92 圆的辅助线机密

辅助圆 例题精讲 【例1】如图， 的圆心 的坐标为 ，半径为1，直线的表达式为 ， 是直线上的动点， 是 上的动点，则 的最小值是 ． B． ． D． 【解答】解：过点 作 直线，交圆 于 点，此时 的值最小，连接 、 ， 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ， 解得， ， 的半径为1， ， 故选： ． 【变式训练1】 如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以 为圆心， 为半径的 上一动点，连接 、 ，则 面积的最小值 是 ．30 B．29 ．28 D．27 【解答】解：过 作 于 ，连接 ，如图， 令 ，则 ，令 ，则 ， ， ， ， ， ， 则由三角形面积公式得， ， ， 圆 上点到直线 的最小距离是 ， 面积的最小值是 ． 故选： ． 【变式训练2】 如图，在 中， ， ， ，点 是 的三 等分点，半圆 与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动点，则 的最大值 与最小值之差是 ．5 B．6 ．7 D．8 【解答】解：如图，设 与 相切于点 ，连接 ，过点 作 垂足为 交 于 ， 此时垂线段 最短， 最小值为 ， ， ， ， ， ， 点 是 的三等分点， ， ， ， 与 相切于点 ， ， ， ， ， 最小值为 ， 如图，当 在 边上时， 与 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长， 最大值 ， 长的最大值与最小值的差是 ． 故选： ． 【变式训练3】 如图，在 中， ， ， ，点 是边 上一动点，连接 ， 在 上取一点 ，使 ，连接 ，则 的最小值为 ． B． ． D． 【解答】解： 中， ， ， ， ， 如图，取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， 可得 点在以 为圆心，半径为 的圆上运动，当 ， ， 三点在同一直线上时， 最短， 可得此时 ， 在 中， ， 故 的最短值为： ， 故选： ． 【例2】如图，已知正方形 的边长为4，点 和 分别从 、 同时出发，以相同 的速度沿 、 向终点 、 运动，连接 、 ，交于点 ，连接 ，则 长的最小值为 ． B．2 ． D． 【解答】解：由题意得： ， 四边形 是正方形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 是以 为半径的圆上远动，设圆心为 ，运动路径一条弧 ，是这个圆的 ， 如图所示： 连接 交圆 于 ，此时 最小， ， ， 由勾股定理得： ， ； 故选： ． 【变式训练1】 如图，在边长为1 的正方形 中，动点 、 分别以相同的速度从 、 两点同时出发向 、 运动（任何一个点到达即停止）， 、 交于点 ， 连接 ，则线段 的最小值为 ． B． ． D． 【解答】解：如图， 动点 ， 的速度相同， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点 在运动中保持 ， 点 的路径是一段以 为直径的弧， 设 的中点为 ，连接 交弧于点 ，此时 的长度最小， 在 中， ， ， ， 即线段 的最小值为 ， 故选： ． 【变式训练2】 如图，在 中， ， ， ，以边 的中点 为 圆心，作半圆与 相切，点 ， 分别是边 和半圆上的动点，连接 ，则 长的最大值与最小值的和是 ．9 B．10 ． D． 【解答】解：如图，设 与 相切于点 ，连接 ，作 垂足为 交 于 ， 此时垂线段 最短， 最小值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为 ， 如图，当 在 边上时， 与 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长， 最大值 ， 长的最大值与最小值的和是9 故选： ． 【变式训练3】 如图， 的对角线 ， 相交于点 ， 是以 为圆心，以2 为半径为圆上一动点，连接 ，点 为 的中点，连接 ，若 ， ， 则 的最大值为 ． B． ． D． 【解答】解：如图，连接 ， 四边形 是平行四边形， ， ， 点 为 中点， ，且 ， 随着点 的运动，点 的运动轨迹是以 为圆心、1 为半径的圆， 则当 与 交于点 时， 最大，为 ， 故选： ． 【变式训练4】 如图，在平面直角坐标系 中，直线 过点 ， ， ， ， 的半径为 为坐标原点），点 在直线 上，过点 作 的一条切 线 ， 为切点，则切线长 的最小值为 ． B． ．3 D． 【解答】解：连接 、 ． 是 的切线， ； 根据勾股定理知 ， 当 时，线段 最短； 又 ， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 最新模拟题 1. 如图，在 中， ， ，点 是 上的动点，连接 ，过点 作 于点 ，点 是 的中点，连接 ，则 的最小值是 ． 【解答】解： ， ． 取 的中点 ，连接 ，则 ， 点 在以 为直径的 上， 连接 ，易知当点 在线段 上时， 取得最小值， 如图所示．在 中， ， ， ， ． 是 的中点， 是 的中点， 是 的中位线， ， ， 即 的最小值为 ． 故答为 ． 2. 如图，在 中， ， ， ， 是 所在平面内 一点，且满足 ，则 的最大值为 ． 【解答】解：在 中， ， ， ， ， ， ， 点 在以 为直径的圆上， 取 的中点，连接 ，如图，则 ， 点 为 的延长线于 的交点时， 最大， 的最大值为 ． 故答 ． 3. 如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别为边 ， 上的动点， 且 ．连接 、 交于点 ．连接 ，过点 作 于点 ，连 接 ，则 的最小值为 ． 【解答】解： ， ， ， ， 点 在以 为直径的圆上， 设 中点为 ，连接 ，如图所示． 则 ． 