5 将军饮马模型与最值问题

将军饮马模型与最值问题 【模型引入】 什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】 如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使 得路程最短？ A B 将军 军营 河 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P 使得P+PB 最小？ P B A 这个问题的难点在于P+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需 转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 折点 端点 A' P B A 【模型展示】 【模型】一、两定一动之点点 在、B 上分别取点M、，使得△PM 周长最小． M N P'' P' N M B A P O O P A B 此处M、均为折点，分别作点P 关于（折点M 所在直线）、B（折点所在直线）的对称点， 化折线段PM+M+P 为P’M+M+P’’，当P’、M、、P’’共线时，△PM 周长最小． 【精典例题】如图，点P 是∠B 内任意一点，∠B=30°，P=8，点M 和点分别是射线和射线B 上的动点，则△PM 周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PM 周长即PM+P+M 的最小值，此处M、均为折点，分别作点P 关于B、对称点 P’、P’’，化PM+P+M 为P’+M+P’’M． P' P'' N M A B O P 当P’、、M、P’’共线时，得△PM 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接P’、P’’，可得 △P’P’’为等边三角形，所以P’P’’=P’=P=8． P O B A M N P'' P' 【模型】二、两定两动之点点 在、B 上分别取点M、使得四边形PMQ 的周长最小。 Q' P' M N B A P O Q Q O P A B N M 考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM+M+Q 最小值即可，类似，分别作点P、Q 关于、B 对称，化折线段PM+M+Q 为P’M+M+Q’，当P’、M、、Q’共线时，四边形PMQ 的周长最 小。 【模型】三、一定两动之点线 在、B 上分别取M、使得PM+M 最小。 P' M N B A P O O P A B N M 此处M 点为折点，作点P 关于对称的点P’，将折线段PM+M 转化为P’M+M，即过点P’作 B 垂线分别交、B 于点M、，得PM+M 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上一个动 点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【详解】 在 中， ，D 是 的中线，可得点B 和点D 关于直线D 对称，连结 E，交D 于点P，此时 最小，为E 的长，故选B 2、如图，在正方形BD 中，E 是B 上一点，BE＝2，B＝8，P 是上一动点，则PB+PE 的最 小值_____． 【答】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交于点P，此时PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形BD 为正方形，且BE＝2，B＝8， ∠ ∴ DB＝90°，D＝B＝8，E＝B-BE＝6， 在Rt△DE 中，根据勾股定理，得 DE＝ ＝ ＝10． ∴PB+PE 的最小值为10． 故答为10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 交 轴于点 ， 轴，反比 例函数 的图象经过点 ，点 的坐标为 ， ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点 为 轴上一动点，当 的值最小时，求出点 的坐标． 【答】（1） ；（2） 【详解】 解：（1）∵ 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ，即 把点 代入的 得， ∴反比例函数的解析式为： ． 答：反比例函数的解析式为： ． （2）过点 作 垂足为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 则点 关于 轴的对称点 ，直线 与 轴的交点就是所求点 ，此时 最小， 设直线B1的关系式为 ，将 , ，代入得， 解得： ， ， ∴直线 的关系式为 ， 当 时， ， ∴点 答：点 的坐标为 ． 