4 将军饮马求最小值2-平移

将军饮马求最值2--平移 内容导航 方法点拨 已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上 要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： 过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即 为所求的点。 （2）点、B 在直线m 同侧： 例题演练 m A B B' E Q P m A B Q P m A B Q P m A B C Q P 例1．如图1，抛物线y＝ x 与x 轴交于点，B（在B 左边），与y 轴交于点，连， 点D 与点关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE∥交抛物线于点E，交y 轴于点P． （1）点F 是直线下方抛物线上点一动点，连DF 交于点G，连EG，当△EFG 的面积的最大值时， 直线DE 上有一动点M，直线上有一动点，满足M⊥，连GM，，求GM+M+的最小值； 【解答】解：（1）如图1 中，作F∥y 轴交DE 于．设F（m， m2+ m+2 ）． 由题意可知（﹣6，0），B（﹣2，0），（0，2 ）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣4，，D 关于直线x＝﹣4 对称， ∴D（﹣8，2 ）， ∴直线的解析式为y＝ x+2 ， ∵DE∥， ∴直线DE 的解析式为y＝ x+ ， 由 ，解得 或 ， ∴E（2， ），（m， m+ ）， ∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG 的面积为定值， ∴△DEF 的面积最大时，△EFG 的面积最大， ∵F 的值最大时，△DEF 的面积最大， ∴F 的值最大时，△EFG 的面积最大， ∵F＝﹣ m2﹣ m+ ， ∵＜0．开口向下， ∴x＝﹣3 时，F 的值最大，此时F（﹣3，﹣ ）． 如图2 中，作点G 关于DE 的对称点T，TG 交DE 于R，连接R 交于，作M⊥DE 于M，连接 TM，GM，此时GM+M+的值最小． ∵直线DF 的解析式为：y＝﹣ x﹣2 ， 由 ， 解得 ， ∴G（﹣ ， ）， ∵TG⊥， ∴直线GR 的解析式为y＝﹣ x﹣ ， 由 ，解得 ， ∴R（﹣ ， ）， ∴RG＝4，R＝ ， ∵GM＝TM＝R， ∴GM+M+＝R++RG＝RG+＝4+ ． ∴GM+M+的最小值为4+ ． 练11 如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，顶点为D，连接B （1）点G 是直线B 上方抛物线上一动点（不与B、重合），过点G 作y 轴的平行线交直线B 于 点E，作GF⊥B 于点F，点M、是线段B 上两个动点，且M＝EF，连接DM、G．当△GEF 的周 长最大时，求DM+M+G 的最小值； 【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4 ∴抛物线与x 轴交于点（﹣1，0）、点B（3，0），与y 轴交于点（0，3），顶点D（1，4）， ∴直线B 解析式：y＝﹣x+3，∠B＝45° ∵GE∥y 轴，GF⊥B ∴∠GEF＝∠B＝45°，∠GFE＝90° ∴△GEF 是等腰直角三角形，EF＝FG＝ GE ∴△GEF＝EF+FG+GE＝（ +1）GE 设点G（，﹣2+2+3），则点E（，﹣+3），其中0＜＜3 ∴GE＝﹣2+2+3﹣（﹣+3）＝﹣2+3＝﹣（﹣ ）2+ ∴＝ 时，GE 有最大值为 ∴△GEF 的周长最大时，G（ ， ），E（ ， ）， ∴M＝EF＝ ，E 点可看作点F 向右平移 个单位、向下平移 个单位 如图1，作点D 关于直线B 的对称点D1（﹣1，2），过作D2∥D1M 且D2＝D1M ∴DM＝D1M＝D2，D2（﹣1+ ，2﹣ ）即D2（ ， ） ∴DM+M+G＝M+D2+G ∴当D2、、G 在同一直线上时，D2+G＝D2G 为最小值 ∵D2G＝ ∴DM+M+G 最小值为 练12 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧）， 与y 轴交于点，对称轴为直线l，点D（﹣4，）在抛物线上． （1）求直线D 的解析式； （2）E 为直线D 下方抛物线上的一点，连接E，ED，当△ED 的面积最大时，在直线l 上取一点 M，过M 作y 轴的垂线，垂足为点，连接EM，B，若EM＝B 时，求EM+M+B 的值． 