6 线段之差最值问题

线段之差最值问题 内容导航 方法点拨 （1）在直线l 同侧有两点、B，在直线L 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （2）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （3）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最小． （1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 例题演练 1．如图，抛物线y＝﹣ x2﹣x+2 的顶点为，与y 轴交于点B． （1）求点、点B 的坐标； （2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：|P﹣PB|≤|B|； （3）当|P﹣PB|最大时，求点P 的坐标． 【解答】（1）解：抛物线y＝﹣ x2﹣x+2 与y 轴的交于点B， 令x＝0 得y＝2． ∴B（0，2） ∵y＝﹣ x2﹣x+2＝﹣ （x+2）2+3 ∴（﹣2，3） （2）证明：当点P 是B 的延长线与x 轴交点时， |P﹣PB|＝|B|． 当点P 在x 轴上又异于B 的延长线与x 轴的交点时， 在点P、、B 构成的三角形中，|P﹣PB|＜|B|． 综合上述：|P﹣PB|≤|B| （3）解：作直线B 交x 轴于点P，由（2）可知：当|P﹣PB|最大时，点P 是所求的点 作⊥P 于． ∵B⊥P， ∴△BP∽△P ∴ 由（1）可知：＝3、＝2、B＝2， ∴P＝4， 故P（4，0）． 注：求出B 所在直线解析式后再求其与x 轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分． 2．如图所示，抛物线y＝x2+bx+（≠0）的顶点坐标为点（﹣2，3），且抛物线y＝x2+bx+与y 轴交 于点B（0，2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）是否在x 轴上存在点P 使△PB 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请 说明理由； （3）若点P 是x 轴上任意一点，则当P﹣PB 最大时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴可设抛物线的解析式为y＝（x+2）2+3 （≠0）， 由题意得：（0+2）2+3＝2，解得：＝﹣ ． ∴物线的解析式为y＝﹣ （x+2）2+3，即y＝﹣ x2﹣x+2． （2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则 P2＝（﹣2﹣p）2+32，PB2＝p2+22，B2＝（3﹣2）2+22＝5 当P＝PB 时，（﹣2﹣p）2+32＝p2+22，解得：p＝﹣ ； 当P＝B 时，（﹣2﹣p）2+32＝5，方程无实数解； 当PB＝B 时，p2+22＝5，解得p＝±1． ∴x 轴上存在符合条件的点P，其坐标为（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（1，0）． （3）∵|P﹣PB|≤B， ∴当、B、P 三点共线时，可得P﹣PB 的最大值，这个最大值等于B，此时点P 是直线B 与x 轴 的交点． 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则： ，解得 ． ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 当y＝﹣ x+2＝0 时，解得x＝4． ∴当P﹣PB 最大时，点P 的坐标是（4，0）． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 交x 轴于，B 两点（点在点B 的左 侧），交y 轴于点，顶点为，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D． （1）求直线B 的解析式； （2）点E（m，0），F（m+2，0）为x 轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x 轴， 交抛物线于点E′，F′，交B 于点M，，当ME′+F′的值最大时，在y 轴上找一点R，使|RF′﹣RE′| 的值最大，请求出R 点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值； （3）如图2，已知x 轴上一点P（ ，0），现以P 为顶点，2 为边长在x 轴上方作等边三角 形QPG，使GP⊥x 轴，现将△QPG 沿P 方向以每秒1 个单位长度的速度平移，当点P 到达点时 停止，记平移后的△QPG 为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△D 的重叠部分面积为s．当Q′到x 轴的距离与 点Q′到直线的距离相等时，求s 的值． 