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+与x 轴交于（﹣1，0）B（3，0）两点， 与y 轴交于点，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在y 轴上找一点M，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点，P，为顶点，为直角边的三角形是直角 三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）抛物线解析式为y= x ﹣ 2+2x+3；直线的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为 （0，3）； （3）符合条件的点P 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）， 【详解】 解：（1）设抛物线解析式为y=（x+1）（x 3 ﹣）， 即y=x2 2x 3 ﹣ ﹣， ∴ 2=2 ﹣ ，解得= 1 ﹣， ∴抛物线解析式为y= x ﹣ 2+2x+3； 当x=0 时，y= x ﹣ 2+2x+3=3，则（0，3）， 设直线的解析式为y=px+q， 把（﹣1，0），（0，3）代入得 ，解得 ， ∴直线的解析式为y=3x+3； （2）∵y= x ﹣ 2+2x+3=﹣（x 1 ﹣）2+4， ∴顶点D 的坐标为（1，4）， 作B 点关于y 轴的对称点B′，连接DB′交y 轴于M，如图1，则B′（﹣3，0）， ∵MB=MB′， ∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD 的值最小， 而BD 的值不变， ∴此时△BDM 的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0 时，y=x+3=3， ∴点M 的坐标为（0，3）； （3）存在． 过点作的垂线交抛物线于另一点P，如图2， ∵直线的解析式为y=3x+3， ∴直线P 的解析式可设为y=﹣ x+b， 把（0，3）代入得b=3， ∴直线P 的解析式为y=﹣ x+3， 解方程组 ，解得 或 ，则此时P 点坐标为（ ， ）； 过点作的垂线交抛物线于另一点P，直线P 的解析式可设为y=﹣ x+b， 把（﹣1，0）代入得 +b=0，解得b=﹣ ， ∴直线P 的解析式为y=﹣ x﹣ ， 解方程组 ，解得 或 ，则此时P 点坐标为（ ，﹣ ） 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ） 5、如图1（注：与图2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 , , ． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2） 是抛物线对称轴上的一点，求满足 的值为最小的点 坐标（请在图1 中 探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点 ，使四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形？若存在，请求出点 坐标，若不存在请说明理由（请在图2 中探索） 【答】（1） ，函数的对称轴为： ；（2）点 ；（3）存在， 点 的坐标为 或 ． 【详解】 解： 根据点 , 的坐标设二次函数表达式为： ， ∵抛物线经过点 ， 则 ，解得： ， 抛物线的表达式为： ， 函数的对称轴为： ； 连接 交对称轴于点 ，此时 的值为最小， 设B 的解析式为： ， 将点 的坐标代入一次函数表达式： 得： 解得： 直线 的表达式为： ， 当 时， ， 故点 ； 存在，理由： 四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形， 则 ， 点 在第四象限，故：则 ， 将该坐标代入二次函数表达式得： ， 解得： 或 ， 故点 的坐标为 或 ． 题型二 将军饮马中一定两动模型与最值问题 【专题说明】 一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点 （或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。 【模型展示】 【模型】三、一定两动之点线 在、B 上分别取M、使得PM+M 最小。 P' M N B A P O O P A B N M 此处M 点为折点，作点P 关于对称的点P’，将折线段PM+M 转化为P’M+M，即过点P’作 B 垂线分别交、B 于点M、，得PM+M 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】 1、如图，在边长为的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移 得到 ，分别连接 ， ， 则 的最小值为____ 【答】 【详解】 如图，过点作BD 的平行线，以为对称轴作B 点的对称点 ，连接 交直线于点 根据平移和对称可知 ，当 三点共线时 取最小 值，即 ，又 ， 根据勾股定理得， ，故答为 2、点P 是定点，在、B 上分别取M、，使得PM+M 最小。 