104 与最值、定值相关的压轴题

中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与最值、定值相关的压轴题 方法提炼： 1、已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点、，求M+M 最小值的问题，我们只需 做出点关于这条直线的对称点B，将点与B 连接起来交直线与点M，那么B 就是M+M 的最 小值。同理，我们也可以做出点关于这条直线的对称点’，将点与’连接起来交直线与点 M，那么’就是M+M 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 2、 初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边 之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求 第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。 典例引领： 8．已知抛物线：y＝x2﹣2x+经过点（1，2），与x 轴交于（﹣1，0）、B 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线y＝ x 交抛物线于S、T 两点，M 为抛物线上、T 之间的动点，过M 点作ME⊥x 轴于点E，MF⊥ST 于点F，求ME+MF 的最大值； （3）如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4 交抛物线1于 P、Q 两点，在抛物线1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D 的坐标． 分析：（1）利用待定系数法即可得出结论； （2）先确定出ME，MF 与t 的关系，最后建立ME+MF 与t 的函数关系式，即可得出结 论； （3）先求出x2+2kx﹣4k﹣8＝0，进而得出x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，而DE'•DF'＝ PE'•QF'，得出（﹣x1）（x2﹣）＝（b﹣y1）（b﹣y2），借助b＝ ，y1＝ ，y2＝ ，即可得出（﹣x1）（x2﹣）＝ （+x1）（+x2） （ x1﹣）（x2﹣），即 可得出结论． 解：（1）∵抛物线：y＝x2﹣2x+经过点（1，2），与x 轴交于（﹣1，0）、B 两点 ∴ ， ∴ ； （2）如图1，设直线T 交ME 于G， 设M（t， ），则ME＝ ，G（t， t）， G＝ t，MG＝ ， s∠GE＝s∠MGF＝ ，MF＝ MG＝ ， ME+MF＝ ， ＜0，当t＝ 时，ME+MF 的最大值为 ； （3）如图2，过D 作E'F'∥x 轴，作PE'⊥E'F'于E'，QF'⊥E'F'于F'， 设D（，b），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立 ，得x2+2kx﹣4k﹣8＝0 ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8， 由△PE'D∽△DF'Q 得， ， ∴DE'•DF'＝PE'•QF'， ∴（﹣x1）（x2﹣）＝（b﹣y1）（b﹣y2）， ∵b＝ ，y1＝ ，y2＝ ∴（﹣x1）（x2﹣）＝（ ）（ ） ∴（﹣x1）（x2﹣）＝ （+x1）（+x2） （ x1﹣）（x2﹣）， ∴﹣4＝（+x1）（+x2）， ∴x1x2+（x1+x2）+2＝﹣4， ∴﹣4k﹣8+（﹣2k）+2＝﹣4 ∴2﹣4﹣2k﹣4k＝0， ∴（+2）（﹣2）﹣2k（+2）＝0， ∵k 为任意实数， ∴+2＝0， ∴＝﹣2， ∴b＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣2）． 点评：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，相似三角形 的判定和性质，得出（﹣x1）（x2﹣）＝ （+x1）（+x2） （ x1﹣）（x2﹣）是解本题的 关键． 跟踪训练： 1．如图，抛物线 与x 轴交于（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y 轴交于， M 为此抛物线的顶点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）动直线l 从与直线重合的位置出发，绕点顺时针旋转，与直线B 重合时终止运动， 直线l 与B 交于点D，P 是线段D 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长为 ； ②点D 与B、不重合时，过点D 作DE⊥于点E，作DF⊥B 于点F，连接PE、PF、 EF，在旋转过程中，求EF 的最小值； （3）将抛物线1平移得到抛物线2，已知抛物线2的顶点为，与直线交于E、F 两点，若 EF＝，求直线M 的解析式． 2．如图1，抛物线 的顶点为点，与x 轴的负半轴交于点D，直线B 交抛物线 于另一点，点B 的坐标为（1，0）． （1）求直线B 的解析式； （2）求t∠BD 的值； （3）将抛物线向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线1，如图2，记抛物线1的顶点为 1，与x 轴负半轴的交点为D1，与射线B 的交点为1．问：在平移的过程中，t∠D11B 是 否恒为定值？若是，请求出t∠D11B 的值；若不是，请说明理由． 3．