23 二次函数与面积的最值定值问题

中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练 二次函数与面积的最值定值问题 【真题再现】 1．（2020 年宿迁中考第28 题）二次函数y＝x2+bx+3 的图象与x 轴交于（2，0），B（6， 0）两点，与y 轴交于点，顶点为E．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标； （2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过 点时，求点D 的坐标； （3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接P，取P 中点Q，连接Q， QE，E，当△EQ 的面积为12 时，求点P 的坐标． 【分析】（1）由于二次函数的图象与x 轴交于（2，0）、B（6，0）两点，把，B 两点 坐标代入y＝x2+bx+3，计算出的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E 点坐标； （2）由线段垂直平分线的性质可得出B＝D，设D（4，m），由勾股定理可得42+（m 3 ﹣）2＝62+32．解方程可得出答； （3 ）设Q 交抛物线的对称轴于点M ，设P （，1 4 n 2−¿2+3 ），则Q （ 1 2 n，1 8 n 2−n+ 3 2），设直线Q 的解析式为y＝kx+3，则1 8 n 2−n+ 3 2=1 2k+3．解得k ¿ 1 4 n−2−3 n，求出M（4，﹣5−12 n ），ME＝﹣4−12 n ．由面积公式可求出的值．则可 得出答． 【解析】（1）将（2，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+3， 得{ 4 a+2b+3=0 36a+6b+3=0， 解得{ a= 1 4 b=−2 ∴二次函数的解析式为y¿ 1 4 x 2−¿2x+3． ∵y¿ 1 4 x 2−2 x+3= 1 4 ( x−4) 2−¿1， ∴E（4，﹣1）． （2）如图1，图2，连接B，D，由点在线段BD 的垂直平分线上，得B＝D． 设D（4，m）， ∵（0，3），由勾股定理可得： 42+（m 3 ﹣）2＝62+32． 解得m＝3±❑ √29． ∴满足条件的点D 的坐标为（4，3+❑ √29）或(4，3−❑ √29)． （3）如图3，设Q 交抛物线的对称轴于点M， 设P（，1 4 n 2−¿2+3），则Q（1 2 n，1 8 n 2−n+ 3 2）， 设直线Q 的解析式为y＝kx+3，则1 8 n 2−n+ 3 2=1 2k+3． 解得k¿ 1 4 n−2−3 n，于是Q：y＝（1 4 n−2−3 n）x+3， 当x＝4 时，y＝4（1 4 n−2−3 n）+3＝﹣5−12 n ， ∴M（4，﹣5−12 n ），ME＝﹣4−12 n ． ∵S△QE＝S△EM+S△QEM¿ 1 2 × 1 2 n⋅ME=1 2 ⋅1 2 n⋅(n−4−12 n )=12． ∴2 4 60 ﹣﹣ ＝0， 解得＝10 或＝﹣6， 当＝10 时，P（10，8），当＝﹣6 时，P（﹣6，24）． 综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）． 2．（2020 年淮安中考第27 题）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4 的图象与直线l 交于（﹣ 1，2）、B（3，）两点．点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线l 于点 M，交该二次函数的图象于点，设点P 的横坐标为m． （1）b＝ 1 ，＝ ﹣ 2 ； （2）若点在点M 的上方，且M＝3，求m 的值； （3）将直线B 向上平移4 个单位长度，分别与x 轴、y 轴交于点、D（如图②）． ①记△B 的面积为S1，△的面积为S2，是否存在m，使得点在直线的上方，且满足S1﹣S2 ＝6？若存在，求出m 及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由． ②当m＞﹣1 时，将线段M 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、F、．若 ∠FB+∠D﹣∠BF＝45°，直接写出直线F 与该二次函数图象交点的横坐标． 【分析】（1）将点坐标代入二次函数解析式中，求出b，进而得出二次函数解析式，再 将点B 坐标代入二次函数中，即可求出的值； （2）先表示出点M，的坐标，进而用M＝3 建立方程求解，即可得出结论； （3）①先求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线B 的解析式，进而表示出 S1，S2，最后用S1﹣S2＝6 建立方程求出m 的值； ②先判断出F∥，进而求出直线F 的解析式，再判断出F∥x 轴，进而求出点F 的坐标， 即可求出直线F 的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结论． 