43讲 杠杆的平衡条件、杠杆中最小力的问题（教师版） 2023年初中物理自主招生讲义68讲

第1 页/ 共45 页 初中物理自主招生讲义43 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用、杠杆的平衡条件、杠杆 中最小力的问题 一．杠杆及其五要素（共1 小题） 1．在足球赛场上，我们总能看到靠近球门的摄像师利用一根长支架进行拍摄，如图所示。 这样做的好处是 为了获得更大的拍摄范围 。 答与解析：从图中可以看出摄像师利用的这根长支架是一个费力杠杆，虽然他费了力却 省了距离，他移动比较小的距离，摄像就可移动比较大的距离。可以拍摄更大的范围。 故答为：为了获得更大的拍摄范围。 二．力臂的画法（共3 小题） 2．如图甲所示，曲杆B 自重不计，为支点，＝60m，B＝40m，B＝30m，要使曲杆在图示 位置平衡，请作出最小的力F 的示意图及其力臂L。 答与解析：根据杠杆平衡的条件可知，力臂越长越省力，因为B＝40m，B＝30m，所以 ＝50m，而＝60m，故作为力臂最长，所以过点作垂直于的有向线段，方向向上，即为 最小的力F 的示意图。如图所示： 第1 页/ 共45 页 3．如图所示，一轻质杠杆可绕点转动，端用绳子系住，绳子的另一端系于竖赶墙壁的点， 在杠杆中点B 处悬挂一重为G 的重物，杠杆处于水平静止状态。已知杠杆长为2L，点 到点距离为L。 （1）请在图上画出拉力F 的力臂； （2）求出拉力F 的大小； （3）若绳子能承受的最大拉力为 G，则重物最多能悬挂在离点多远处？ 答与解析：（1）过支点作垂直绳子对杠杆的拉力F 作用线的垂线段（即力臂L）。 如图所示： （2）根据杠杆平衡条件得：F×D＝G× 即F＝ G 又因为＝L，＝2L 所以＝ L 则F＝ G＝ G＝ G。 第1 页/ 共45 页 （3）设重物最多能悬挂在离点的距离为X。 ∵ ＝ D ∴＝ ×＝ ×2L＝ L 则根据杠杆平衡条件得：F×D＝G×X X＝ ＝ × L＝ 答：（2）拉力F 的大小 ； （3）重物最多能悬挂在离点的距离为 。 4．如图所示，为杠杆的支点，在B 处挂一小球，＝B＝B，为使杠杆在水平位置平衡，画 出施加在杠杆上最小动力F1的力臂L1，并标出F1的方向。 答与解析：杠杆平衡时，动力F1要最小，F1的力臂应最大，即为动力臂，力F1作用点 在点，竖直向上拉，如图： 三．杠杆的平衡条件（共25 小题） 5．有一物体由粗细不同的两段圆柱体组成，用线系着悬挂起来，恰好能在水平位置平衡， 如图所示，已知该物体由同一材料制成，粗段的横截面积是细段的2 倍，那么粗段的长 度是细段的 （ ） 第1 页/ 共45 页 ． 倍 B． 倍 ．2 倍 D． 倍 答与解析：由杠杆平衡的条件可得：G1× l1＝G2× l2 ρ1gs1l1× l1＝ρ2gs2l2× l2； ∵物体由同一材料制成，粗段的横截面积是细段的2 倍，则有：ρ1＝ρ2，s1＝2s2； 2× ∴ ＝ 即l1＝ l2。 故选：。 6．小新同学家中的墙壁上竖直悬挂着一指针式电子钟，当其因电池电能不足而停止时，指 针最可能停在如图中所示的哪个位置附近（ ） ． B． ． D． 答与解析：因电能是渐渐消耗的，而当需要提供的力最大时，消耗的电能最多； 因秒针的重力不变，而当秒针在水平位置时重力的力臂是最大的，则当指针在左侧水平 位置向上时，电能需要克服的阻力及重力的力臂的乘积最大，则此时消耗的电能最多； 故秒针最应停在9 点的位置，即图所示； 故选：。 7．一辆汽车重10×104，现要测量车的重心位置，让车的前轮压在水平地秤（一种弹簧 秤）上，测得压力为6×103，汽车前后轮中心的距离是2m．