如图，已知抛物线y＝x2+2x+与y 轴交于点（0，6），与x 轴交于点B（6，0），点P 是 线段B 上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）点M 在抛物线上，点在x 轴上，是否存在以点，B，M，为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标：若不存在，请说明理由； （3）当点P 从点出发沿线段B 上方的抛物线向终点B 移动时，点P 到直线B 的距离为 d，求d 最大时点P 的坐标． 4．如图1．已知直线l：y＝﹣1 和抛物线L：y＝x2+bx+（≠0），抛物线L 的顶点为原点， 且经过点（2 ， ）直线y＝kx+1 与y 轴交于点F，与跑抛物线L 交于点B（x1， y1），（x2，y2），且x1＜x2． （1）求抛物线L 的解析式； （2）求证：无论k 为何值，直线l 总是与以B 为直径的圆相切； （3）①如图2，点P 是抛物线L 上的一个动点，过点P 作PM⊥l 于点M，试判断PM 与 PF 之间的数量关系，并说明理由； ②将抛物线L 和点F 都向右平移2 个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q 是抛物线L1上 的一动点，且点Q 在L1的对称轴的右侧，过点Q 作Q⊥l 于点，连接Q．求|Q﹣Q|的最 大值，并直接写出此时点Q 的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3（＜0）交轴于、B 两点（在B 的左 侧），与y 轴交于点，抛物线的顶点D 的纵坐标为4 （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M 在抛物线y＝x2+2x﹣3 的图象上，点在x 轴上，当以、、M、为顶点的四 边形是平行四边形时，求点M 的坐标； （3）过点D 作直线DE∥y 轴，交x 轴于点E，点P 是抛物线上B，D 两点间的一个动点 （点P 不与B，D 两点重合），P、PB 与直线DE 分别交于点F，G，当点P 运动时， EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 6．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x 称为该点的“坐标差”，函数图象上 所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值” 【感悟】根据你的阅读理解回答问题： （1）点P（2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答） （2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”； 【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+（b≠0）交x 轴于点，交y 轴于点B，点与点B 的 “坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3 时，此函数的最大 值为﹣2m，求m． 7．若一次函数y＝kx+m 的图象经过二次函数y＝x2+bx+的顶点，我们则称这两个函数为 “丘比特函数组” （1）请判断一次函数y＝﹣3x+5 和二次函数y＝x2﹣4x+5 是否为“丘比特函数组”，并 说明理由． （2）若一次函数y＝x+2 和二次函数y＝x2+bx+为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ x2+bx+顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4 图象上并且二次函数y＝x2+bx+经过一次函数y＝ x+2 与y 轴的交点，求二次函数y＝x2+bx+的解析式； （3）当﹣3≤x≤﹣1 时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4 的最小值为，若“丘比特函数组”中的 一次函数y＝2x+3 和二次函数y＝x2+bx+（b、为参数）相交于PQ 两点请问PQ 的长度 为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是（﹣1，0），且B＝＝3，动点P 在过、 B、三点的抛物线上 （1）求抛物线的解析式 （2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得△BP 是以B 为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由 （3）如图2，过动点P 作PE⊥y 轴于点E，交直线B 于点D，过点D 作x 轴的垂线，垂 足为F，连结EF，当点P 在什么位置时，线段EF 最短，求出EF 长的最小值． 9．如图，抛物线y＝x2﹣2x+与x 轴交于点，B 两点，与y 轴交于点，直线y＝x+3 经过，两 点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是x 轴上的动点，过点作x 轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点． ①点D 在线段上，连接D、BD，当＝BD 时，求D+的最小值； ②当＝3D 时将直线D 绕点旋转45°，使直线D 与y 轴交于点P，请直接写出点P 的坐标． 