【解析】（1）将点（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4 中，得﹣1﹣b+4＝2， ∴b＝1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， 将点B（3，）代入二次函数y＝﹣x2+x+4 中，得＝﹣9+3+4＝﹣2， 故答为：1，﹣2； （2）设直线B 的解析式为y＝kx+，由（1）知，点B（3，﹣2）， ∵（﹣1，2）， ∴{ −k+a=2 3k+a=−2， ∴{ k=−1 a=1 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+1， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， ∵点P（m，0）， ∴M（m，﹣m+1），（m，﹣m2+m+4）， ∵点在点M 的上方，且M＝3， ∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3， ∴m＝0 或m＝2； （3）①如图1，由（2）知，直线B 的解析式为y＝﹣x+1， ∴直线D 的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5， 令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝5， ∴（5，0）， ∵（﹣1，2），B（3，﹣2）， ∴直线的解析式为y¿−1 3x+5 3 ，直线B 的解析式为y＝x 5 ﹣， 过点作y 轴的平行线交于K，交B 于，∵点P（m，0）， ∴（m，﹣m2+m+4），K（m，−1 3 m+5 3 ），（m，m 5 ﹣）， ∴K＝﹣m2+m+4+1 3 m−5 3 =−¿m2+4 3 m+7 3 ，＝﹣m2+9， ∴S2＝S△¿ 1 2K×（x﹣x）¿ 1 2（﹣m2+4 3 m+7 3 ）×6＝﹣3m2+4m+7， S1＝S△B¿ 1 2×（x﹣xB）＝﹣m2+9， ∵S1﹣S2＝6， ∴﹣m2+9﹣（﹣3m2+4m+7）＝6， ∴m＝1+❑ √3（由于点在直线上方，所以，舍去）或m＝1−❑ √3； ∴S2＝﹣3m2+4m+7＝﹣3（1−❑ √3）2+4（1−❑ √3）+7＝2❑ √3−¿1， S1＝﹣m2+9＝﹣（1−❑ √3）2+9＝2❑ √3+¿5； ②如图2， 记直线B 与x 轴，y 轴的交点为，L， 由（2）知，直线B 的解析式为y＝﹣x+1， ∴（1，0），L（0，1）， ∴L＝， ∴∠LD＝∠L＝45°， ∴∠D+∠B＝45°， 过点B 作BG∥， ∴∠BG＝∠B， ∴∠D+∠BG＝45°， ∵∠FB＝∠BG+∠FBG，∠FB+∠D﹣∠BF＝45°， ∴∠BG+∠FBG+∠D﹣∠BF＝45°， ∴∠FBG＝∠BF， ∴BG∥F， ∴∥F， ∵（﹣1，2）， ∴直线的解析式为y＝﹣2x， ∵（5，0）， ∴直线F 的解析式为y＝﹣2x+10， 过点，F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线，交于点Q，S， 由旋转知，M＝MF，∠MF＝90°， ∴△MF 是等腰直角三角形， ∴∠FM＝45°， ∵∠＝45°， ∴∠FM＝∠， ∴F∥x 轴， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F（4，2）， ∴直线F 的解析式为y¿ 1 2x①， ∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4②， 联立①②解得，{ x=1+❑ √65 4 y=1+❑ √65 8 或{ x=1−❑ √65 4 y=1−❑ √65 8 ， ∵m＞﹣1， ∴直线F 与该二次函数图象交点的横坐标为1+❑ √65 4 ． 3．（2019 年常州27 题）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象与x 轴交于点、B，与y 轴 交于点，点的坐标为（﹣1，0），点D 为的中点，点P 在抛物线上． （1）b＝ 2 ； （2）若点P 在第一象限，过点P 作P⊥x 轴，垂足为，P 与B、BD 分别交于点M、．是 否存在这样的点P，使得PM＝M＝？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ 与x 轴交于点 R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P 的坐标． 【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式即求得b 的值． （2）求点B、、D 坐标，求直线B、BD 解析式．设点P 横坐标为t，则能用t 表示点 P、M、、的坐标，进而用含t 的式子表示PM、M、的长．以PM＝M 为等量关系列得 关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得 点P 坐标． （3）过点P 作PF⊥x 轴于F，交直线BD 于E，根据同角的余角相等易证∠EPQ＝ ∠BD ，所以s∠EPQ ＝s∠BD¿ 2❑ √5 5 ，即在Rt△PQE 中，s∠EPQ¿ PQ PE =2❑ √5 5 ；在 Rt△PFR 中，s∠RPF¿ PF PR =2❑ √5 5 ，进而得PQ¿ 2❑ √5 5 PE，PR¿ ❑ √5 2 PF．设点P 横坐标为 t，可用t 表示PE、PF，即得到用t 表示PQ、PR．又由S△PQB＝2S△QRB易得PQ＝2QR． 要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程．