中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与最值、定值相关的压轴题 方法提炼： 1、已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点、，求M+M 最小值的问题，我们只需 做出点关于这条直线的对称点B，将点与B 连接起来交直线与点M，那么B 就是M+M 的最 小值。同理，我们也可以做出点关于这条直线的对称点’，将点与’连接起来交直线与点 M，那么’就是M+M 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 2、 初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边 之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求 第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。 典例引领： 8．已知抛物线：y＝x2﹣2x+经过点（1，2），与x 轴交于（﹣1，0）、B 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线y＝ （2）如图1，直线y＝ x 交抛物线于S、T 两点，M 为抛物线上、T 之间的动点，过M 点作ME⊥x 轴于点E，MF⊥ST 于点F，求ME+MF 的最大值； （3）如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4 交抛物线1于 P、Q 两点，在抛物线1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D 的坐标． 分析：（1）利用待定系数法即可得出结论； （2）先确定出ME，MF 与t 的关系，最后建立ME+MF

线段之差最值问题 内容导航 方法点拨 （1）在直线l 同侧有两点、B，在直线L 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （2）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （3）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最小． （1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 例题演练 1．如图，抛物线y＝﹣ 时，p2+22＝5，解得p＝±1． ∴x 轴上存在符合条件的点P，其坐标为（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（1，0）． （3）∵|P﹣PB|≤B， ∴当、B、P 三点共线时，可得P﹣PB 的最大值，这个最大值等于B，此时点P 是直线B 与x 轴 的交点． 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则： ，解得 ． ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 当y＝﹣ x+2＝0 时，解得x＝4． ∴当P﹣PB （2）点E（m，0），F（m+2，0）为x 轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x 轴， 交抛物线于点E′，F′，交B 于点M，，当ME′+F′的值最大时，在y 轴上找一点R，使|RF′﹣RE′| 的值最大，请求出R 点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值； （3）如图2，已知x 轴上一点P（ ，0），现以P 为顶点，2 为边长在x 轴上方作等边三角 形QPG，使GP⊥x 轴，现将△QPG 沿P

最值问题隐圆模型（全国通用） 一、单选题 1．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B，B＝4m，D 是中线，点E、F 同时从点D 出发，以相 同的速度分别沿D、DB 方向移动，当点E 到达点时，运动停止，直线E 分别与F、B 相交 于G、，则在点E、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ） ．2 B．π ．2π D． π 【答】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：如图， 边上的一个动点， 连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是 （ ） ．1 B． ．2 D． 【答】 【解析】 【分析】 由∠E＝90°知，点E 在以为直径的⊙M 的 上（不含点、可含点），从而得BE 最短时， 即为连接BM 与⊙M 的交点（图中点E′点），BE 长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】 如图， 由题意知， ， 在以 为直径的 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ， 最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点）， 在 中， ， ，则 ． ， 长度的最小值 ， 故选： ． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时， 注意辅助线的作法． 4．如图，菱形BD 的边B=8，∠B=60°，BP=3，Q 是D 边上一动点，将梯形PQD 沿直线 PQ 折叠，的对应点为′．当′的长度最小时，Q

中考数学几何模型：胡不归最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P+PB 最值，除此之外我们还 可能会遇上形如“P+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不 归问题；（2）阿氏圆． 【故事介绍】 从前有个少年外出求学 为定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A 【问题分析】 ，记 ，即求B+k 的最小值． 【问题解决】 构造射线D 使得s∠D=k，即 ，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值， 即B+k 最小． M N N C B A α D H 【模型总结】 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型 问题转化为“P+P”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角 函数得到kPB 的等线段． 典题探究 启迪思维 探究重点

中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练 二次函数与面积的最值定值问题 【真题再现】 1．（2020 年宿迁中考第28 题）二次函数y＝x2+bx+3 的图象与x 轴交于（2，0），B（6， 0）两点，与y 轴交于点，顶点为E．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标； （2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过 中点Q，连接Q， QE，E，当△EQ 的面积为12 时，求点P 的坐标． 【分析】（1）由于二次函数的图象与x 轴交于（2，0）、B（6，0）两点，把，B 两点 坐标代入y＝x2+bx+3，计算出的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E 点坐标； （2）由线段垂直平分线的性质可得出B＝D，设D（4，m），由勾股定理可得42+（m 3 ﹣）2＝62+32．解方程可得出答； （3 ）设Q 交抛物线的对称轴于点M 的解析式为y＝kx+3，则1 8 n 2−n+ 3 2=1 2k+3．解得k ¿ 1 4 n−2−3 n，求出M（4，﹣5−12 n ），ME＝﹣4−12 n ．由面积公式可求出的值．则可 得出答． 【解析】（1）将（2，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+3， 得{ 4 a+2b+3=0 36a+6b+3=0， 解得{ a= 1 4 b=−2 ∴二次函数的解析式为y¿

