x 轴时，PE+ BE 值最 小． ∴PE+ BE＝PE+E＝P＝ 题组 2 ： P+QB+k • PQ 例2．如图1，抛物线 与y 轴交于点，与x 轴交于点、B（点在点B 左边），为 坐标原点．点D 是直线B 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE∥x 轴交直线B 于点E．点P 为∠B 角平分线上的一动点，过点P 作PQ⊥B 于点，交x 轴于点Q；点F 是直线B 上的一个动点． （1）当线段DE 的长度最大时，求DF+FQ+ PQ 的最小值． 【解答】解：（1）如图1， 当x＝0 时，y＝3． 当y＝0 时， ． ∴ ∴⊥B，且∠B＝30°，＝ ，且 设D（， ），则E（ ） ∴DE＝﹣ ∴当＝﹣ 时，DE 最大．此时D（ ） ∵P 平分∠B， ∴∠PB＝ ∠B＝30°， ∵PQ⊥B， ∴∠PQB＝60°， ∴∠P＝∠PQB ∠ ﹣ PB＝60°﹣30°＝30°＝∠PB， ∵PQ⊥B， ∴∠PQB＝60°， ∴Q＝PQ， ∴ ＝ ， 将射线B 绕顺时针旋转30°得到直线M，过点D 作M 的垂线于点M，交x 轴于点Q′，则 ． 当Q 运动到Q′时，有 ＝DM， 过D 作D⊥x 轴于点，可得△Q′M 与△DQ′相似， D＝Dy＝ ，＝ ∴Q′＝ ，DQ′＝ ，Q′＝﹣Q′＝ ∴Q′M＝ ， ∴DM＝DQ′+Q′M＝ ＝DM＝ ． 练21 如图1，抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴相交于，B 两点（点在点B 的右侧），与y 轴 交于点，点D 是抛物线的顶点，连接D、BD． （1）求△BD 的面积； （2）如图2，连接、B，若点P 是直线上方抛物线上一动点，过P 作PE∥B 交于点E，作PQ∥y 轴交于点Q，当△PQE 周长最大时，将△PQE 沿着直线平移，记移动中的△PQE 为△P′Q′E′，连接 P′，求△PQE 的周长的最大值及P′+P′E′+ E′的最小值； 【解答】解（1）对于抛物线y＝﹣ x2+ x+2 ，令y＝0，得到x＝6 或﹣2， ∴（6，0），B（﹣2，0）， ∵y＝﹣ x2+ x+2 ＝﹣ （x﹣2）2+ ， ∴D（2， ）． ∴S△BD＝ ×8× ＝ ． （2）∵（6，0），（0，2 ）， ∴直线的解析式为y＝﹣ x+2 ，设P（m，﹣ m2+ m+2 ），则Q（m，﹣ m+2 ）， ∴PQ＝﹣ m2+ m+2 ﹣ m+2 ＝﹣ （m﹣3）2+ ， ∵△PEQ∽△， ∴ ＝ ＝ ， ∴PQ 的值最大时，△PEQ 的周长最大， ∵m＝3 时，PQ 有最大值 ， 此时： ＝ ＝ ， ∴PE＝ ，QE＝ ， ∴△PQE 周长的最大值＝ + + ＝ ． 此时P（3， ），E（ ， ）． 在Rt△B 中，t∠B＝ ＝ ， ∴∠B＝30°，同法可得：∠＝60°， ∴∠B＝90°，如图2 中，作P′M⊥B 于M，E′⊥B 于，M′⊥B 于′，连接ME′、P′． ∵四边形ME′P′是矩形， ∴P′＝ME′， ∵E′＝ E′， ∴P′+P′E′+ E′＝ME′+E′+P′E′， ∴当M，E′，共线时，P′+P′E′+ E′的值最小，最小值＝M+P′E′， 易知M（ ， ）， ∴P′+P′E′+ E′的最小值＝ + ＝ ． 练22 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2﹣x﹣2 交x 轴于、B 两点，交y 轴于点，点关于抛 物线对称轴对称的点为D． （1）求点D 的坐标及直线BD 的解析式； （2）如图1，连接D、D、BD，点E 为线段D 上一动点．