求得t 的值要 注意是否符合各种情况下t 的取值范围． 【解析】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象与x 轴交于点（﹣1，0） 1 ∴﹣﹣b+3＝0 解得：b＝2 故答为：2． （2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝M＝． ∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3 当x＝0 时y＝3， ∴（0，3） 当y＝0 时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴（﹣1，0），B（3，0） ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+3 ∵点D 为的中点， ∴D（0，3 2） ∴直线BD 的解析式为y¿−1 2 x+ 3 2， 设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），（t，−1 2 t+3 2 ），（t，0） ∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，M＝﹣t+3﹣（−1 2 x+3 2 ）¿−1 2t+3 2 ，¿−1 2t+3 2 ∴M＝ ∵PM＝M ∴﹣t2+3t¿−1 2t+3 2 解得：t1¿ 1 2，t2＝3（舍去） ∴P（1 2，15 4 ） ∴P 的坐标为（1 2，15 4 ），使得PM＝M＝． （3）过点P 作PF⊥x 轴于F，交直线BD 于E ∵B＝3，D¿ 3 2，∠BD＝90° ∴BD¿ ❑ √O B 2+O D 2=3 ❑ √5 2 s ∴∠BD¿ OB BD = 3 3 ❑ √5 2 =2❑ √5 5 ∵PQ⊥BD 于点Q，PF⊥x 轴于点F ∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90° ∴∠PRF+∠BD＝∠PRF+∠EPQ＝90° ∴∠EPQ＝∠BD，即s∠EPQ＝s∠BD¿ 2❑ √5 5 在Rt△PQE 中，s∠EPQ¿ PQ PE =2❑ √5 5 ∴PQ¿ 2❑ √5 5 PE 在Rt△PFR 中，s∠RPF¿ PF PR =2❑ √5 5 ∴PR¿ PF 2❑ √5 5 = ❑ √5 2 PF ∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB¿ 1 2BQ•PQ，S△QRB¿ 1 2BQ•QR ∴PQ＝2QR 设直线BD 与抛物线交于点G ∵−1 2 x+ 3 2=−¿x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B 横坐标），x2¿−1 2 ∴点G 横坐标为−1 2 设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，−1 2 t+3 2 ） ∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（−1 2 t+3 2 ）|＝|﹣t2+5 2 t+3 2 | ①若−1 2 ＜t＜3，则点P 在直线BD 上方，如图2， ∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+5 2 t+3 2 ∵PQ＝2QR ∴PQ¿ 2 3PR ∴2❑ √5 5 PE¿ 2 3• ❑ √5 2 PF，即6PE＝5PF 6 ∴（﹣t2+5 2 t+3 2 ）＝5（﹣t2+2t+3） 解得：t1＝2，t2＝3（舍去） ∴P（2，3） ②若﹣1＜t＜−1 2，则点P 在x 轴上方、直线BD 下方，如图3， 此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立． ③若t＜﹣1，则点P 在x 轴下方，如图4， ∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2 2 ﹣t 3 ﹣，PE¿−1 2t+3 2 −¿（﹣t2+2t+3）＝t2−5 2 t−3 2 ∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR ∴2❑ √5 5 PE＝2• ❑ √5 2 PF，即2PE＝5PF 2 ∴（t2−5 2 t−3 2 ）＝5（t2 2 ﹣t 3 ﹣） 解得：t1¿−4 3 ，t2＝3（舍去） ∴P（−4 3 ，−13 9 ） 综上所述，点P 坐标为（2，3）或（−4 3 ，−13 9 ）． 点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程， 同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分 类讨论点P 的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路． 4．