长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的 中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 【抽象模型】如图，在直线上找一点P 使得P+PB 最小？ P B A 【模型解析】作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 段最短） 专题2 几何最值之将军饮马问题 知识导航 方法技巧 折点 端点 A' P B A 题型一：两定一动模型 模型 作法 结论 l B A 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使P＋PB 最小． l P A B 连接B 交直线l 于点P，点P 即为所求作的点． P＋PB 的最小值为B l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 关于直线l 的对称点 B'， 连接B'交直线l 于点P，点P 即为所求作的点． P＋PB 的最小值为B' l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得 最大． l P A B 连接B 并延长交直线l 于点 P，点P 即为所求作的点． 的最大值为B 题型精讲 l A B 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P，使得 最大．

将军饮马模型与最值问题 【模型引入】 什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】 如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使 得路程最短？ A B 将军 军营 河 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P 使得P+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需 转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 折点 端点 A' P 和点分别是射线和射线B 上的动点，则△PM 周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PM 周长即PM+P+M 的最小值，此处M、均为折点，分别作点P 关于B、对称点 P’、P’’，化PM+P+M 为P’+M+P’’M． P' P'' N M A B O P 当P’、、M、P’’共线时，得△PM 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接P’、P’’，可得

分类讨论二次函数最值 1．如图，函数 的图象经过点 ， 两点， ， 分别是方程 的两个实数根，且 ． （Ⅰ）求 ， 的值以及函数的解析式； （Ⅱ）设抛物线 与 轴的另一个交点为 ，抛物线的顶点为 ，连接 ， ， ， ．求证： ； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数 ， （1）当 时，求函数 的最大值和最小值； （2）设函数 在 内的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求的值． 【分析】 首先解方程求得 的坐标，根据两点的距离公式可得 三边的长，根据勾股定理的逆定理可得 ，根据边长可得 和 两直角边的比相等，则两直角三角形相似； （1）确定抛物线的对称轴是 ，根据增减性可知： 时， 有最大值，当 时， 有最小值； （2）分5 种情况：①当函数 在 内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当 时；③当函数 在 内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当 时，⑤函数 在 内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 内的抛物线完全在对称轴的左侧，当 时取得最小值 ，最大值 ， 令 ，即 ，解得 ． ②当 时，此时 ， ，不合题意，舍去； ③当函数 在 内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时 ，令 ，即 解得： （舍 ， （舍； 或者 ，即 （不合题意，舍去）； ④当 时，此时 ， ，不合题意，舍去； ⑤当函数 在 内的抛物线完全在对称轴的右侧，当 时取得最大值 ，最小值 ， 令 ，解得 ． 综上， 或

在求形如“PB+kP”的式子的最值问题中，关键是构造与kP 相等的线段，将“PB+kP”型问 题转化为“PB+P”型． 而这里的P 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP 的等线段． 【问题】 如图，点P 为射线l 上的一动点，、B 为定点，求PB+kP 的最小值 【问题解决】 构造射线D 使得sα=k，P/P=k，P=kP． l 将问题转化为求PB+P 最小值，过B 点作B⊥D 点作B⊥D 交l 于点P，交D 于点，此时PB+P 取到最 小值，即PB+kP 最小． 【例1】．如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 D+ BD 的最小值是 4 ． 模型介绍 例题精讲 D 解：如图，作D⊥B 于，M⊥B 于M． ∵BE⊥， ∴∠EB＝90°， t ∵＝ ＝2，设E＝，BE＝2， 则有：100＝2+42， ∴D+ BD＝D+D， ∴D+D≥M， ∴D+ BD≥4 ， ∴D+ BD 的最小值为4 ． 故答为4 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，则B＝2B．请在这一结论的基础上 继续思考：若＝2，点D 是B 的中点，P 为边D 上一动点，则P+ P 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 解：过作E⊥B 于E，过点P 作PF⊥E 于F，

题型六几何最值（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两 边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中， 直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距 离最长根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决 几何最值问题的高效手段 几何最值问题的高效手段 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存 在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变， 而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经， 以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法 考点01 胡不归 胡不归模型问题解题步骤如下； 为定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值， 即B+k 最小． 1 更多资料添加微信号：DEM2008