过E 作EF∥BD 交线段D 于F 点，当 △EF 的面积最大时，在x 轴上找一点P，在y 轴上找一点Q，使EQ+PQ+ BP 最小，并求其最 小值； 【解答】解：（1）对于抛物线y＝ x2﹣x﹣2 ，令x＝0，则y＝﹣2 ，令y＝0，则x＝2 或﹣ ， 故点、B、的坐标分别为：（﹣ ，0）、（2 ，0）、（0，﹣2 ）， ∴抛物线的对称轴x＝ （﹣ ）＝ ， ∵点关于抛物线对称轴对称的点为D， ∴点D（ ，﹣2 ）； 设直线BD 的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得： ， 故直线BD 的表达式为：y＝2x﹣4 ①； （2）设点E（m，﹣2 ）， ∵EF∥BD， ∴直线EF 表达式中的k 值和直线BD 表达式中的k 值相同， 设直线EF 的表达式为：y＝2x+b′， 将点E 的坐标代入上式并解得：b′＝﹣2m﹣2 ， 直线EF 的表达式为：y＝2x﹣2m﹣2 ②， 联立①②并解得： ， 故点F 的坐标为：（ ，﹣ ）， △EF 的面积S＝ ×E×（yF﹣yE）＝ m×（﹣ +2 ）＝﹣ m2+ m， ∵﹣ ＜0，故S 有最大值，此时m＝ ，故点E（ ，﹣2 ）； 过点B 作直线B 使t∠B＝ ，则s∠B＝ ， 作点E 关于y 轴的对称点E′（﹣ ，﹣2 ），过点E′作E′⊥B 交y 轴于Q，交x 轴于P，则点 P、Q 为所求点，此时EQ+PQ+ BP 最小， ∵s∠B＝ ，则P＝PBs∠B＝ PB， EQ+PQ+ BP＝E′Q+PQ+P＝E′为最小， ∵t∠B＝ ，故t∠PB＝2，即直线E′表达式中的k 值为2， 设直线E′的表达式为：y＝2x+b″， 将点E′的坐标代入上式并解得：b″＝﹣ ， 故直线E′的表达式为：y＝2x﹣ ， 令x＝0，则y＝﹣ ，令y＝0，则x＝ ， 故点P、Q 的坐标分别为：（ ，0）、（0，﹣ ）， E′P＝ ＝ ， P＝ ×（2 ）＝ ， 故EQ+PQ+ BP 最小值为： ； 练23 如图①，抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点， 连接B． （1）过点且平行于B 的直线交于y 轴于点D，求D 的解析式； （2）如图②，P 是直线B 上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴l 上有一动点M，在x 轴上 有一动点，连接PM、M，当△PD 的面积最大时，求PM+M+ B 的最小值； 【解答】解：（1）针对于抛物线y＝﹣ x2+ x+2， 令y＝0，则 ， ∴x1＝﹣1，x2＝4， ∴（﹣1，0），B（4，0） 当x＝0，得y＝2 ∴（0，2）， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， ∵D∥B， ∴直线D 的解析式为y＝﹣ x﹣ ； （2）由（1）知，直线D 的解析式为y＝﹣ x﹣ ， ∴D（0，﹣ ）， 过点P 作直线l∥D，当直线l 与抛物线只有一个交点时，S△PD最大， 设直线l 的解析式为y＝﹣ x+b①， ∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2②， 联立①②得，x2﹣4x+2b﹣4＝0， ∴△＝16﹣4（2b﹣4）＝0， ∴b＝4， ∴x1＝x2＝2， ∴P（2，3）， 如图1， 在y 轴负半轴取一点K，使 ＝ ， 设K＝ m，则BK＝5m， 在Rt△BK 中，（5m）2﹣（ m）2＝16， ∴m＝ 或m＝﹣ （舍）， ∴BK＝2 ， ∴K＝2， ∴点K（0，﹣2）， 则s∠BK＝ ＝ ，s∠BK＝ ＝ ＝ ， 过点作T⊥BK 于T， 在Rt△BT 中，s∠BT＝ ＝ ， ∴T＝ B，作点P（2，3）关于抛物线对称轴x＝ 的对称的P'， ∴P'（1，3）， ∴点P'，M，，T 在同一条线时，PM+M+ B 最小，最小为P'T， ∵B（4，0）， ∴直线BK 的解析式为y＝ x﹣2， 过P'作P'⊥x 轴交BK 与， ∴（1，﹣ ）， ∴P'＝3+ ＝ ， ∵∠BT＝∠P'， ∴∠P'T＝∠BK， ∴s∠P'T＝s∠BK＝ ， ∴P'T＝P'•s∠P'T＝ × ＝ ， 即：PM+M+ B 的最小值为 ；