高考数学答题技巧题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧（解析版）Word（12页）

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ，（ ，且 ）为奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 ）为奇函数 例1-1．（2023 上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数 ， ，记 的最 大值为 ，最小值为 ，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=4 【法二】M +m=2f (0)=4 1．（2023 下·湖南校考）已知函数 在区间 上的最大值为 最小值为 ，则 . 【答案】 【分析】设函数 ，则 的最大值为 ，最小值为 ，利用 是奇函数可得答案. 【详解】设函数 ，则 的最大值为 ，最小值为 ， ，则 ， 所以 是奇函数，所以 ，所以 ． 故答案为：. 2．（2023 上·重庆校考）函数 ，当 时 的最大值为M，最小值为 N，则 ． 【答案】 【分析】求出 的奇偶性即可得出 的值. 【详解】由题意， 在 中， ， 函数是奇函数， ， 在 中， 当 时 的最大值为M，最小值为N， 故答案为： . 3．（2023 上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数 在区间 上的最大值为M，最小值为N，则 的值为 ． 【答案】8 【分析】化简函数 ，设 ， ，可得函数 在 上为奇函数， 进而得到 ，进而求解即可. 【详解】由 ， 设 ， ， 则 ， 所以函数 在 上为奇函数， 所以 ， 由题意，得 ， 所以 . 故答案为：8. 4．（2023 上·山东统考期中）设函数 的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4046 【分析】化简函数 ，设 ，可得函数 在 上为奇函数，进而得到 ，进而求解即可. 【详解】 ， 设 ，定义域关于原点对称， 由 ，知函数 为奇函数， 因为 ， ， 所以 . 故答案为：4046. 5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的函数 的最大值和最小值之 和为4，则 ． 【答案】2 【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得 ，由函数的奇偶性可知 为奇函数，则 ，进而 ，即可求解. 【详解】当 时， ，当 或 时， ， 所以 的定义域为 . 又 ， 设 ，则 ，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为 N， 则 ，则 的最大数值为 ，最小值为 ， ∴ 的最大值与最小值之和为 ，得 ． 故答案为：2． 6．（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数 的最大值 为 ，最小值为 ，若 ，则 ． 【答案】 【分析】将函数解析式化为 ，设 ，则 ，记 ，则 为奇函数，根据奇函数的性质 及 ，即可求得 的值. 【详解】因为 ， 设 ， 则 ， 设 ， 则 ， 所以 是 上的奇函数，最大值为 ，最小值为 ， 所以 ， 由 ，得 ， 故答案为： 7．（2015 上·宁夏银川·高三阶段练习）已知 分别是函数 的最大值、最 小值，则 ． 【答案】2 【分析】先由和角正弦公式化简 ，令 ，得 是奇函数，再由奇函数的性质即可求 出最值之和. 【详解】由 可得定义域为R， ，令 ，则 ， 则函数 是奇函数，设其最大值为 ，则其最小值为 ，所以 ， ，从 而 ． 故答案为：2. 8．（2022 上·辽宁·联考）已知函数 ，若存在正实数a，使得函数 在 区间 有最大值 及最小值m，则 . 【答案】15 【分析】令 ，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求. 【详解】 令 ，其定义域为 ， ，即 为奇函数，即函数 在区间 上满足 ，所以 ，即 故答案为： 9．（2023 下·黑龙江校考）已知函数 ，若 在区间 上的最 大值和最小值分别为M，N，则函数 的图像的对称中心为 ． 【答案】 / 【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解. 【详解】由题意可知 ， 所以 . 故函数 在定义域内为非奇非偶函数， 令 ，则 ， 所以 在定义域内为奇函数. 设 在 上的最大值为 ，则最小值为 ， 所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ， 所以 . . 因为 ， 所以 图象的对称中心为 . 故答案为： . 10．（2023 上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 . 【答案】2 【分析】构造函数结合函数的奇偶性求值即可. 【详解】 ， 令 ，易知 ， ，即 为奇函数， 所以 结合奇函数性质有 . 故答案为：2 11．（2023 上·安徽·高三校联考）函数 的最大值为 ，最小值 为 ，若 ，则 ． 【答案】1 【分析】将函数解析式边形为 ，设 ，则 ，记 ，由奇函数的定义得出 为奇函数，得出 在 的最 值，结合 ，即可求出 ． 【详解】 ， 设 ，则 ， 记 ， 因为 ， 所以 是在 上的奇函数，最大值为 ，最小值为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 故答案为：1． 12．（2023 下·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知函数 ， 的最大值为 ，最小值为 ，则 . 【答案】 【分析】构造 ，定义判断奇偶性，利用对称性有 ，即可求结果. 【详解】令 ，且 ， ， 所以 为奇函数，且在 上连续， 根据奇函数的对称性： 在 上的最大、最小值关于原点对称， 则 ，故 . 故答案为： 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 例2-1．（全国·高考真题）已知函数 ， ，则 ． 在定义域内为奇函数 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则f(a)+f(-a)可秒解. 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，有f (a)+f (−a)=2 A 即f (a)+f (−a)=2 倍常数 所以f (a)+f (−a)=2倍常数=2，解得 【答案】－2 例2-2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 ，则 ． ， 和 在定义域内为奇函数 所以 2 倍常数=-2 【答案】－2 1．（2023·广西玉林·统考三模）函数 ，若 ，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意可得 ，结合 计算即可求解. 【详解】由题得 ， ∴ ， 所以 ． 故答案为：3. 2．（2023·四川模拟）已知 ，若 ，则 . 【答案】 【分析】令 ，已知 为奇函数，进而根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：令 ，因为 ， 所以函数 为奇函数， 因为 ，即 ，所以 ， 所以 . 故答案为： 3．（2022·上海·高三校考）若定义在R 上的函数 为奇函数，设 ，且 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】根据 为奇函数得到 的对称中心为 ，再结合 得到 的对称中心 为 ，然后利用对称性求 即可. 【详解】由 可得 ，因为 为奇函数，所以 的对称中心为 ，则 的对称中心 为 ，又 ，则 . 故答案为：-5. 4．（2022·青海·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则 ． 【答案】5 【分析】令 ，根据 为奇函数可求出. 【详解】令 ，可得 为奇函数，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 则 . 故答案为：5. 5．（2023 上·上海·交大附中校考）设 （其中a､b､c 为常数， ），若 .则 . 【答案】31 【分析】由已知得 ， ，由此能求出 ． 【详解】 （其中 ， ，为常数， ， ， ， ． 故答案为：31． 6．（2023·四川达州·统考一模）函数 ，且 ，则 的值为 . 【答案】0 【分析】构造 ，得到 为奇函数，从而根据 得到 ，由 求出 . 【详解】令 ， 定义域为 或 且 ，关于原点对称， 则 ， 故 为奇函数， 又 ，故 ， 解得 .