【解答】解：（1）令y＝0，则﹣ x2+ x+3 ＝0， 解方程得：x＝6 或x＝﹣2， ∴（﹣2，0），B（6，0）， 又y＝﹣ x2+ x+3 ＝﹣ （x﹣2）2+4 ， 又顶点（2，4 ）， 设直线B 的解析式为：y＝kx+b，代入B、两点坐标得： ， 解得： ， ∴y＝﹣ x+6 ； （2）如图1， ∵点E（m，0），F（m+2，0）， ∴E′（m，﹣ m2+ m+3 ），F′（m+2，﹣ m2+4 ）， ∴E′M＝﹣ m2+ m+3 ﹣（﹣ m+6 ）＝﹣ m2+2 m﹣3 ， F′＝﹣ m2+4 ﹣（﹣ m+4 ）＝﹣ m2+ m， ∴E′M+F′＝﹣ m2+2 m﹣3 +（﹣ m2+ m）＝﹣ m2+3 m﹣3 ， 当m＝﹣ ＝3 时，E′M+F′的值最大， ∴此时，E′（3， ）F′（5， ）， ∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣ x+ ， ∴R（0， ）， 根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6， ∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4； （3）由题意得，Q 点在∠B 的角平分线或外角平分线上， ①如图2，当Q 点在∠B 的角平分线上时， Q′M＝Q′＝ ，＝ ， ∵△RMQ′∽△， ∴ ∴RQ′＝ ， ∴R＝ + ， ∵△R∽△， ∵ ∴＝ ， ∴D＝D﹣＝4﹣ ＝ ， ∴S＝ ； ②如图3，当Q 点在∠B 的外角平分线上时， ∵△Q′R∽△， ∴RQ′＝ ， ∴RM＝ ﹣ ， ∵△RM∽△， ∴M＝ ， 在RtQ′MP′中，MP′＝ Q′M＝3， ∴P′＝MP′﹣M＝3﹣ ＝ ， 在Rt△P′S 中，P′S＝ P′＝ × ， ∴S＝ ． 4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+经过点（﹣1，0），与y 轴交于点B，且对称轴为x＝1． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线对称轴上的一动点，当|P﹣PB|取最大值时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ， ∴该抛物线的解析式 y＝﹣x2+2x+3； （2）∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 如图所示，根据三角形两边之差小于第三边，所以，当点P 在直线B 上时，|P﹣PB|最大 设抛物线的对称轴直线x＝1 与x 轴交于点． ∵P∥y 轴 ∴△B∽△P ∴ ＝ ＝ ， ∴P＝2B＝6 ∴P（1，6）即为所求． 5．在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线 y＝ x 与抛物线交于、B 两点，直线l 为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|P﹣PB|取得最大值？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）已知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离 与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标． 【解答】解：（1）设函数解析式为y＝（x﹣2）2， 将点（4，1）代入， 得到＝ ， ∴y＝ （x﹣2）2， （2）y＝ （x﹣2）2与y＝ x 的交点（1， ），B（4，1）， 对称轴x＝2， 点关于对称轴的对称点为'（3， ）， 当点P，'，B 共线时，|P﹣PB|取得最大值； 设直线'B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴y＝ x﹣2， ∴P（2，﹣ ）； （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴ ， ∴m2﹣2x0m+y02+ ﹣2y0＝2+1， ∵＝ （m﹣2）2， ∴ + ﹣2y0﹣3＝0， ∴ ， ∴ ， ∴F（2，1）； 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 与x 轴交于点和点B，在B 的左侧，与y 轴交于点，点P 为直线B 上方抛物线上一动点． （1）求直线B 的解析式； （2）过P 作PM⊥x 轴，交B 于M，当PM﹣M 的值最大时，求P 的坐标和PM﹣M 的最大值； （3）如图2，将该抛物线向右平移1 个单位，得到新的抛物线y1，过点P 作直线B 的垂线，垂 足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当△PEF 是以PF 为腰的等腰三角 形时，点P 的横坐标． 【解答】解：（1）对于抛物线y＝ ，令x＝0，得y＝3， ∴（0，3）． 令y＝0，则 ＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴（﹣2，0），B（4，0）． 设直线B 的函数解析式为y＝kx+b，将点B，的坐标代入， 得 解得 ∴直线B 的函数解析式为y＝ ； （2）设点P 的坐标为（m， ）（0＜m＜4）， 则点M 的坐标为（m， +3）， ∴PM＝yP﹣yM＝ ﹣（ +3）＝ ， M＝ ， ∴PM﹣M＝ ﹣ ＝ + m＝ ． ∵ ＜0， ∴该抛物线开口向下， ∴当m＝ 时，PM﹣M 取得最大值，最大值为 ． 将m＝ 代入y＝ 中，得y＝ ， ∴P（ ， ）； （3）如图，过点P 作PK⊥x 轴于点K，交直线B 于点． 由（1），易得＝3，B＝4，B＝5． 设点P 的坐标为（， ）（0＜＜4），则点的坐标为（， +3）， ∴P＝ ． 在Rt△PE 中，PE＝P•s∠EP． ∵PE⊥B，∠PE＝∠BK， ∴∠EP＝∠KB． ∵s∠KB＝ ， ∴PE＝ （ ）＝ ． ∵原抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴将抛物线向右平移1 个单位后，新抛物线的对称轴为直线x＝2． 又∵点F 在新抛物线的对称轴上，PE 垂直新抛物线的对称轴， ∴xF＝2，PF＝|﹣2|． ∵PF＝PE， ∴ ＝|﹣2|． ①当＞2 时， ＝﹣2，解得 ； ②当＜2 时， ＝﹣（﹣2），解得 ． 综上，当△PEF 是以PF 为腰的等腰三角形时，点P 的横坐标为 或 ．