则汽车重心的位置到前轮中 心的水平距离为（ ） ．2m B．18m ．12m D．08m 答与解析：汽车的重力G＝10×104，设重力的力臂即阻力臂为L 阻，地秤对车的支持力F 第1 页/ 共45 页 等于车对地秤的压力，即地秤的示数F'，F＝F'＝6×103，支持力力臂即动力的力臂L 动 ＝2m，由杠杆平衡条件得：G×L 阻＝F×L 动，所以L 阻＝ ＝ ＝ 12m，则汽车重心到前轮中心的水平距离是L＝2m 12m ﹣ ＝08m。 故选：D。 8．如图所示的杠杆是平衡的。若如图乙所示，在支点两侧的物体下方分别加挂一个等重的 物体，杠杆（ ） ．仍能平衡 B．不能平衡，端上升 ．不能平衡，B 端上升 D．无法判断 答与解析：甲图杠杆平衡是因为：2G×2L＝1G×4L； 乙图分别加挂一个等重的物体G′后： 左边：（2G+G′）×2L＝2G×2L+G′×2L 右边：（1G+G′）×4L＝1G×4L+G′×4L， 因为G′×2L＜G′×4L， 所以：（2G+G′）×2L＜（1G+G′）×4L 所以杠杆不能平衡，端上升、B 端下沉； 故选：B。 9 ．一根粗细不均匀的树干在点支起，恰好平衡；如果在点把它锯断，则（ ） ．两段树干的重力相等 B．细而长的一段重 ．粗而短的一段重 D．无法判断 答与解析：根据杠杆原理：F1L1＝F2L2，可知：粗的一段重，由于粗的一段重心离支点 近，力臂比较小，故粗的一段重。 故选：。 10．有一根长为l 的均匀细棒，一部分浸入密度为ρ 的液体中，长度为b，另一端搁在容器 第1 页/ 共45 页 壁上，伸出器壁的长度为，如图所示。则细棒的密度等于（ ） ．ρ• （1+ ） B．ρ• （1﹣ ） ．ρ• （1+ ） D．ρ• （1+ ） 答与解析：因重力的作用点在物体的重心，由于棒是均匀的，所以重力的作用点在棒的 中心；又因细棒只有浸入液体中的部分b 才受浮力，所以浮力的作用点B 在浸入部分的 中点。如图所示： 设均匀细棒的横截面积和密度分别为S、ρ′，则其重力为G＝ρ′glS。 根据阿基米德原理，浸入液体中部分受到的浮力F 浮＝ρgV 排＝ρgbS， 由图可知，＝ ﹣，B＝l﹣﹣ ，又设重力和浮力的力臂分别为l1、l2， 则根据相似三角形的性质得：：B＝l1：l2。 由杠杆的平衡条件得：Gl1＝F 浮l2， 即ρ′glS（ ﹣）＝ρgbS（l﹣﹣ ）， 将上式整理后得：ρ′＝ρ• （1+ ）。 故选：。 11．如图所示，杠杆在力F、FB 的作用下保持水平静止状态，杠杆的自重不计，为杠杆的 支点，FB 的方向与垂直。则下列关系式中一定正确的是（ ） 第1 页/ 共45 页 ．F•＝FB•B B．F•＜FB•B ． ＝ D．F＞FB• 答与解析：过点作F 作用线的垂线段，即F 的力臂；如图所示： 因为FB 的方向与垂直，所以FB 对应的力臂为B；显然F 的方向与不垂直；从图中可 知，F 的力臂为，并且小于，故F×＝FB×B；故错误； 因为大于，因此F×＞FB×B；故B 错误； 由F×＝FB×B 可得， ＝ ，故错误； 因为F×＞FB×B，所以F＞FB• ，故D 正确。 故选：D。 （多选）12．甲物体静止在水平地面上时，对地面的压强为6×105P．现将甲物体用细绳挂 在轻质杠杆的端，杠杆的B 端悬挂乙物体，如图所示，当杠杆在水平位置平衡时，甲物 体对地面的压强为2×105P，已知：乙物体的质量为2kg，：B＝1：3，g 取10/kg。下列 判断中正确的是（ ） ．甲物体的重力是90 B．要使甲物体恰好被细绳拉离地面，甲物体对地面的压力只需减少30 ．要使甲物体恰好被细绳拉离地面，杠杆B 端所挂物体的质量至少增加1kg D．