49 分类讨论二次函数最值

分类讨论二次函数最值 1．如图，函数 的图象经过点 ， 两点， ， 分别是方程 的两个实数根，且 ． （Ⅰ）求 ， 的值以及函数的解析式； （Ⅱ）设抛物线 与 轴的另一个交点为 ，抛物线的顶点为 ，连接 ， ， ， ．求证： ； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数 ， （1）当 时，求函数 的最大值和最小值； （2）设函数 在 内的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求的值． 【分析】 首先解方程求得 、 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解 析式即可； 根据解方程直接写出点 的坐标，然后确定顶点 的坐标，根据两点的距离公式可得 三边的长，根据勾股定理的逆定理可得 ，根据边长可得 和 两直角边的比相等，则两直角三角形相似； （1）确定抛物线的对称轴是 ，根据增减性可知： 时， 有最大值，当 时， 有最小值； （2）分5 种情况：①当函数 在 内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当 时；③当函数 在 内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当 时，⑤函数 在 内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 【解答】 解： ， 分别是方程 的两个实数根，且 ， 用因式分解法解方程： ， ， ， ， ， ， ， 把 ， 代入得， ，解得 ， 函数解析式为 ． 证明：令 ，即 ， 解得 ， ， 抛物线 与 轴的交点为 ， ， ， ， 对称轴为 ，顶点 ，即 ， ， ， ， ， 是直角三角形，且 ， ， 在 和 中， ， ， ， ； 解：抛物线 的对称轴为 ，顶点为 ， （1）在 范围内， 当 时， ；当 时， ； （2）①当函数 在 内的抛物线完全在对称轴的左侧，当 时取得最小值 ，最大值 ， 令 ，即 ，解得 ． ②当 时，此时 ， ，不合题意，舍去； ③当函数 在 内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时 ，令 ，即 解得： （舍 ， （舍； 或者 ，即 （不合题意，舍去）； ④当 时，此时 ， ，不合题意，舍去； ⑤当函数 在 内的抛物线完全在对称轴的右侧，当 时取得最大值 ，最小值 ， 令 ，解得 ． 综上， 或 ． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的 解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等 知识，注意运用分类讨论的思想解决问题． 2．在平面直角坐标系 中，函数 和 的图象关于 轴对称，它们与直线 分 别相交于点 ， ． （1）如图，函数 为 ，当 时， 的长为 4 ； （2）函数 为 ，当 时，的值为 ； （3）函数 为 ， ①当 时，求 的面积； ②若 ，函数 和 的图象与 轴正半轴分别交于点 ， ，当 时， 设函数 的最大值和函数 的最小值的差为 ，求 关于 的函数解析式，并直接写出自 变量 的取值范围． 【分析】（1）根据 和 关于 轴对称得出 的解析式，求出 、 两点坐标，即可得 到 ； （2）根据 和 关于 轴对称得出 的解析式，求出 、 两点坐标，根据 得出 方程，解出值即可； （3）①根据 和 关于 轴对称得出 的解析式，将 代入解析式，求出 、 两 点坐标，从而得出 的面积； ②根据题意得出两个函数的解析式，再分当 时，当 时，当 时，三种情 况，分析两个函数的增减性，得出最值，相减即可． 【解答】解：（1） ， 和 关于 轴对称， ， 分别令 ，则 ， ， ， ， ， 故答为：4； （2） ， 可得： ， ，可得： ， ， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解， 故答为：1； （3）① ， ， ，分别代入 ， ， 可得： ， ， ， ， ， ； ② 函数 和 的图象与 轴正半轴分别交于点 ， ， 而函数 和 的图象关于 轴对称， 函数 的图象经过 和 ， 设 ， 则 ， 的图象的对称轴是直线 ，且 ， ， ，则 ， ， 而 的图象在 时， 随 的增大而减小， 当 时， 的图象 随 的增大而增大， 的图象 随 的增大而减小， 当 时， 的最大值为 ， 的最小值为 ， 则 ， 又 ， ； 当 时， 的最大值为 ， 的图象 随 的增大而减小， 的最小值为： ， 则 ， 又 ， ， 当 时， 的图象 随 的增大而减小， 的图象 随 的增大而减小， 当 时， 的最大值为 ， 当 时， 的最小值为 ， 则 ， 又 ， ； 综上： 关于 的解析式为： ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，以及二次函数的图象与 性质，二次函数的最值，解题的关键是要理解题意，尤其（3）问中要读懂题干，结合图象 进行分析求解． 3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 在 的右侧），且经过点 和点 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 ，经过点 的直线与线段 交于点 ，与抛物线交于另一点 ．连接 ， ， ， 的面积与 的面积之比为 ，点 为直线上方抛物线上的 一个动点，设点 的横坐标为．当为何值时， 的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线 上，当 时， 的取值范围是 ，求 的取 值范围．（直接写出结果即可） 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1 中，过点 作 于 ，过点 作 于 ．利用平行线分线段 成比例定理求出点 的坐标，求出直线 的解析式，构建方程组确定点 的坐标，过点 作 轴交 于 ，设 则 ，再构建二次函数，利用 二次函数的性质解决问题即可． （3）求出 或16 时，自变量 的值，利用图象法确定 ， 的值即可． 【解答】解：（1）把 ， 代入 ， 可得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ． （2）如图1 中，过点 作 于 ，过点 作 于 ． 