11 阿氏圆求最小值

阿氏圆求最小值 内容导航 方法点拨 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平 面上两点 、B，则所有满 足 P=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图 1 所示，⊙ 的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙ 上一动点，已知 r=k·B， 连接 P、PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段 B 上截取 使 =k·r，则可说 明△BP 与△P 相似，即 k·PB=P。故本题求 “P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值，其中与 与 为定点,P 为动点，故当 、 P、 三点共线时， “P+P”值最小。如图3 所示： 【破解策略详细步骤解析】 例题演练 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x 的顶点为点 （1）求点的坐标； （2）点B 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，点M 为线段B 的中点，点P 为直线B 下方抛物线上 的一动点．当△PM 的面积最大时，过点P 作P⊥y 轴于点，若在坐标平面内有一动点Q 满足PQ ＝ ，求Q+ Q 的最小值； 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴（﹣2，﹣4）； （2）如图1，过P 作P⊥x 轴交B 于，作PG⊥B 于G，过M 作MD⊥y 轴交y 轴于D， ∵点B 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，∴B（﹣6，12）， ∴直线B 解析式为y＝﹣2x 设P（m，m2+4m），则（m，﹣2m），P＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m ∵点M 为线段B 的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3 ∵P∥y 轴∴∠PG＝∠MD ∵PG⊥B MD⊥y 轴 ∴∠PG＝∠MD∴△PG∽△MD ∴ ＝ ，即 PG•M＝P•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m， ∴S△PM＝ PG•M＝ ﹣9m＝﹣ （m+3）2+ ∵﹣ ＜0，∴当m＝﹣3 时，S△PM的值最大，此时P（﹣3，﹣3）， 在P 上取点T，使得PT＝ ，连接QT，T， ∵P＝3，PQ＝ ∴ ＝ ＝ ∵∠QPT＝∠PQ∴△QPT∽△PQ∴ ＝ ＝ ，即TQ＝ Q， ∴Q+ Q＝Q+TQ≥T ∵T＝ ＝ ＝ ∴Q+ Q 的最小值为 ； 练11 如图1，抛物线y＝x2+（+3）x+3（≠0）与x 轴交于点（4，0），与y 轴交于点B，在x 轴 上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线B 于点，交抛物线于点P，过 点P 作PM⊥B 于点M． （1）求的值和直线B 的函数表达式； （2）设△PM 的周长为1，△E 的周长为2，若 ＝ ，求m 的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段E 绕点逆时针旋转得到E′，旋转角为α（0°＜α＜90°）， 连接E′、E′B，求E′+ E′B 的最小值． 【解答】解：（1）令y＝0，则x2+（+3）x+3＝0， ∴（x+1）（x+3）＝0， ∴x＝﹣1 或﹣ ， ∵抛物线y＝x2+（+3）x+3（≠0）与x 轴交于点（4，0）， ∴﹣ ＝4， ∴＝﹣ ． ∵（4，0），B（0，3）， 设直线B 解析式为y＝kx+b，则 ， 解得 ， ∴直线B 解析式为y＝﹣ x+3． （2）如图1 中， ∵PM⊥B，PE⊥， ∴∠PM＝∠E，∵∠PM＝∠E， ∴△PM∽△E， ∴ ＝ ， ∵E∥B， ∴ ＝ ， ∴＝ （4﹣m）， ∵抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+3， ∴P＝﹣ m2+ m+3﹣（﹣ m+3）＝﹣ m2+3m， ∴ ＝ ， 解得m＝2 或4， 经检验x＝4 是分式方程的增根， ∴m＝2． （3）如图2 中，在y 轴上 取一点M′使得M′＝ ，连接M′，在M′上取一点E′使得E′＝E． ∵E′＝2，M′•B＝ ×3＝4， ∴E′2＝M′•B， ∴ ＝ ，∵∠BE′＝∠M′E′， ∴△M′E′∽△E′B， ∴ ＝ ＝ ， ∴M′E′＝ BE′， ∴E′+ BE′＝E′+E′M′＝M′，此时E′+ BE′最小（两点间线段最短，、M′、E′共线时）， 最小值＝M′＝ ＝ ． 练12 如图1，抛物线y＝x2﹣6x+6（≠0）与x 轴交于点（8，0），与y 轴交于点B，在x 轴上有一 动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线B 于点，交抛物线于点P，过点P 作 PM⊥B 于点M． （1）分别求出直线B 和抛物线的函数表达式． （2）设△PM 的面积为S1，△E 的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m 的值． （3）如图2，在（2）条件下，将线段E 绕点逆时针旋转得到E′，旋转角为α（0°＜α＜90°）， 连接E′、E′B．①在x 轴上找一点Q，使△QE′∽△E′，并求出Q 点的坐标． ②求BE′+ E′的最小值． 【解答】解：（1）把点（8，0）代入抛物线y＝x2﹣6x+6，得64﹣48+6＝0， ∴16＝﹣6，＝﹣ ， ∴y＝﹣ x2+ x+6 与y 轴交点，令x＝0，得y＝6， ∴B（0，6）． 设B 为y＝kx+b 过（8，0），B（0，6）， ∴ ，解得： ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+6． （2）∵E（m，0）， ∴（m，﹣ m+6），P（m，﹣ m2+ m+6）． ∵PE∥B， ∴△E∽△B， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，解得：＝ ． ∵PM⊥B， ∴∠PM＝∠E＝90°． 又∵∠PM＝∠E， ∴△MP∽△E． ∵ ＝ ， ∴ ， ∴PM＝ ＝ × ＝12﹣ m． 