要使甲物体恰好被细绳拉离地面，可以移动支点的位置，使：B＝9：2 答与解析：、乙物体的重力G 乙＝m 乙g＝2kg×10/kg＝20；根据杠杆平衡条件FL＝G 乙 LB， 第1 页/ 共45 页 细绳对端的拉力：F＝G 乙× ＝20× ＝60， 绳子拉力处处相等，细绳对甲的拉力也为60 △ ，甲对地面的压力F 减少了60， F △＝F1 F ﹣ 2＝p1S p ﹣2S，数据代入：60＝6×105PS 2×10 ﹣ 5PS， 解得：S＝15×10 4 ﹣m2； 则甲的重力G 甲＝F1＝p1S＝6×105P×15×10 4 ﹣m2＝90；故正确； B、甲对地面的压力为F 甲＝G 甲 △ ﹣F＝90 60 ﹣ ＝30；要使甲物体恰好被细绳拉离地面， 甲物体对地面的压力只需减少30 即可；故B 正确； 、要使甲物体恰好被细绳拉离地面，甲对地面的压力为0，端受到的拉力等于甲的重 力： 根据杠杆平衡条件：G 甲l＝G 乙′lB，G 乙′＝ ＝90× ＝30， 杠杆B △ 端所挂物体的质量至少增加m＝ ＝ ＝1kg；故正确； D、根据杠杆平衡条件：G 甲L′＝G 乙LB′，则 ＝ ＝ ＝ ；故D 错误。 故选：B。 13．如图所示，一根轻质木杆，端细线下所挂50 的重物静止在水平地面上。当在B 点加竖 直向下的力F＝30 作用时，木杆恰能在水平位置处于平衡状态，此时细线竖直。已知＝ 15m，B＝5m，则重物对水平地面的压力为 40 。 答与解析：∵杠杆平衡， F×B ∴ ＝F 拉×， F ∴ 拉＝ ＝ ＝10， ∵ 又重物静止， 第1 页/ 共45 页 ∴重物受力平衡， G＝F 支+F 拉， 所以：F 支＝G F ﹣ 拉＝50 10 ﹣ ＝40 因为力的作用是相互的 所以F 压＝F 支＝40 故答为：40。 14．由五块相同砖块构成的桥，如图所示，若每块砖长度为L，则此桥的最大跨度为 L 。 答与解析： 最上方的砖受两端的两砖的支持力作用而处于平衡， 则砖对左方第二块砖压力F1＝ ； 第二块砖在重力及压力的作用下而处于杠杆的平衡状态下，设露出部分长为x，则重心 的位置离支点 ﹣x； 则由杠杆的平衡条件可知：G（ ﹣x）＝F1x； 则求得：x＝ L； 此图可知，此桥的最大跨度：s＝L+2× L＝ L； 故答为： L。 15．一辆板车陷入泥里，甲、乙两人来帮忙。甲帮助拉车把，乙推车轮的上边缘，若两人 第1 页/ 共45 页 用力一样大，且方向合理，则两人中实际效果更好些的是 乙 ，这是因为 乙使车轮 沿地面滚动的力臂长些，力和力臂的乘积较大 。 答与解析：车轮是一个杠杆，车轮与泥坑边的接触点是支点，乙作用在轮上的力是动 力，车轮的直径是动力臂，阻力臂是支点到车轮轴所在的竖直方向的距离。由于动力臂 大于阻力臂，所以车轮是一个省力杠杆，甲、乙两人使用相同力的情况下，乙的力和力 臂的乘积较大；这种方法可以使车比较容易的从泥坑里出来。而甲对车的力就是他的拉 力，采用这种方法就得需要更大的力才能将车拉出来。 故答为：乙；乙使车轮沿地面滚动的力臂长些，力和力臂的乘积较大。 16．地面上有一条大木杆，抬起端需用力300，抬起B 端需用力200 ．这条木杆的 端 较粗，整个木杆的重量（所受的重力）为 500 。 答与解析：如右上图，抬端，以B 点为支点： FLB＝GLB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① 如右上下图，抬B 端，以点为支点： FBLB＝GL，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ①+②得： LB（F+FB）＝G（LB+L） G ∴＝F+FB＝300+200＝500 由①得： LB＝ ＝ ×LB＝ LB 由此可知重心离端近，力臂短，端较粗。 