10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+经过点、B、，已知（﹣1，0），（0， 3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P 为线段B 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D，当△DP 为 等腰三角形时，求点P 的坐标； （3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x 轴于点F，是直线EF 上一动点，M（m，0）是 x 轴一个动点，请直接写出+M+ MB 的最小值以及此时点M、的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+经过原点，与x 轴交于另一点，对称轴 x＝﹣2 交x 轴于点，直线l 过点（0，﹣2），且与x 轴平行，过点P 作PM⊥l 于点M， △B 的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）当∠MP＝∠B 时，求P 点坐标； （3）①求证PM＝P； ②若点Q 坐标为（0，2），直接写出PQ+P 的最小值． 12．如图1，抛物线y＝x2+bx+（≠0）的顶点为（1，4），交x 轴于，B 两点，交y 轴于点 D，其中点B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点的直线与抛物线交于点E，交y 轴于点F，其中点E 的横坐标为2， 若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点， 使D，G，，F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，的坐 标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0）、B（3，0）两 点，且抛物线经过点D（2，3）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G 在x 轴上．原抛物线上一点M 平移 后的对应点为点，如果△M 是以M 为底边的等腰三角形，求点的坐标； （3）若点P 为抛物线上第一象限内的动点，过点B 作BE⊥P，垂足为E，点Q 为y 轴上 的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD 的最小值． 参考答 1．解：（1）∵抛物线 与x 轴交于（﹣4，0）、B（2，0）两点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣x+4； （2）①在Rt△B 中， B＝ ＝ ＝2 ． ∵点D 是线段B 一点，P 是线段D 的中点， ∴点P 运动的路径是△B 的中位线P1P2，如图1， 则P1P2＝ B＝ ． 故答为： ； ②如图2， ∵DE⊥，DF⊥B，P 是线段D 的中点， ∴PE＝P＝PD＝PF， ∴点、E、D、F 在以点P 为圆心， D 为半径的圆上， ∴∠EPF＝2∠EF． ∵＝＝4，∠＝90°， ∴∠＝∠＝45°， ∴∠EPF＝90°， ∴EF＝ ＝ PE＝ D． 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 当D⊥B 时，D 最小，此时EF 最小， 此时，S△B＝ B•D＝ ×2 •D＝12， 解得：D＝ ， 此时EF＝ ， 则EF 的最小值为 ； （3）如图3， 设直线的解析式为y＝mx+， 则有 ， 解得： ， ∴直线的解析式为y＝x+4． 由EF＝可得M∥． 可设直线M 的解析式为y＝x+t． ∵点M 是抛物线y＝﹣ x2﹣x+4 的顶点， ∴点M 的坐标为（﹣1， ）， 把M（﹣1， ）代入y＝x+t，得 ﹣1+t＝ ， 解得t＝ ， ∴直线M 的解析式为y＝x+ ． 2．解：（1）在 中，当x＝0 时，有y＝﹣2，∴（0，﹣2）， ∵点B 的坐标为（1，0），可设直线B 的解析式为y＝kx+b， 则 ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝2x﹣2； （2）在 中，当y＝0 时，有 ， 解得：x1＝﹣2，x2＝2， ∵抛物线与x 轴的负半轴交于点D，∴D（﹣2，0）， ∵点是直线B 与抛物线的交点， ∴联立方程组 ，解得 ， ，由此可知，（4，6）， 过点作E⊥x 轴于点E，∴E＝6，E＝4， ∴DE＝D+E＝6，∴△DE 为等腰直角三角形， ∴∠DE＝45°，∴t∠DE＝1， ∴t∠BD＝1； （3）t∠D11B 恒为定值，理由如下： 由题意，抛物线1的解析式为 ， 设点D1的坐标为（t，0），其中t＜0，∴ ，∴ ， ∴ ， ∵点1是直线B 与抛物线1的交点， ∴ ，解得 ， ， ∵点1是直线B 与抛物线1的交点，且t＜0， ∴点1的坐标为（2﹣t，2﹣2t）， 过1作1E1⊥x 轴于点E1， ∴1E1＝2﹣2t，E1＝2﹣t， ∴D1E1＝D1+E1＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t， ∴1E1＝D1E1，∴Rt△1D1E1为等腰直角三角形，∴∠1D1E1＝45°， 由（2）知∠BD＝45°． ∴∠1D1E1＝∠BD，∴D11∥D，∴∠D11B＝∠DB，∴t∠D11B＝t∠DB， ∴t∠D11B 恒为定值． 如图2，过B 作BF⊥D 于点F， ∵∠BD＝45°，∴Rt△BDF 为等腰直角三角形， ∵BD＝D+B＝3，DF＝BF＝ ， 由（1）知，D＝6 ， F＝D﹣DF＝ ， ∴在Rt△BF 中，有tFB＝ ＝ ， ∴t∠D11B＝ ． 3．