【解答】解：（1）由题意（0，﹣3），D（﹣4，5）， 设直线D 的解析式为y＝kx+b，则有 解得 ， ∴直线D 的解析式为y＝﹣2x﹣3． （2）如图1 中，过点E 作EG∥y 轴交直线D 于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣ 3），GE＝﹣m2﹣4m． ∴S△ED＝ •EG•|Dx|＝ （﹣m2﹣4m）×4＝﹣2（m+2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴m＝﹣2 时，△DE 的面积最大，此时E（﹣2，﹣3）， ∵（0，﹣3）， ∴E∥B，设E 交对称轴于， ∵B（1，0）， ∴E＝B＝1，∵EM＝B， ∴Rt△EM≌Rt△B， ∴M＝＝ ＝ ， ∴EM＝B＝ ＝ ， ∴EM+M+B＝1+ ． 练13 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2﹣ x+b 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，B＝1，∠B＝60°． （1）如图1，求直线B 的解析式； （2）如图1，线段上方抛物线上有一动点P，PD⊥x 轴于点，交线段于点D，直线BG∥，交抛物 线于点G，点F 是直线B 上一动点，FE∥B 交于点E，点Q 是点关于直线BG 的对称点，连接 PE、QF．当线段PD 取最大值时，求PE+EF+QF 的最小值及点E 的坐标； 【解答】解：（1）在△B 中，B＝1，∠B＝60° ∴B＝2，＝ ． ∴抛物线解析式为： ； 令y＝0，得 解之得，x1﹣3，x2＝1 ∴（﹣3，0），B（1，0），（0， ） 设直线B 解析式为：y＝kx+b，经过B（1，0），（0， ） ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）设直线解析式为：y＝k1x+b1，经过（﹣3，0），B（1，0），得 设P 点坐标为 ，则D 点坐标为 ∴PD＝ ═ 当 时，PD 有最大值． ∴P 点坐标为 ； 在R△中，可以求出＝2 ，B＝4 ∴2+B2＝12+4＝16＝B2 由勾股定理逆定理得，可得∠B＝90°， 可得∠B＝30°＝∠BG， 由对称可得，B＝BQ＝4，∠BQ＝30°+30°＝60°， ∴△BQ 是等边三角形． 过点Q 作QM⊥x 轴于点M． ∴MB＝4，且B＝1 ∴M＝1，QM＝2 ∴Q 点坐标为（﹣1，﹣2 ）； 由题意得，四边形BEF 是矩形，可得EF＝B＝2． 将Q 点沿射线EF 方向平移2 个单位（向左平移1 个单位，向上平移 个单位），可得Q′的坐 标为（﹣2，﹣ ）， 连接P Q′交于点E，点E 即为所求． P Q′＝ PE+EF+QF 最小值＝P Q′+EF＝ +2， 直线P Q 的解析式为： 联立 ， 解得：x＝﹣ ，故E 点坐标 ； 练14 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+2 x﹣ 与x 轴交于、B 两点（点在点 B 的左侧），与y 轴交于点，顶点为D，对称轴与x 轴交于点E，直线E 交抛物线于点F（异于 点），直线D 交x 轴交于点G． （1）如图1，求直线E 的解析式和顶点D 的坐标； （2）如图1，点P 为直线F 上方抛物线上一点，连接P、PF，当△PF 的面积最大时，点M 是过 P 垂直于x 轴的直线l 上一点，点是抛物线对称轴上一点，求FM+M+的最小值； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2+2 x﹣ 与y 轴交于点， ∴（0，﹣ ）， ∵y＝﹣ x2+2 