P' M N B A P O O P A B N M 【解法】作点P 关于对称的点P’，将折线段PM+M 转化为P’M+M，即过点P’作B 垂线分 别交、B 于点M、，得PM+M 最小值（垂线段最短） 3、点P 是定点，在、B 上分别取点M、，使得△PM 周长最小． M N P'' P' N M B A P O O P A B 【解法】分别作点P 关于（折点M 所在直线）、B（折点所在直线）的对称点，化折线段 PM+M+P 为P’M+M+P’’，当P’、M、、P’’共线时，△PM 周长最小． 3、如图，抛物线y=x2 5x+ ﹣ 与坐标轴分别交于点，，E 三点，其中（﹣3，0），（0， 4），点B 在x 轴上，=B，过点B 作BD⊥x 轴交抛物线于点D，点M，分别是线段，B 上 的动点，且M=B，连接M，M，． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）当△M 是直角三角形时，求点M 的坐标； （3）试求出M+的最小值． 【答】（1）抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4；D 点坐标为（3，5）；（2）M 点的坐标为 （0， ）或（0， ）；（3）M+的最小值为 ． 【详解】 （1）把（﹣3，0），（0，4）代入y=x2 5x+ ﹣ 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4； ∵=B，⊥B， ∴B==3， ∴B（3，0）， ∵BD⊥x 轴交抛物线于点D， ∴D 点的横坐标为3， 当x=3 时，y=﹣ ×9+ ×3+4=5， ∴D 点坐标为（3，5）； （2）在Rt△B 中，B= =5， 设M（0，m），则B=4 m ﹣，=5﹣（4 m ﹣）=m+1， ∠ ∵ M=∠B， ∴当 时，△M∽△B，则∠M=∠B=90°， 即 ，解得m= ，此时M 点坐标为（0， ）； 当 时，△M∽△B，则∠M=∠B=90°， 即 ，解得m= ，此时M 点坐标为（0， ）； 综上所述，M 点的坐标为（0， ）或（0， ）； （3）连接D，D，如图， ∵=B，⊥B， ∴平分∠B， ∠ ∴ =∠B， ∵BD∥， ∠ ∴ B=∠DB， ∵DB=B==5，M=B， △ ∴M △ ≌DB， ∴M=D， ∴M+=D+， 而D+≥D（当且仅当点、、D 共线时取等号）， ∴D+的最小值= ， ∴M+的最小值为 ． 4、如图，在正方形BD 中，点E，F 分别是边D，B 的中点，连接DF，过点E 作E⊥DF， 垂足为，E 的延长线交D 于点G． （1）猜想DG 与F 的数量关系，并证明你的结论； （2）过点作M∥D，分别交D，B 于点M，，若正方形BD 的边长为10，点P 是M 上一点， 求△PD 周长的最小值． 【答】（1）结论：F=2DG，理由见解析；（2）△PD 的周长的最小值为10+2 ． 【详解】 （1）结论：F=2DG． 理由：∵四边形BD 是正方形， ∴D=B=D=B，∠D=∠=90°， ∵DE=E， ∴D=D=2DE， ∵EG⊥DF， ∠ ∴ DG=90°， ∠ ∴ DF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°， ∠ ∴ DF=∠DEG， △ ∴DEG∽△DF， ∴ = = ， ∴F=2DG． （2）作点关于M 的对称点K，连接DK 交M 于点P，连接P， 此时△PD 的周长最短．周长的最小值=D+PD+P=D+PD+PK=D+DK． 由题意：D=D=10，ED=E=5，DG= ，EG= ，D= = ， ∴E=2D=2 ， ∴M= =2， ∴DM==K= =1， 在Rt△DK 中，DK= = =2 ， △ ∴PD 的周长的最小值为10+2 ． 5、如图，在正方形BD 中，B=9，点E 在D 边上，且DE=2E，点P 是对角线上的一个动点， 则PE+PD 的最小值是（ ） ． B． ．9 D． 【答】 【详解】 解：如图，连接BE，设BE 与交于点P′，∵四边形BD 是正方形，∴点B 与D 关于对称， ∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE 最小．即P 在与BE 的交点上时，PD+PE 最小，为BE 的长度．∵直角△BE 中，∠BE=90°，B=9，E= D=3，∴BE= = ．故选． 6、如图，∠B 的边B 与x 轴正半轴重合，点P 是上的一动点，点（3，0）是B 上的一定点， 点M 是的中点，∠B=30°，要使PM+P 最小，则点P 的坐标为______． 【答】（ ， ）． 【详解】 解：作关于的对称点′，连接′M 交于P，则此时，PM+P 最小，∵垂直平分′，∴=′， ∠′=2∠=60°，∴△′是等边三角形，∵点M 是的中点，∴′M⊥，∵点（3，0），∴=3，∵点M 是 的中点，∴M=15，∴PM= ，∴P（ ， ）．故答为：（ ， ）． 