7 费马点求最小值

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 为平面内一点，连结P，PB，P，分别以P 和为一边向右作等边三角形 △PM 和△D． 【探究】求证：PM＝P，MD＝P 【应用】若B＝，＝b，∠B＝60°，则P+PB+P 的最小值是 （用，b 表示） 【解答】【探究】证明：∵以P 和为一边向右作等边三角形△PM 和△D， ∴PM＝P，＝D，P＝M，∠PM＝∠D＝60°， ∴∠P＝∠MD， 在△P 和△DM 中， ， ∴△P≌△DM（SS）， ∴MD＝P； 【应用】解：连接BD，如图所示： ∵△P≌△DM， ∴∠P＝∠DM，＝D＝b， ∴∠P+∠PB＝∠DM+∠PB， ∴∠DM+∠PB＝∠B＝60°， ∴∠BD＝∠DM+∠PB+∠PM＝60°+60°＝120°， 作DF⊥B 于F，则∠FD＝90°， 在Rt△DF 中，∵∠DF＝180°﹣120°＝60°，D＝b， ∴∠DF＝30°， ∴F＝ ＝ b，DF＝ F＝ b，∴BF＝+ b， ∴BD＝ ＝ ＝ ； 当B、P、M、D 共线时，P+PB+P 的值最小， 即P+PB+P 的最小值为： ； 故答为： ． 练11 问题提出 （1）如图①，在△B 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD 中，D∥B，B＝6，D＝4，∠B＝∠BD＝60°．在四边形BD 内部有一点， 满足∠PD＝120°，连接BP、P，点Q 为△BP 内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q，使得 PQ+BQ+Q 有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图①， 由旋转的性质可知：△B′是等边三角形， ∴′＝B＝2， 故答为2． （2）如图②，将△BP 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，E． 由旋转的性质可知：△PBF 是等边三角形， ∴PB＝PF， ∵P＝EF， ∴P+PB+P＝P+PF+EF， ∵P+PF+EF≥E， ∴当P，F 在直线E 上时，P+PB+P 的值最小， 易证B＝BE＝B＝3，∠BE＝90°， ∵EB⊥B， ∴E＝ B＝3 ， ∴P+PB+P 的最小值为3 ． （3）如图③﹣1 中，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG 是等边三角 形， ∴BQ＝QG，PQ＝EG， ∴PQ+BQ+Q＝EG+GQ+Q≥E， ∴E 的值最小时，QP+QB+Q 的值最小， 如图③﹣2 中，延长B 交D 的延长线于，作△D 的外接圆⊙，将线段B，BP 绕点B 逆时针旋转 60°得到线段B′，BE，连接E′，B，P． 易证△BE′≌△BP（SS）， ∴E′＝P， ∵∠PD+∠D＝180°， ∴，P，D，四点共圆， ∴P＝ ， ∴E′＝ ， ∴点E 的运动轨迹是以′为圆心， 为半径的圆，∴当点E 在线段′上时，E 的值最小，最小值 ＝′﹣E′， 连接′，延长′到R，使得′R＝′，连接BR，则∠BR＝90°，作R⊥B 交B 的延长线于，′T⊥于T， M⊥B 于M． 在Rt△BM 中，BM＝5，M＝ ， ∴B＝ ＝ ， ∴BR＝ B＝14， 由△BR∽△MB， ∴ ＝ ， ∴R＝5 ， ∵R∥′T∥M，′＝R′， ∴TM＝T， ∴′T＝ ＝ ， ∴BT＝ ＝3， ∴′＝ ＝ ， ∴′﹣E′＝ ﹣ ＝ ． ∴QP+QB+Q 的最小值为 ． 题组 2 ：费马点在四边形中运用 例2．如图，P 为正方形BD 内的动点，若B＝2，则P+PB+P 的最小值为 ． 【解答】解：将△BP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP''， ∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，△BP≌△BP''， ∴△BPP'是等边三角形，P＝P''，∠PB＝∠P'B'，B＝B'＝2， ∴BP＝PP'， ∴P+PB+P＝P+PP'+P''， ∴当线段P，PP'，P''在一条直线上时，P+PB+P 有最小值，最小值是'的长， 过点'作'E⊥B 交B 的延长线于E， ∵∠BP+∠PBP'+∠P'B'＝60°+∠BP+∠PB＝150°， ∴∠EB'＝30°， ∴E'＝1，BE＝ E'＝ ， ∴E＝2+ ， ∴'＝ ＝ ＝ + ， 故答为： + ． 练21 如图，四边形BD 是正方形，△BE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接B、M、M． （1）求证：△MB≌△EB； （2）若正方形的边长为 ，正方形内是否存在一点P，使得P+PB+P 的值最小？若存在，求出 它的最小值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）如图1，∵四边形BD 为正方形，△BE 为等边三角形， ∴BE＝B，B＝B，∠BE＝60°； ∵∠MB＝60°， ∴BE＝B，∠MB＝∠BE， ∴∠MB＝∠BE； 在△MB 与△EB 中， ， ∴△MB≌△EB（SS）， （2）顺时针旋转△BP60 度，可得△PBE 为等边三角形． 