x﹣ ＝﹣ （x﹣2）2+ ， ∴顶点D（2， ），对称轴x＝2， ∴E（2，0）， 设E 解析式y＝kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线E 的解析式：y＝ x﹣ ； （2）∵直线E 交抛物线于点F（异于点）， ∴ x﹣ ＝﹣ （x﹣2）2+ ， ∴x1＝0，x2＝3， ∴F（3， ）， 过P 作P⊥x 轴，交E 于，如图1， 设P（，﹣ 2+2 ﹣ ） 则（， ﹣ ）， ∴P＝﹣ 2+2 ﹣ ﹣（ ﹣ ）， ＝﹣ 2+ ， ∵S△FP＝ P×3＝﹣ 2+ ， ∴当＝ 时，S△FP面积最大， 如图2，作点M 关于对称轴的对称点M'，过F 点作FG∥MM'，FG＝1，即G（4， ）， ∵M 的横坐标为 ，且M 与M'关于对称轴x＝2 对称， ∴M'的横坐标为 ， ∴MM'＝1， ∴MM'＝FG，且FG∥MM'， ∴FGM'M 是平行四边形， ∴FM＝GM'， ∴FM+M+＝GM'+M'+， 根据两点之间线段最短可知：当，，M'，G 四点共线时，GM'+M'+的值最短，即 FM+M+的值最 小， ∴FM+M+＝G＝ ＝ ； 练15 如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△B 的顶点坐标分别为（﹣2，0），（0，0），B（0， 4），把△B 绕点按顺时针方向旋转90°，得到△D． （1）求、D 两点的坐标； （2）求经过、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E 在点F 的上方），且EF＝1，使四边形EF 的周长最小，求出E、F 两点的坐标． 【解答】解：（1）由旋转的性质可知：＝＝2，D＝B＝4 ∴点的坐标是（0，2），D 点的坐标是（4，0）， （2）设所求抛物线的解析式为y＝x2+bx+， 由题意，得 ， 解得 ，b＝1，＝4， ∴所求抛物线的解析式为 ； （3）只需求F+E 最短， 抛物线 的对称轴为x＝1， 将点向上平移至1（﹣2，1），则F＝1E， 作1关于对称轴x＝1 的对称点2（4，1）， 连接2，2与对称轴交于点E，E 为所求， 可求得2的解析式为 ， 当x＝1 时， ， ∴点E 的坐标为 ，点F 的坐标为 ． 练16 如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3 与x 轴相交于，B 两点，与y 轴交于点，D 为顶点． （1）求直线的解析式和顶点D 的坐标； （2）已知E（0， ），点P 是直线下方的抛物线上一动点，作PR⊥于点R，当PR 最大时，有 一条长为 的线段M（点M 在点的左侧）在直线BE 上移动，首尾顺次连接、M、、P 构成四 边形MP，请求出四边形MP 的周长最小时点的坐标； 【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3 或1， ∴（﹣3，0），B（1，0）， 令x＝0，得y＝﹣3， ∴（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点D 坐标为（﹣1，﹣4）， 设直线的解析式为y＝kx+b，则有 ，解得 ， ∴直线的解析式为y＝﹣x﹣3，点D 坐标（﹣1，﹣4）． （2）如图1 中，设P（m，m2+2m﹣3）， 由题意，当PR 最大时，△P 的面积最大，即四边形P 的面积最大， ∵S 四边形P＝S△P+S△P﹣S△＝ •3•（﹣m2﹣2m+3）+ •3•（﹣m）﹣ •3•3＝﹣ m2﹣ m＝﹣ （m+ ）2+ ， ∴当m＝﹣ 时，四边形P 的面积最大，即PR 最长， ∴P（﹣ ，﹣ ）， 将点P 沿BE 方向平移 个单位得到G（﹣ ，﹣ ），作点关于直线BE 的对称点K，连接 GK 交BE 于M，此时四边形PM 的最长最小， ∵直线BE 的解析式为y＝﹣ x+ ，直线K 的解析式为y＝2x+6， 由 解得 ， ∴（﹣ ， ）， ∵＝K， ∴k（﹣ ， ）， ∴直线KG 的解析式为y＝ x+ ， 由 解得 ， ∴M（﹣2， ），将点M 向下平移1 个单位，向右平移2 个单位得到， ∴（0， ）．