故答为：，500。 第1 页/ 共45 页 17．一块边长为10 厘米、质量为15 千克的正方体，放在水平地面上，若要把它翻转一 次，至少要做 （ ﹣ 1 ） 焦的功，把此正方体翻转的最小推力为 牛。 （g＝10/kg） 答与解析：在B 端施加F 方向的最小力能使正方体翻转，根据杠杆平衡条件得， ×G＝B×F， B 是正方体的对角线，所以B＝01 m。 所以，005m×15kg×10/kg＝01 m×F， 所以把此正方体翻转的最小推力为：F＝ 。 要使正方体翻转一次，至少把正方体的重心从M 点升高到M'点， 克服重力做功：＝G＝15kg×10/kg×（ ×01 005 ﹣ ）m＝ （ ﹣1）。 故答为： （ ﹣1）； 。 第1 页/ 共45 页 18．轻质杠杆力臂L1≠L2，左端悬挂一物体时，右端每个砝码质量为m，盘质量为m0．已 知物体体积为V，水的密度为ρ，物体密度大于ρ．物体完全浸没在水中后，需要拿掉 右端质量为 ρ V 的砝码。 答与解析：由杠杆平衡的条件：F1L1＝F2L2可得， ρ 物VgL1＝（2m+m0）gL2 ρ 物＝ ① 物体完全浸没在水中后，由杠杆平衡的条件：F1L1＝F2L2可得， （ρ 物Vg﹣ρVg）L1＝（m′+m0）gL2 ② 将①代入②可得： m′＝2m﹣ ρV； 需要拿掉右端质量为：m″＝2m 2m+ ﹣ ρV＝ ρV。 第1 页/ 共45 页 故答为： ρV。 19．如图，一根均匀的棒，其一端B 用细绳吊在墙上，另一端浸在水中，棒重为G，当木 棒L 的一半长浸在水中时，恰好如图平衡，则木棒的密度ρ＝ 075×10 3 kg/m 3 。 答与解析：如图所示，B 为杠杆的支点，为重力G 的作用点，也正好是杠杆长度的一 半；因此杠杆均匀，且有一半浸在水中，则浮力的作用点在点P 处，也正好是的中间位 置。作出两个力的力臂，根据三角形的关系可得 ＝ ＝ ．由杠杆的平衡条件得， 2G＝3F 浮⇒2ρ 木gV 木＝3ρ 水gV 排移项得，ρ 木＝ ρ 水＝075×103kg/m3。 故答为：075×103kg/m3。 20．一根长为L 的圆木头，质量大于100kg，其重心在离大头为 L 的地方，甲、乙二人同 时各扛一端将木头扛起，此后丙又在木头中点处向上扛，用力f 丙＝300，如图所示，由 于丙的参与，甲的负重减轻了 150 ，乙的负重减轻了 150 。 答与解析：丙作用前，以右端为支点，根据力矩平衡条件，有： F 甲•L＝mg• L， 第1 页/ 共45 页 F 甲×L＝100kg×10/kg× L 解得F 甲＝ ； 丙作用前，以左端为支点，有： F 乙•L＝mg• L F 乙×L＝100kg×10/kg× L 解得：F 乙＝ ； 丙作用后，以右端为支点，根据力矩平衡条件，有： F 甲′•L+F 丙•（1﹣ ﹣ ）L＝mg• L F 甲′×L+300× L＝100kg×10/kg× L 解得F 甲′＝ ； 丙作用后，以左端为支点，有： F 乙′•L+F 丙• L＝mg• L F 乙′×L+300× L＝100kg×10/kg× L 解得F 乙′＝ ； 故甲的负担减轻了 ﹣ ＝150，乙的负担减轻了 ﹣ ＝150； 故答为：150，150。 21．如图所示，长为l 的两块相同的均匀长方形砖块和B 叠放在一起，砖相对于B 砖伸出 ，B 砖放在水平桌面上砖的端面与桌面平行。为保持两砖不翻倒，B 砖伸出桌面的最 大长度是 。 