对于抛物线 ，令 ，得到， ，解得 或6， ， ， ， ， ， ， 的面积与 的面积之比为 ， ， ， ， ， ， ， ， 直线 的解析式为 ， 由 ，解得 或 ， ， 过点 作 轴交 于 ，设 则 ， ， ， ， 时， 的面积最大，最大值为 ． （3）对于抛物线 ，当 时， ， 解得 ， 当 时， ，解得 或4， 观察图2 可知：当 时， ， ， 而 ， 故 ． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性 质等知识，解题的关键是学会构建一次函数利用方程组确定交点坐标，学会构建二次函数 解决最值问题，属于中考压轴题． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为点 ． （1）当 时，直接写出点 ， ， ， 的坐标： ， ， ， ； （2）如图1，直线 交 轴于点 ，若 ，求 的值和 的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点 为 的中点，动点 在第三象限的抛物线上， 过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交 于点 ；过点 作 ，垂足为 ．设点 的横坐标为，记 ． ①用含的代数式表示 ； ②设 ，求 的最大值． 【分析】（1）当 时，抛物线的表达式为： ，即可求解； （2）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，进而求出点 ， ，利用 ，即可求解； （3）①证明 ，故 ，则 ，即可求解； ② 且 ，即可求解． 【解答】解：（1）当 时，抛物线的表达式为： ， 令 ，则 或 ；当 时， ，函数的对称轴为 ， 故点 、 、 、 的坐标分别为 、 、 、 ； 故答为： 、 、 、 ； （2） ，令 ，则 ，则点 ， 函数的对称轴为 ，故点 的坐标为 ， 由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ， 令 ，则 ，故点 ， ，则 ， ，解得： ， 故点 、 的坐标分别为 、 ， ， 则 ； （3）①如图，作 与 的延长线交于点 ， 由（2）知，抛物线的表达式为： ， 故点 、 的坐标分别为 、 ，则点 ， 由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ； 设点 ，则点 ； 则 ， 由点 ， 、 的坐标得，直线 的表达式为： ， 则点 ，故 ， ， 轴， 故 ， ， ，故 ， 则 ， ； ② 且 ； 当 时， ； 当 时， ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定与 性质等，综合性较强，难度较大． 5．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点． （1）若过点 的直线 是抛物线的对称轴． ①求抛物线的解析式； ②对称轴上是否存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 恰好落在对称轴上．若存在， 请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （2）当 ， 时，函数值 的最大值满足 ，求 的取值范围． 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式； ②如图，若点 在 轴上方，点 关于 对称的点 在对称轴上，连接 、 ，根 据轴对称的性质得到 ， ，求出点 的坐标，利用勾股定理得到 ，再根据 ，列出方程解答，同理得到点 在 轴下方时的坐标即可； （2）当 时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当 时，函数的增减性， 从而得到当 时，函数取最大值，再列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）①抛物线 的对称轴为直线 ， 若过点 的直线 是抛物线的对称轴， 则 ，解得： ， 抛物线的解析式为 ； ②存在， 如图，若点 在 轴上方，点 关于 对称的点 在对称轴上，连接 、 ， 则 ， ， 对于 ，令 ，则 ， 解得： ， ， ， ， ， ， ， 设点 ， 由 可得： ，解得： ， ； 同理，当点 在 轴下方时， ． 综上所述，点 或 ； （2） 抛物线 的对称轴为直线 ， 当 时， ， 抛物线开口向下，在对称轴左边， 随 的增大而增大， 当 时，取 ， 有最大值， 即 ， ，解得： ， 又 ， ． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理 的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性， 难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质． 6．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 经过点 ，点 ，且交 轴于另一点 ． （1）直接写出点 ，点 ，点 的坐标及拋物线的解析式； （2）在直线 上方的抛物线上有一点 ，求四边形 面积的最大值及此时点 的 坐标； （3）将线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转 得到线段 ，若线段 与抛物 线只有一个公共点，请结合函数图象，求 的取值范围． 【分析】（1）令 ，由 ，得 点坐标，令 ，由 ，得 点 坐标，将 、 的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解 析式令 ，便可求得 点坐标； （2）过 点作 轴，与 交于点 ，设 ，则 ， 由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于 的函数关系式，再根据二次函数的性质求 得最大值，并求得 的值，便可得 点的坐标； （3）根据旋转性质，求得 点和 点的坐标，令 点和 点在抛物线上时，求出 的 最大和最小值便可． 【解答】解：（1）令 ，得 ， ， 令 ，得 ，解得， ， ， 把 、 两点代入 得， ，解得 ， 抛物线的解析式为 ， 令 ，得 ， 解得， ，或 ， ； （2）过 点作 轴，与 交于点 ，如图1， 设 ，则 ， ， ， ， 当 时，四边形 面积最大，其最大值为8， 此时 的坐标为 ； （3） 将线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转 得到线段 ，如图2， ， ， ， ， 当 在抛物线上时，有 ， 解得， ， 当点 在抛物线上时，有 ， 解得， 或2， 当 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点． 