即得P+PB+P＝P+PE+EF 要使最小只要P，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小P+PB+P＝F． BM＝BF•s30°＝B•s30°＝ ， 则M＝ + ＝ ， ∵B＝BF，∠BF＝150° ∴∠BF＝15° 既得F＝ ＝ +1． 例3．如图，在平面直角坐标系xy 中，点B 的坐标为（0，2），点D 在x 轴的正半轴上，∠DB＝ 30°，E 为△BD 的中线，过B、E 两点的抛物线 与x 轴相交于、F 两点（在F 的 左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）等边△M 的顶点M、在线段E 上，求E 及M 的长； （3）点P 为△B 内的一个动点，设m＝P+PB+P，请直接写出m 的最小值，以及m 取得最小值时， 线段P 的长． 【解答】解：（1）过E 作EG⊥D 于G（1 分） ∵∠BD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D， ∴△BD∽△EGD， ∵点B（0，2），∠DB＝30°， 可得B＝2， ； ∵E 为BD 中点， ∴ ∴EG＝1， ∴ ∴点E 的坐标为 （2 分） ∵抛物线 经过B（0，2）、 两点， ∴ ， 可得 ； ∴抛物线的解析式为 ；（3 分） （2）∵抛物线与x 轴相交于、F，在F 的左侧， ∴点的坐标为 ∴ ， ∴在△GE 中，∠GE＝90°， （4 分） 过点作K⊥E 于K， 可得△K∽△EG ∴ ∴ ∴ ∴ ∵△M 是等边三角形， ∴∠M＝60° ∴ ； ∴ ，或 ；（6 分） （写出一个给1 分） （3）如图； 以B 为边做等边三角形′B，以为边做等边三角形B′； 易证E＝B＝2，∠BE＝60°，则△BE 是等边三角形； 连接′、BB′、E，它们的交点即为m 最小时，P 点的位置（即费马点）； ∵＝B′，∠B′B＝∠E＝150°，B＝E， ∴△E≌△B′B； ∴∠B′B＝∠E； ∵∠BP＝∠EP′，而∠BE＝60°， ∴∠PP'＝60°， ∴△PP′为等边三角形， ∴P＝PP′， ∴P+PB+P＝P+P′+P′E＝E； 即m 最小＝E＝ ； 如图；作正△BE 的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BP＝120°，则∠PB+∠BP＝60°，而∠EB＝∠EB＝60°； ∴∠PBE+∠PE＝180°，∠BP+∠BE＝180°； 即B、P、、E 四点共圆； 易求得Q（ ，1），则（ ，0）； ∴＝ ； 由割线定理得：P•E＝•， 即：P＝•÷E＝ × ÷ ＝ ． 故：m 可以取到的最小值为 当m 取得最小值时，线段P 的长为 ． （如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分） 练31 如图，抛物线y＝x2+bx+ 过点（1，0），B（5，0），与y 轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数 图象的垂直距离．如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长．已知点E 为抛物线对称轴上 的一点，且在x 轴上方，点F 为平面内一点，当以，B，E，F 为顶点的四边形是边长为4 的菱形 时，请求出点F 到二次函数图象的垂直距离． （3）在（2）中，当点F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以，B，E，F 为顶点的菱形内 部是否存在点Q，使得Q，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+ 过点（1，0），B（5，0）， ∴0＝+b+ 0＝25+5b+ ∴＝ ，b＝﹣3 ∴解析式y＝ x2﹣3x+ （2）当y＝0，则0＝ x2﹣3x+ ∴x1＝5，x2＝1 ∴（1，0），B（5，0） ∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），B＝4 ∵抛物线与y 轴相交于点． ∴（0， ） 如图1 ①如B 为菱形的边，则EF∥B，EF＝B＝4，且E 的横坐标为3 ∴F 的横坐标为7 或﹣1 ∵E＝B＝4，M＝2，EM⊥B ∴EM＝2 ∴F（7，2 ），或（﹣1，2 ） ∴当x＝7，y＝ ×49﹣7×3+ ＝6 ∴点F 到二次函数图象的垂直距离6﹣2 ②如B 为对角线，如图2 ∵EBF 是菱形，F＝BF＝4 ∴B⊥EF，EM＝MF＝2 ∴F（3，﹣2 ） ∴点F 到二次函数图象的垂直距离﹣2+2 （3）当F（3，﹣2 ）时，点F 到二次函数图象的垂直距离最小 如图3，以BQ 为边作等边三角形BQD，将△BQF 绕B 逆时针旋转60°到△BD 位置，连接，作 P⊥B 于P ∵等边三角形BQD ∴QD＝QB＝BD， ∵将△BQF 绕B 逆时针旋转60°到△BD 位置 ∴B＝BF＝4，∠FB＝60°，D＝FQ ∵Q+BQ+FQ＝Q+QD+D ∴当Q，QD，D 共线时Q+BQ+FQ 的和最短，即最短值为的长． ∵F＝BF＝4＝B， ∴∠BF＝60° ∴∠BP＝60°且B＝4， ∴BP＝2，P＝2 ∴P＝6 在Rt△P 中，＝ ＝4 ∴Q+BQ+FQ 的和最短值为4 ．