解：（1）物线y＝x2+2x+与y 轴交于点（0，6），则＝6， 将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36+12+6， 解得：＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+2x+6， ∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）； （2）设点M（m，），＝﹣ m2+2m+6，点（s，0）， ①当B 是平行四边形的一条边时， 点向右、向下均平移6 个单位得到B， 同理点右、向下均平移6 个单位得到M， 故：s+6＝m，0﹣6＝， 解得：m＝2±2 ， 故点M 的坐标为（2﹣2 ，﹣6）或（2+2 ，﹣6）； ②当B 是平行四边形的对角线时， 则B 的中点即为M 的中点，则 s+m＝6，+0＝6， 解得：m＝4， 故点M 的坐标为（4，6）， 综上，点M 的坐标为（2﹣2 ，﹣6）或（2+2 ，﹣6）或（4，6）． （3）如下图，过点P 作PG∥y 轴交B 于点G，作P⊥B 交于点， ∵＝B＝6，则∠B＝∠B＝45°， ∵PG∥y 轴，则∠PG＝∠B＝45°， 直线B 的表达式为：y＝﹣x+6， 设点P（x，﹣ x2+2x+6），则G（x，﹣x+6）， d＝P＝ PG＝ （﹣ x2+2x+6+x﹣6）＝ （﹣ x2+3x）， 当x＝3 时，d 取得最大值，此时点P（3， ）． 4．解：（1）抛物线的表达式为：y＝x2， 将点坐标代入上式得： ＝（2 ）2，解得：＝ ， 故抛物线的表达式为：y＝ x2； （2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1 联立并整理得： x2﹣4kx﹣4＝0， 则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4， 则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2， 则x2﹣x1＝ ＝4 ， 设直线B 的倾斜角为α，则tα＝k，则sα＝ ， 则B＝ ＝4（k2+1）， B＝2k2+2， 设B 的中点为M（2k，2k2+1），则点M 到直线l 的距离为：2k2+2， 故直线l 总是与以B 为直径的圆相切； （3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1）， 则PF2＝m2+（ m2﹣1）2＝ （m2+4）2，PM＝ m2+1＝ （m2+4）＝PF， 即：PM 与PF 之间的数量关系为：PM＝PF； ②抛物线新抛物线的表达式为：y＝ （x﹣2）2…①， 如图2，设平移后点F 的对应点为F′（2，1）， 由①知：PM＝PF，同理Q＝QF′， 故当、F′、Q 三点共线时，|Q﹣Q|有最大值， |Q﹣Q|的最大值＝|Q﹣QF′|＝F′， 则F′＝ ＝ ； 将点、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 得： ，解得： ， 故直线F′的表达式为：y＝ x﹣ …②， 联立①②并解得：x＝1 或6（舍去1）， 故点Q（6，4）； 故：|Q﹣Q|的最大值为 ，此时点Q 的坐标为（6，4）． 5．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵抛物线的顶点D 的纵坐标为4， ∴﹣4＝4， 解得＝﹣1． 故抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵当x＝0 时，y＝3， ∴（0，3）， ①以为对角线， ∵点M 在抛物线y＝x2+2x﹣3 的图象上，点在x 轴上，以、、M、为顶点的四边形是平行 四边形， ∴点M 的纵坐标为3， ∴﹣x2﹣2x+3＝3， 解得x1＝0，x2＝﹣2． 故点M 的坐标为（﹣2，3）； ②以为对角线， 点M 的坐标为（﹣2，3）； ③以为对角线， 点M 的坐标为（﹣1﹣ ，﹣3），（﹣1+ ，﹣3）． 综上所述，点M 的坐标为（﹣2，3），（﹣1﹣ ，﹣3），（﹣1+ ，﹣3）； （3）EF+EG＝8（或EF+EG 是定值），理由如下： 过点P 作PQ∥y 轴交x 轴于Q，如图． 设P（t，﹣t2﹣2t+3）， 则PQ＝﹣t2﹣2t+3，Q＝3+t，QB＝1﹣t， ∵PQ∥EF， ∴△EF∽△QP， ∴ ＝ ， ∴EF＝ ＝ ＝ ×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）； 又∵PQ∥EG ， ∴△BEG∽△BQP， ∴ ＝ ， ∴EG＝ ＝ ＝2（t+3）， ∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8． 6．解：（1）点P （2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1， 故答为：﹣1． （2）一次函数y＝2x+1 的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1， 函数 y＝x+1 是增函数， 当﹣2≤x≤3 时，x＝3，y 的最大值＝4， ∴一次函数 y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4． （3）y＝﹣x2+bx+（b≠0）交y 轴于点B， ∴点B（0，） 点与点B 的“坐标差”相等， ∴点 （﹣，0）， ∴﹣（﹣）2+b（﹣）+＝0， ∵b≠0， ∴+b＝1， ∵y＝﹣x2+bx+（b≠0）“特征值”为﹣1 即函数 y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1 ∴ 解得 b＝3， ∴＝﹣2 ∴y＝﹣x