又∵PM＝﹣ m2+ m+6﹣6+ m＝﹣ m2+3m， ∴12﹣ m＝﹣ m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4 或m＝8． ∵0＜m＜8， ∴m＝4． （3）①在（2）的条件下，m＝4， ∴E（4，0）， 设Q（d，0）． 由旋转的性质可知E′＝E＝4， 若△QE′∽△E′． ∴ ＝ ． ∵0°＜α＜90°， ∴d＞0， ∴ ＝ ，解得：d＝2， ∴Q（2，0）． ②由①可知，当Q 为（2，0）时， △QE′∽△E′，且相似比为 ＝ ＝ ＝ ， ∴ E′＝QE′， ∴BE′+ E′＝BE′+QE′， ∴当E′旋转到BQ 所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ 长度， ∵B（0，6），Q（2，0）， ∴BQ＝ ＝2 ， ∴BE′+ E′的最小值为2 ． 练13 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+ x+3 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的右 侧），与y 轴交于点，过点作x 轴的平行线交抛物线于点P．连接． （1）求点P 的坐标及直线的解析式； （2）如图2，过点P 作x 轴的垂线，垂足为E，将线段E 绕点逆时针旋转得到F，旋转角为α （0°＜α＜90°），连接F、F．求F+ F 的最小值； 【解答】解：（1）在抛物线y＝ x2+ x+3 中， 当x＝0 时，y＝3， ∴（0，3）， 当y＝3 时，x1＝0，x2＝2， ∴P（2，3）， 当y＝0 时，x1＝﹣4，x2＝6， B（﹣4，0），（6，0）， 设直线的解析式为y＝kx+3， 将（6，0）代入， 得，k＝﹣ ， ∴y＝﹣ x+3， ∴点P 坐标为P（2，3），直线的解析式为y＝﹣ x+3； （2）在上取点（0， ），连接F，， 则＝ ，＝ ＝ ＝ ， ∵ ＝ ＝ ， ＝ ，且∠F＝∠F， ∴△F∽△F， ∴ ＝ ， ∴F＝ F， ∴F+ F＝F+F≥＝ ， ∴F+ F 的最小值为 ； 练14 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5 与x 轴，y 轴分别交于，两点，抛物线y＝ x2+bx+经过，两点，与x 轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接M、MB、B，当点M 运动到某一位置时，四边形 MB 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形MB 的面积； （3）如图2，若P 点是半径为2 的⊙B 上一动点，连接P、P，当点P 运动到某一位置时，P+ P 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0 时，y＝5 ∴（0，5） y＝﹣5x+5＝0 时，解得：x＝1 ∴（1，0） ∵抛物线y＝x2+bx+经过，两点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5 当y＝x2﹣6x+5＝0 时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0） （2）如图1，过点M 作M⊥x 轴于点 ∵（1，0），B（5，0），（0，5） ∴B＝5﹣1＝4，＝5 ∴S△B＝ B•＝ ×4×5＝10 ∵点M 为x 轴下方抛物线上的点 ∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴M＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5 ∴S△BM＝ B•M＝ ×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8 ∴S 四边形MB＝S△B+S△BM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18 ∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形MB 面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M 是抛物线的顶点时，面积最大求解） （3）如图2，在x 轴上取点D（4，0），连接PD、D ∴BD＝5﹣4＝1 ∵B＝4，BP＝2 ∴ ∵∠PBD＝∠BP ∴△PBD∽△BP ∴ ＝ ＝ ， ∴PD＝ P ∴P+ P＝P+PD ∴当点、P、D 在同一直线上时，P+ P＝P+PD＝D 最小 ∵D＝ ∴P+ P 的最小值为 练15 如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（ ，0），B 两点（点B 在点的左侧），与y 轴交于点， 且B＝3＝ ，∠的平分线D 交y 轴于点D，过点且垂直于D 的直线l 交y 轴于点E，点P 是x 轴 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF⊥x 轴，垂足为F，交直线D 于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 的横坐标为m，当F＝P 时，求m 的值； （3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点为圆心， 为半径作⊙，点Q 为⊙上的一个动点，求 Q+EQ 的最小值． 【解答】解：（1）由题意（ ，0），B（﹣3 ，0），（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝（x+3 ）（x﹣ ）， 把（0，﹣3）代入得到＝ ． 故抛物线的解析式为y＝ x2+ x﹣3． （2）在Rt△中，t∠＝ ＝ ， ∴∠＝60°， ∵D 平分∠， ∴∠D＝30°， ∴D＝•t30°＝1， ∴D（0，﹣1）， ∴直线D 的解析式为y＝ x﹣1， 由题意P（m， m2+ m﹣3），（m， m﹣1），F（m，0）， ∵F＝P， ∴1﹣ m＝ m﹣1﹣（ m2+ m﹣3） 解得m＝﹣ 或 （舍弃）， ∴当F＝P 时，m 的值为﹣ ． （3）如图，∵PF 是对称轴， ∴F（﹣ ，0），（﹣ ，﹣2）， ∵⊥E， ∴∠E＝60°， ∴E＝ ＝3， ∴E（0，3）， ∵（0，﹣3）， ∴＝ ＝2，＝2F＝4， ∴Q＝ ＝1， 在上取一点K，使得K＝ ，此时K（﹣ ，﹣ ）， ∵Q2＝1，K•＝1， ∴Q2＝K•， ∴ ＝ ， ∵∠QK＝∠Q， ∴△QK∽△Q， ∴ ＝ ＝ ， ∴KQ＝ Q， ∴ Q+QE＝KQ+EQ， ∴当E、Q、K 共线时， Q+QE 的值最小，最小值＝ ＝ ．