（2018 年徐州27 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x 5 ﹣的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，其顶点为P，连接P、、P，过点作y 轴的垂线l． （1）求点P，的坐标； （2）直线l 上是否存在点Q，使△PBQ 的面积等于△P 的面积的2 倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x＝0，可得y＝﹣5，推出（0，﹣5）； （2）直线P 的解析式为y＝3x 5 ﹣，设直线交x 轴于D，则D（5 3，0），设直线PQ 交x 轴于E，当BE＝2D 时，△PBQ 的面积等于△P 的面积的2 倍，分两种情形分别求解即可 解决问题． 【解析】（1）∵y＝﹣x2+6x 5 ﹣＝﹣（x 3 ﹣）2+4， ∴顶点P（3，4）， 令x＝0 得到y＝﹣5， ∴（0．﹣5）． （2）令y＝0，x2 6 ﹣x+5＝0，解得x＝1 或5， ∴（1，0），B（5，0）， 设直线P 的解析式为y＝kx+b，则有{ b=−5 3k+b=4， 解得{ k=3 b=−5， ∴直线P 的解析式为y＝3x 5 ﹣，设直线交x 轴于D，则D（5 3，0）， 设直线PQ 交x 轴于E，当BE＝2D 时，△PBQ 的面积等于△P 的面积的2 倍， ∵D¿ 2 3， ∴BE¿ 4 3 ， ∴E（11 3 ，0）或E′（19 3 ，0）， 则直线PE 的解析式为y＝﹣6x+22， ∴Q（9 2，﹣5）， 直线PE′的解析式为y¿−6 5 x+38 5 ， ∴Q′（21 2 ，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q（9 2，﹣5），Q′（21 2 ，﹣5）． 点睛：本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握 待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．（2019 年淮安26 题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于、B 两点，D 为顶点，其 中点B 的坐标为（5，0），点D 的坐标为（1，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E 的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△DG 的面积是△BDG 的面积的3 5？ 若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解； （2）可通过点B，点D 求出线段BD 所在的直线关系式，点E 在线段BD 上，即可设点 E 的坐标，利用点与点的关系公式，通过EF＝ED 即可求解； （3）分两种情形分别求解，求出直线DG 的解析式，构建方程组确定交点坐标即可． 【解析】（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝（x 1 ﹣）2+3 将点B 代入得0＝（5 1 ﹣）2+3，得¿−3 16 ∴二次函数的表达式为：y¿−3 16 （x 1 ﹣）2+3 （2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD 的解析式为y＝kx+b， 代入得{ 0=5k+b 3=k+b ，解得{ k=−3 4 b=15 4 ∴线段BD 所在的直线为y¿−3 4 x+15 4 ， 设点E 的坐标为：（x，−3 4 x+15 4 ） ∴ED2＝（x 1 ﹣）2+（−3 4 x+15 4 −¿3）2， EF2¿(−3 4 x+ 15 4 ) 2 ∵ED＝EF， ∴（x 1 ﹣）2+（−3 4 x+15 4 −¿3）2¿(−3 4 x+ 15 4 ) 2， 整理得2x2+5x 25 ﹣ ＝0， 解得x1¿ 5 2，x2＝﹣5（舍去）． 故点E 的纵坐标为y¿−3 4 × 5 2 + 15 4 =15 8 ∴点E 的坐标为( 5 2 ，15 8 ) （3）存在点G， 当点G 在x 轴的上方时，设直线DG 交x 轴于P，设P（t，0），作E⊥DG 于E， BF⊥DG 于F． 由题意：E：BF＝3：5， ∵BF∥E， ∴P：BP＝E：BF＝3：5， ∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5， 解得t＝﹣15， ∴直线DG 的解析式为y¿ 3 16 x+45 16 ， 由{ y= 3 16 x+ 45 16 y=−3 16 ( x−1) 2+3 ， 解得{ x=0 y= 45 16 或{ x=1 y=3， ∴G（0，45 16 ）． 当点G 在x 轴下方时，如图2 所示， ∵：B＝3：5 ∴当△DG 与△BDG 的高相等时， 存在点G 使得S△DG：S△BDG＝3：5， 此时，DG 的直线经过原点，设直线DG 的解析式为y＝kx， 将点D 代入得k＝3， 故y＝3x， 则有{ y=3 x y=−3 16 ( x−1) 2+3 整理得，（x 1 ﹣）（x+15）＝0， 得x1＝1（舍去），x2＝﹣15 当x＝﹣15 时，y＝﹣45， 故点G 为（﹣15，﹣45）． 综上所述，点G 的坐标为（0，45 16 ）或（﹣15，﹣45）． 点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会 利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度， 从而求出线段之间的关系． 6．（2