题型三 将军饮马中两定两动模型与最值问题 【专题说明】 运用平移变换，把保持平移后的线段与原来线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两线段移动到 具有公共端点的新位置，从而转化为两点之间线段最短问题求解最值。 【模型展示】 【模型】二、两定两动之点点 在、B 上分别取点M、使得四边形PMQ 的周长最小。 Q' P' M N B A P O Q Q O P A B N M 考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM+M+Q 最小值即可，类似，分别作点P、Q 关于、B 对称，化折线段PM+M+Q 为P’M+M+Q’，当P’、M、、Q’共线时，四边形PMQ 的周长最 小。 【精典例题】 1、如图所示抛物线 过点 ，点 ，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小值； （3）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3∶5 两部分， 求点 的坐标 【答】（1） ，对称轴为直线 ；（2）四边形 的周长最小值 为 ；（3） 【详解】 （1）∵B=，∴点B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y=（x+1）（x-3）=（x2-2x-3）=x2-2x-3， 故-3=3，解得：=-1， 故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①； 对称轴为：直线 （2）DE 的周长=+DE+D+E，其中= 、DE=1 是常数， 故D+E 最小时，周长最小， 取点关于函数对称点（2，3），则D=′D， 取点′（-1，1），则′D=E， 故：D+E=′D+D′，则当′、D、′三点共线时，D+E=′D+D′最小，周长也最小， 四边形DE 的周长的最小值=+DE+D+E= +1+′D+D′= +1+′′= +1+ ； （3）如图，设直线P 交x 轴于点E， 直线P 把四边形BP 的面积分为3：5 两部分， 又∵S△PB：S△P= EB×（y-yP）： E×（y-yP）=BE：E， 则BE：E，=3：5 或5：3， 则E= 或 ， 即：点E 的坐标为（ ，0）或（ ，0）， 将点E、的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6 或-2， 故直线P 的表达式为：y=-2x+3 或y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4 或8（不合题意值已舍去）， 故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 2、如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，若 为 边 上的两个动点，且 ，若想使得四边形 的周长最小，则 的长度应为_____ _____ 【答】 【详解】 解：如图，在D 上截取线段F=DE=2，作F 点关于B 的对称点G，连接EG 与B 交于一点 即为Q 点，过点作FQ 的平行线交B 于一点，即为P 点，过G 点作B 的平行线交D 的延长 线于点． ∵E 为D 的中点，∴E=2 ∴G=DF=5，E=2+4=6，∠=90°， ∵B//G ∴ , ∴ , ∴ ， ∴Q= ， ∴BP=B-PQ-Q=7-2- ． 故答为 ． 3、如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P 到直线l1的距离为6，点Q 到直线l2 的距离为4，PQ=4√30 ，在直线l1上有一动点，直线l2上有一动点B，满足B⊥l2，且 P+B+BQ 最小，此时P+BQ=______． 【答】16． 【详解】 作PE⊥l1于E 交l2于F，在PF 上截取P=8，连接Q 交l2于B，作B⊥l1于，此时P+B+BQ 最 短．作QD⊥PF 于D．在Rt△PQD 中，∵∠D=90°，PQ= ，PD=18，∴DQ= = ，∵B=P=8，B∥P，∴四边形BP 是平行四边形，∴P=B，D=10， ∴P+BQ=B+BQ=Q= = =16．故答为16． 4、如图，在Rt△B 中，∠B=90°，=6．B=12，D 平分∠B，点F 是的中点，点E 是D 上的动 点，则E+EF 的最小值为( ) E A F C D B ．3 B．4 ．3 3 D．2 3 【分析】此处E 点为折点，可作点关于D 的对称，对称点’在B 上且在B 中点，化折线段 E+EF 为’E+EF，当’、E、F 共线时得最小值，’F 为B 的一半，故选． C' A F E C D B 5、如图，在锐角三角形B 中，B=4，∠B=60°， BD 平分∠B，交于点D，M、分别是BD，B 上的动点，则M+M 的最小值是( ) N M D C B A ． 3 B．2 ．2 3 D．4 【分析】此处M 点为折点，作点关于BD 的对称点，恰好在B 上，化折线M+M 为M+M’． N' A B C D M N 因为M、皆为动点，所以过点作B 的垂线，可得最小值，选． N