当 ， ， 三点共线时， 最小，此时 ， 过点 作 分别交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ， ， 为 的中位线， ， ． ． ， ， ． ， ． 在 中， ． 在 中， ， ， 故答为 ． 4. 如图，在 中， ， ， ，点 是 内部的一动点， 且满足 ．则线段 的最小值为 ． 【解答】解： ， ， ， ， 点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小， 在 中， ， ， ， ， ． 最小值为8． 故答为8 5. 如图，正方形 的边长为2 ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，且 ， 和 相交于点 ，在点 ， 运动的过程中， 的最小值为 ． 【解答】解：在正方形 中， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 点 在以 为直径的圆上， 设 的中点为 ， 由图形可知：当 、 、 在同一直线上时， 有最小值，如图所示： ， ， ， ， 故答为： ． 6. 等腰直角 中， ， ， 为线段 上一动点，连接 ，过 点 作 于 ，连接 ，则 的最小值为 ． 【解答】解： ， 是定值， 点是在以 为直径的半圆上运动（不包括 点和 点）， 连接 ，则 ． ， 当 、 、 三点共线时， 最短，此时 ． 故答为 ． 7. 如图，在 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且 满足 ，则线段 长的最小值为 ． 【解答】解： ， ， ， ， 点 在以 为直径的 上，当 、 、 共线时 最小， 在 中， ， ， ， ， ． 最小值为2 故答为2 8. 如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满 足 ，则线段 长的最小值为 ． 【解答】解：取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， （直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 点 在以 为直径的 的一部分弧线上，连接 交 于点 ，此时 最小，其 最小值为 ， 在 中， ， ， ， ， ． 最小值为1． 故答为1 9. 如图，在 中， ， ， ，点 是 上的一个动点， 以 为直径作圆 ，连接 交圆 于点 ，则 的最小值为 ． 【解答】解：连接 ，取 的中点 ，作直径为 的 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， 是 的直径， ， 点在 上， 在 的运动过程中， ，且 、 、 三点共线时等号成立， 当 、 、 三点共线时， 取最小值为 ． 故答为： ． 10. 如图，在正方形 中， ， ， 分别为 ， 上的点，过点 ， 的直线将正方形 的面积分为相等的两部分，过点 作 于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 ． 【解答】解：连接 ， 交于 ， 过点 、 的直线将正方形 的面积分为相等的两部分， 过点 ， ， ， 点 在以 为直径的半圆弧上， 设 的中点为 ， 连接 交半圆弧于 ， 则此时， 最小， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答为： ． 11. 如图，在矩形纸片 中，边 ， ，点 为 边上的动点（点 不 与点 ， 重合），将纸片沿 折叠，则 的最小值为 ． 【解答】解：连接 ，当点 在 上时， 有最小值， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 由折叠性质得： ， ， 的最小值 ， 故答为：8 12. 如图，在边长为4 的正方形 中，动点 ， 分别在 ， 上移动， ， 和 交于点 ，则线段 的最小值是 ． 【解答】解： 四边形 是正方形， ， ． 在 和 中， ， ． ， ， ， ． ， 点 的路径是一段以 为直径的弧， 如图， 设 的中点为 ，连接 交弧于点 ，此时 的长度最小， 在 中， ， ， 故答为 ． 13. 如图， 、 是边长为4 的正方形 的边 上两个动点（点 不与点 、 重 合），且满足 ．连接 交 于点 ．连接 交 于点 ，则线段 的取值范围是 ． 【解答】解：在正方形 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 取 的中点 ，连接 、 ， 则 ， 在 中， ， 根据三角形的三边关系， ， 当 、 、 三点共线时， 的长度最小， 的最小值 ． 点 的轨迹只在 内部， ， 线段 的取值范围是 ． 14. 如图， 中， ， ， ．以 为边作正方形 ． 点 是边 上一动点，连接 ，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ．则线 段 的最小值是 ． 【解答】解：如图，点 在以 的中点 为圆心， 为直径的圆上，连接 与圆 的 交点即为点 ，此时线段 的值最小， ， ， ， ， ， 过 作 ，交 于 ， ， ， ， ， 则线段 的最小值是 ． 故答为： ． 15. 如图，在矩形 中， ， ， 是矩形内部的一个动点，且 ， 则线段 的最小值为 ． 【解答】解：如图， ， 点 在以 为直径的半 上， 连接 交 于点 ， 当点 位于点 位置时，线段 取得最小值， ， ， ， ， 则 ， 故答为： ． 16. 如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且 满足 ，连接 ，则线段 长的最小值为 ． 【解答】解： ， ， ， ， ， 点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小， 在 中， ， ， ， ， ． 最小值为4 故答为：4