【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质 待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2） 题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定 ， 点的坐标与位置． 7．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线 图象 轴下方部分沿 轴向上翻折，保留抛物线在 轴上的点 和 轴上方图象，得到的新图象与直线 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 ， ， ， ．当以 为直径的圆过点 时，求的值； （3）在抛物线 上，当 时， 的取值范围是 ，请直接写出 的 取值范围． 【分析】（1）抛物线的对称轴是 ，且过点 点， ，即可求解； （2）翻折后得到的部分函数解析式为： ， ，新图 象与直线 恒有四个交点，则 ，由 解得： ，即可 求解； （3）分 、 在函数对称轴左侧、 、 在对称轴两侧、 、 在对称轴右侧时，三种情 况分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴是 ，且过点 点， ，解得： ， 抛物线的函数表达式为： ； （2） ， 则 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为： ， ，其顶点为 ． 新图象与直线 恒有四个交点， ， 设 ， ， ， ． 由 解得： ， 以 为直径的圆过点 ， ， 即 ，解得 ， 又 ， 的值为 ； （3）①当 、 在函数对称轴左侧时， ， 由题意得： 时， ， 时， ， 即： ， 解得 或 （舍， ， 解得 或 （舍， 解得： ； ②当 、 在对称轴两侧时， 时， 的最小值为 ，不合题意； ③当 、 在对称轴右侧时， 同理可得： ； 故 的取值范围是： 或 ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的 翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 8．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且关 于直线 对称，点 的坐标为 ． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 ，若点 在 轴上时， 和 的夹角为 ，求线段 的长度； （3）当 时，二次函数 的最小值为 ，求 的值． 【分析】（1）先根据题意得出点 的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）分点 在点 上方和下方两种情况，先求出 的度数，再利用三角函数求出 的长，从而得出答； （3）分对称轴 在 到 范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质 求解可得． 【解答】解：（1） 点 与点 关于直线 对称， 点 的坐标为 ， 代入 ，得： ， 解得 ， 所以二次函数的表达式为 ； （2）如图所示： 由抛物线解析式知 ， 则 ， ， 若点 在点 上方，则 ， ， ； 若点 在点 下方，则 ， ， ； 综上， 的长为 或 ； （3）若 ，即 ， 则函数的最小值为 ， 解得 （正值舍去）； 若 ，即 ， 则函数的最小值为 ， 解得： （舍去）； 若 ， 则函数的最小值为 ， 解得 （负值舍去）； 综上， 的值为 或 ． 【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角 函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用． 9 ．如图， 点 ， ， 都在抛物线 （其 中 上， 轴， ，且 ． （1） 填空： 抛物线的顶点坐标为 （用 含 的代数式表示） ； （2） 求 的面积 （用 含的代数式表示） ； （3） 若 的面积为 2 ，当 时， 的最大值为 2 ，求 的 值 ． 【分析】（1） 利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式， 此题得 解； （2） 过点 作直线 的垂线， 交线段 的延长线于点 ，由 轴且 ，可得出点 的坐标为 ，设 ，则点 的坐标 为 ，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 的一元二次方程， 解之取其正值即可得出值， 再利用三角形的面积公式即 可得出 的值； （3） 由 （2） 的结论结合 可求出 值， 分三种情况考虑：①当 ，即 时， 时 取最大值， 利用二次函数图象上点 的坐标特征可得出关于 的一元二次方程， 解之可求出 的值；②当 ，即 时， 时 取最大值， 利用二次函数图象 上点的坐标特征可得出关于 的一元一次方程， 解之可求出 的值；③当 ，即 时， 时 取最大值， 利用二次函数图象上点 的坐标特征可得出关于 的一元一次方程， 解之可求出 的值 ． 综上即可 得出结论 ． 【解答】解： （1） ， 抛物线的顶点坐标为 ． 故答为： ． （2） 过点 作直线 的垂线， 交线段 的延长线于点 ，如图所示 ． 轴， 且 ， 点 的坐标为 ． ， 设 ，则 ， 点 的坐标为 ． 点 在抛物线 上， ， 整理， 得： ， 解得： （舍 去） ， ， ． （3） 的面积为 2 ， ， 解得： ， 抛物线的解析式为 ． 分三种情况考虑： ①当 ，即 时， 有 ， 整理， 得： ， 解得： （舍 去） ， （舍 去） ； ②当 ，即 时， 有 ， 解得： ； ③当 ，即 时， 有 ， 整理， 得： ， 解得： （舍 去） ， ． 综上所述： 的值为 或 ． 【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、 二次函数图象上点的坐标特 征、 等腰直角三角形、 解一元二次方程以及二次函数的最值， 解题的关键 是： （1） 利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式； （2） 利用等腰直 角三角形的性质找出点 的坐标； （3） 分 、 及 三种情 况考虑 ．