3 将军饮马求最小值1-对称

将军饮马求最值1--对称 内容导航 方法点拨 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： P m A B m A B m A B P m A B A' （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边 形DEB 周长最短 变式二：已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、分别上求点P、Q 点P+PQ+Q 周长最短 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P 与PB 的差最大； （1）点、B 在直线m 同侧： m B A P' P n m A B Q P n m A B P' Q' n m A B Q P n m A B B' Q P n m A B B' A' n m A B m n A B E D m n A B A' B' m n A P Q m n A A" A' 解析：延长B 交直线m 于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’—P’B＜B，而P—PB=B 此时最 大，因此点P 为所求的点。 （2）点、B 在直线m 异侧： 解析：过B 作关于直线m 的对称点B’,连接B’交点直线m 于P,此时PB=PB’，P-PB 最大值为B’ 例题演练 题组 1 ：两定点一动点问题 例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3 与x 轴交于点，在抛物线第一象限的图象上存在一点 B，x 轴上存在一点，使∠B＝90°，＝B，抛物线的顶点为D． （1）求直线B 的解析式； （2）如图2，若点E 是B 上一动点（点、B 除外），连接E，E，当E+E 的值最小时，求△BDE 的面积； 【解答】解：（1）由题意（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3） m B A m A B m A B B' P P' 设（m，0），则B（m，m+1），把点B 坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3， 解得m＝4 或﹣1（舍弃）， ∴（4，0），B（4，5）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则有 ， ∴ ， ∴直线B 的解析式为y＝x+1． （2）如图1 中，如图作点关于直线B 的对称点′，连接′交直线B 于E，连接E、E，此时E+E 的 值最小． ∵（4，0），′关于直线B 对称， ∴′（﹣1，5）， ∴直线′的解析式为y＝﹣5x， 由 ，解得 ， ∴E（﹣ ， ），∵D（1，﹣4）， ∴S△BDE＝9×（4+ ）﹣ ×3×9﹣ ×（1+ ）（4+ ）﹣ ×（4+ ）（5﹣ ）＝125． 练11 如图，已知抛物线y＝ x2+3x﹣8 的图象与x 轴交于，B 两点（点在点B 的右侧），与y 轴 交于点． （1）求直线B 的解析式； （2）点F 是直线B 下方抛物线上的一点，当△BF 的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点 P，使得△BFP 的周长最小，请求出点F 的坐标和点P 的坐标； 【解答】解：（1）对于抛物线y＝ x2+3x﹣8， 令y＝0，得到 x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8 或2， ∴B（﹣8，0），（2，0）， 令x＝0，得到y＝﹣8， ∴（2，0），B（﹣8，0），（0，﹣8）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x﹣8． （2）如图1 中，作F∥y 轴交B 于．设F（m， m2+3m﹣8），则（m，﹣m﹣8） ∴S△FB＝S△FB+S△F＝ •F×8＝4F＝4[（﹣m﹣8）﹣（ m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4） 2+32， ∴当m＝﹣4 时，△FB 的面积有最大值， 此时F（﹣4，﹣12）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣3， 点B 关于对称轴的对称点是，连接F 交对称轴于P，此时△BFP 的周长最小， 设直线F 的解析式为y＝x+b，则有 ， 解得 ， ∴直线F 的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10）， ∴点F 的坐标和点P 的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）． 题组 2 ：两动点一定点问题 例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与直线y＝mx+相交于点（1，8）和点B（5，4）． （1）求抛物线和直线B 的解析式． （2）如图1，直线B 上方的抛物线上有一点P，过点P 作PQ 垂直于B 所在直线，垂足为Q，在 x 轴正半轴和y 轴正半轴上分别有两个动点M 和，连接P，M，MB，BP．当线段PQ 的长度最大 时，求四边形PMB 周长的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+与直线y＝mx+相交于点（1，8）和点B（5，4）． ∴ ， ， 解得 ， ， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y 解析式为＝﹣x+9． （2）如图1 中，设直线B 与x 轴交于点F，与y 轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接 PE、PF、P． 