第1 页/ 共45 页 答与解析：读图可知，可将其视为一个整体，则其总长度为 ，重心恰在桌面边缘 时，砖平衡，因此，其重心离右端的长度为总长度的一半 L，离B 右端的长度为 ﹣ ＝ 。 故答为： 。 22．如图所示，重力不计的轻杆1B 和2，长度均为L，1和2为光滑的转动轴，处有一突起 物搁在1B 的中点，B 处用细绳系在2 的中点，此时两短杆便组合成一根长杆。今在1B 杆上的点（点为B 的中点）悬挂一个重为G 的物体，则处受到的支承力为 G ；B 处绳的拉力为 G 。 答与解析：（1）如图甲所示，对于杠杆2来说， 由杠杆平衡条件得： F×L＝FB× ，则FB＝2F； （2）如图乙所示，对于杠杆1B 来说， 由题意可知：B＝ ， 1＝ + ＝ + ＝ ， 第1 页/ 共45 页 由杠杆平衡条件可得： F′× +G× ＝FB′×L ①， F 与F′、FB与FB′是物体间的相互作用力， 它们大小相等，F＝F′，FB＝FB′， 所以FB′＝2F′，把FB′＝2F′代入①， 解得：F′＝ G，FB′＝G， 则处受到的支承力为 G，B 处绳的拉力为G。 故答为： G；G。 23．如图是挖井时从井中提升沙土的杠杆示意图，杠杆B 可以在竖直平面内绕固定点转 动，已知：B＝5：4，悬挂在端的桶与沙土所受的重力为200，悬挂在B 端的配重所受 的重力为80，当杠杆B 在水平位置平衡时，加在配重下面绳端的竖直向下的拉力F 是 170 ．当把水桶浸入水中的体积是 136×10 2 ﹣ m3时，加在配重下面绳端的竖直向下 的拉力F 恰好为零。（不计杆重和绳重） 答与解析： 第1 页/ 共45 页 设＝5l，则B＝4l， （1）根据杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2， 代入数值可得：F1×4l＝200×5l，可得F1＝250，故拉力F＝F1 G ﹣ 配重＝250 80 ﹣ ＝170； （2）根据杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2，带入数值可得：80×4l＝F2'×5l，则F2'＝64， 则木桶受到的浮力为：F 浮＝G 总﹣F2'＝200 64 ﹣ ＝136， 由阿基米德原理F 浮＝ρ 液gV 排，排开水的体积即木桶浸入水的体积为V 排＝ ＝ ＝136×10 2 ﹣m3。 故答为：170；136×10 2 ﹣。 24．如图甲所示在容器底部用吸盘固定一个滑轮，轻质杠杆端的细线通过滑轮与水中的实 心长方体相连，的底面积为02m2，轻质杠杆：B＝3：2．容器内有一定质量的水，实心 长方体漂浮在水面上，此时物体D 对杠杆B 端的拉力恰好为零。继续向容器中加水，D 物体对地面压力随下底面的深度变化的图象如图乙所示。不计摩擦、绳重和水的阻力， 求： （1）的重力G； （2）D 物体的重力GD。 答与解析： （1）由乙图可知，当水的深度＝03m 时，物体对绳子的拉力为0， 此时，物体只受到重力和浮力，且G＝F 浮， 由阿基米德原理可知：F 浮＝ρ 水gV 排＝ρ 水gS＝10×103kg/m3×10/kg×02m2×03m＝600， 则物体的重力G＝F 浮＝600； （2）当下底面水的深度'＝05m 时，物体受到的浮力为： 第1 页/ 共45 页 F 浮'＝ρ 水gV 排＝ρ 水gS'＝10×103kg/m3×10/kg×02m2×05m＝1000， 此时物体对绳子的拉力为： F＝F 浮' G ﹣＝1000 600 ﹣ ＝400， 设＝3l，则0B＝2l， 根据杠杆的平衡条件：F1L1＝F2L2， 带入数值可得：FD×2l＝400×3l， 可得绳子对D 的拉力为：FD＝600， 由图象可知，当下底面的深度为05m 时，D