当PQ 最大时，△PEF 的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4） ∵S△PEF＝S△PE+S△PF﹣S△EF＝ ×9×m+ ×9×（﹣m2+5m+4）﹣ ×9×9＝﹣ （m﹣3）2+18， ∵﹣ ＜0，∴m＝3 时，△PEF 的面积最大值为18，此时P（3，10）， 作点P 关于y 轴的对称点P′，B 关于x 轴的对称点B′，连接P′B，与y 轴交于点，与x 轴交于点 M，此时四边形PMB 的周长最小． 理由：四边形PMB 周长＝P+M+MB+PB＝P′+M+MB′+PB＝P′B′+PB， ∵PB 是定长，两点之间线段最短， ∴此时四边形PMB 周长最小． ∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4）， ∴P′B′＝ ＝2 ， ∵PB＝ ＝2 ， ∴四边形PMB 周长的最小值为2 +2 ． 练21 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 ，分别交x 轴于、B 两点，交y 轴交于点，顶点为D． （1）如图1，连接D，R 是抛物线对称轴上的一点，当R⊥D 时，求点R 的坐标； （2）在（1）的条件下．在直线R 上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P 作PQ⊥x 轴，交 直线R 于点Q，点M 是线段PQ 的中点，过点M 作M∥R 交抛物线对称轴于点，当平行四边形 MRQ 周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y 轴上找一点F，使得PE+EF+F 最小，并求此 时点E、F 的坐标． 【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ x2+ x+3 ，令y＝0，得﹣ x2+ x+3 ＝0，解 得x＝﹣2 或6， ∴B（﹣2，0），（6，0）， ∵y＝﹣ x2+ x+3 ＝﹣ （x﹣2）2+4 ， ∴抛物线顶点D 坐标为（2，4 ），对称轴x＝2， 设直线D 的解析式为y＝kx+b 则有 ，解得 ， ∴直线D 的解析式为y＝﹣ x+6 ， ∵R⊥D， ∴直线R 的解析式为y＝ x﹣2 ， ∴点R 坐标（2，﹣ ）． （2）如图1 中，设P（m，﹣ m2+ m+3 ），则Q（m， m﹣2 ），M（m，﹣ m2+ m+ ）， 由（1）可知t∠DB＝ ＝ ， ∴∠DB＝60°，∵∠DQ＝90°， ∴∠BQ＝30°， ∴平行四边形MRQ 周长＝2（﹣ m2+ m+ ﹣ m+2 ）+2（2﹣m）÷s30°＝﹣ m2 ﹣ m+ ， ∴m＝﹣ 时，平行四边形MRQ 周长最大， 此时P（﹣ ， ）， 如图2 中，点P 关于对称轴的对称点为M，点M 关于y 轴的对称点为，连接交y 轴于F，连接 FM 交对称轴于E，此时PE+EF+F 最小． 理由：PE+EF+F＝EM+FE+F＝FM+F＝F+F＝， 根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+F 最小． ∵M（ ， ），（﹣ ， ）， ∴直线的解析式为y＝﹣ x+ ， ∴点F 坐标（0， ）， ∴直线FM 的解析式为y＝ x+ ， ∴点E 坐标（2， ）． 题组 3 ：线段之差的最大值问题 例3．如图，二次函数y＝﹣ x2+2x+1 的图象与一次函数y＝﹣x+1 的图象交于，B 两点，点是二次 函数图象的顶点，P 是x 轴下方线段B 上一点，过点P 分别作x 轴的垂线和平行线，垂足为E， 平行线交直线B 于F． （1）当△PEF 面积最大时，在x 轴上找一点，使|B﹣P|的值最大，求点的坐标和|B﹣P|的最大值； 【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0）， 联立两个函数表达式得 ，解得 ， 即点、B 的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5）， 由抛物线的表达式知，点（2，3）， 由B、的坐标得，直线B 的表达式为y＝﹣2x+7， 当y＝﹣2x+7＝﹣m+1 时，x＝ ，故点F（ ，﹣m+1）， △PEF 面积＝ ×PE•PF＝ ×（m﹣1）（ ﹣m）＝﹣ （m﹣1）（m﹣6）， ∵﹣ ＜0，故△PEF 面积有最大值，此时m＝ （1+6）＝ ， 故点P（ ，﹣ ）， 当P、B、三点共线时，|B﹣P|的值最大，即点为直线B 与x 轴的交点， 故点（1，0）， 则|B﹣P|的最大值＝B﹣P＝BP＝ ＝ ； 练31 已知抛物线ω：y＝﹣ x2﹣x+4 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，D 点为抛物线的顶点， E 为抛物线上一点，点E 的横坐标为﹣5． （1）如图1，连接D、D、E、E，求四边形ED 的面积． （2）如图2，连接E，以B，E 为边作▱EFB，将抛物线与▱EFB 一起先向右平移6 个单位长度， 再向上平移m 个单位长度，得到抛物线′和▱′E′F′B′，在向上平移的过程中▱EFB 与▱′E′F′B′重叠部 分的面积为S，当S 取得最大值时，E′F′与BF 交于点Q，在直线′B′上有两动点P，，且P＝2（P 在的右边），当|PQ﹣|取得最大值时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）令﹣ x2﹣x+4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴（﹣4，0），B（2，0） 当x＝﹣ ＝﹣1 时，y＝ ， 即D（﹣1， ）， 当x＝﹣5 时，y＝ ，即E（﹣5，﹣ ） ∴S 四边形ED＝S△E+S△D＝ •D•（yD﹣yE）＝ ×4×（ ）＝16； （2）如图1，延长FE′交x 轴于点，由平移可知： F（1， ），F⊥x 轴，FE′＝m，F＝ ， ∴B＝1，△FB∽FE′Q， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴E′Q＝ ， 由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形， S 重叠四边形＝E′Q•E′＝ （ ）＝ m2+m， 当m＝ ＝ 时，平行四边形的面积有最大值，此时yQ＝﹣ 当y＝﹣ 时，即Q 是线段FB 的中， ∴xQ＝ ＝ ，即Q（ ， ）． 如图2，作点Q 关于直线′B′的对称点Q′，将线段向右平移两个单位使点与点P 重合，点的对应 点为′， 延长Q′′交直线′B′于点，当P 在点时，|PQ﹣|取得最大值． 则 ＝ ，则Q′（ ， ），′（2，4）， yQ′′＝﹣ ，当y＝ 时，解得x＝ ， 所以当P（ ， ）时，|PQ﹣|取得最大值； 练32 如图1，二次函数y＝ 的图象与x 轴交于，B 两点（点在点B 的右边）， 与y 轴交于点，直线l 是它的对称轴． （1）求直线l 与直线交点的坐标； （2）如图2，在直线上方的抛物线上有一动点P，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D，与直线交 于点E，过点P 作直线的垂线，垂足为点F，当△PEF 的周长最大时，在对称轴l 上找点M，使 得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M 的坐标； 【解答】解：（1）在y＝ 中，令y＝0，则 ＝0，解得： x1＝﹣4，x2＝1 ∴（﹣4，0），B（1，0） 令x＝0，得y＝ ，∴（0， ） 设直线解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ∴直线解析式为y＝ x+ ， ∵直线l 解析式为x＝﹣ ，将x＝﹣ 代入y＝ x+ 中，得y＝ ×（﹣ ）+ ＝ ， ∴直线l 与直线交点的坐标为（﹣ ， ）； （2）∵PD⊥，PF⊥∴∠ED＝∠PFE＝90°； ∵∠PEF＝∠ED∴∠ED＝∠EPF ∵＝ ，＝4∴t∠EPF＝t∠ED＝ ； ∴∠EPF＝30°∴s∠EPF＝ ，s∠EPF＝ ， ∴EG＝ PE，PF＝ PE，∴△PEF 的周长＝PE+PF+EF＝ PE ∴当PE 取得最大值时，△PEF 的周长最大； 设点P（t，﹣ t2﹣ t+ ），则点E（t， t+ ）， ∵点P 在点E 的上方， ∴PE＝﹣ t2﹣ t+ ﹣（ t+ ）＝﹣ t2﹣ t＝﹣ （t+2）2+ ， ∴当t＝﹣2 时，PE 取得最大值，此时△PEF 的周长取得最大值； ∴P（﹣2，2 ），E（﹣2， ）； ∵B（1，0）与（﹣4，0）关于直线l 对称，连接M，P， ∴M＝BM |BM﹣PM|的值最大，即|M﹣PM|的值最大，当P、M、三点共线时，|M﹣PM|＝P 最大， ∵P＝ ＝ ＝4 ∴|BM﹣PM|的最大值＝4； 设直线P 解析式为y＝k′x+b′，将（﹣4，0），P（﹣2，2 ）代入得 解得： ∴直线P 解析式为y＝ x+4 ，令x＝﹣ ，得y＝ ， ∴M（﹣ ， ）； 练33 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 交x 轴于，B 两点（点在点B 的左侧），交y 轴于点，顶点为，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D． （1）求直线B 的解析式； （2）点E（m，0），F（m+2，0）为x 轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x 轴， 交抛物线于点E′，F′，交B 于点M，，当ME′+F′的值最大时，在y 轴上找一点R，使|RF′﹣RE′| 的值最大，请求出R 点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值； 【解答】解：（1）令y＝0，则﹣ x2+ x+3 ＝0， 解方程得：x＝6 或x＝﹣2， ∴（﹣2，0），B（6，0）， 又y＝﹣ x2+ x+3 ＝﹣ （x﹣2）2+4 ， 又顶点（2，4 ）， 设直线B 的解析式为：y＝kx+b，代入B、两点坐标得： ， 解得： ， ∴y＝﹣ x+6 ； （2）如图1， ∵点E（m，0），F（m+2，0）， ∴E′（m，﹣ m2+ m+3 ），F′（m+2，﹣ m2+4 ）， ∴E′M＝﹣ m2+ m+3 ﹣（﹣ m+6 ）＝﹣ m2+2 m﹣3 ， F′＝﹣ m2+4 ﹣（﹣ m+4 ）＝﹣ m2+ m， ∴E′M+F′＝﹣ m2+2 m﹣3 +（﹣ m2+ m）＝﹣ m2+3 m﹣3 ， 当m＝﹣ ＝3 时，E′M+F′的值最大， ∴此时，E′（3， ）F′（5， ）， ∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣ x+ ， ∴R（0， ）， 根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6， ∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；