题型6 几何最值（复习讲义）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型六几何最值（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两 边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中， 直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距 离最长根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决 几何最值问题的高效手段 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存 在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变， 而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经， 以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法 考点01 胡不归 胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“P+ b a PB”的形式（ b a <1），若 b a >1，提取系数，转化为小于1 的形式解 决。 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2、在PB 的一侧，P 的异侧，构造一个角度α，使得sα= b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 【模型展示】 如图，一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且 V1<V2，、B 为定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值， 即B+k 最小． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm M N C B A α D H 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB” 型问题转化为“P+P”型． 考点02 阿氏圆 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PB∽△P 推出 P2  ，即：半径的平方=原 有线段 构造线段。 【模型展示】 如下图，已知、B 两点，点P 满足P：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的 图形为圆． A B P O （1）角平分线定理：如图，在△B 中，D 是∠B 的角平分线，则 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm F E D C B A 证明： ， ，即 （2）外角平分线定理：如图，在△B 中，外角E 的角平分线D 交B 的延长线于点D，则 ． A B C D E 证明：在B 延长线上取点E 使得E=，连接BD，则△D △ED ≌ （SS），D=ED 且D 平分∠BDE，则 ，即 ． 接下来开始证明步骤： N M A B P O 如图，P：PB=k，作∠PB 的角平分线交B 于M 点，根据角平分线定理， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故M 点为定点，即∠PB 的角平分线交B 于定点； 作∠PB 外角平分线交直线B 于点，根据外角平分线定理， ，故点为定点，即 ∠PB 外角平分线交直线B 于定点； 又∠MP=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以M 为直径的圆． O P B A M N 考点03 费马点 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60 度，从而将“不等三爪图” 中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短 求解问题 【模型展示】 问题：在△B 内找一点P，使得P+PB+P 最小． A B C P 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． （1）如图，分别以△B 中的B、为边，作等边△BD、等边△E． （2）连接D、BE，即有一组手拉手全等：△D △BE ≌ ． （3）记D、BE 交点为P，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以B 为边作等边△BF，连接F，必过点P，有∠PB=∠BP=∠P=120°． F P P A B C D E E D C B A B A C A B C D E 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接P，P 平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PB=∠BP=∠P=120°．原来在“手拉手全等”就已 经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 考点04 瓜豆原理 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小 值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is faulty **见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ** Expression is faulty **见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形 【知识精讲】 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系？ 考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由、Q、P 始终共线可得：、M、三点共线， 由Q 为P 中点可得：M=1/2． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q 点轨迹与P 点轨 迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 考虑P=Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M=，且可得半径MQ=P． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P △QM ≌ ． 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=2Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 考虑P:Q=2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足:M=2:1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P:Q 是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PQ=∠M； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： P:Q=:M，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 考点05 将军饮马 1 两定（异侧），一动 2 两定（同侧），一动 3 一定，两动 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4 两动，两动 知识提炼： 折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题 1 如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 的最小值是( ) 2 如图，在ABC  中，∠B=90°，B=12，=9，以点为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D．连接D、BD、D，则2D+3BD 的最小值是 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm A B C D 3 如图，已知正方BD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则 的最大值为_______． A B C D P 4．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， ， 是正方形 的边 的三等分点， 是对角线 上的动点，当 取得最小值时， 的值是___________． 5 如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ， 与 交于点 ，可推出结论： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 问题解决：如图，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是___________ 6．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形 的边上沿 运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点 的运动过程中，线段 的最小值为__________． 7．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2 的正方形 中，E，F 分别是 上的动点，M，分别是 的中点，则 的最大值为______． 8．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 在线段 上， ，则线段 的最小值为__________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 9．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两 点，点D 是线段B 上一动点，点是直线 上的一动点，动点 ， 连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ________． 10 如图，在矩形BD 中，B=4，D=6，E 是B 边的中点，F 是线段B 上的动点，将 ΔEBF 沿EF 所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D 的最小值是_____． 11 如图，在矩形BD 中，B＝10，D＝6，动点P 满足S△PB＝ S 矩形BD，则点P 到，B 两点距 离之和P+PB 的最小值为 ． 12 如图，等边△B 的边长为4，D 是B 边上的中线，F 是D 边上的动点，E 是边上一点，若E ＝2，当EF＋F 取得最小值时，则∠EF 的度数为多少？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 13（1）如图1，在和B 两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥D，桥建在何处才 能使从到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） （2）如图2，在和B 两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是M 和 PQ， 桥分别建在何处才能使从到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与 河岸垂直） 14 如图，在锐角三角形B 中，B＝4❑ √2，∠B＝45º，BD 平分∠B，M、分别是BD、B 上 的动点，试求M＋M 的最小值 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 15、如图，四边形BD 是正方形，△BE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含B 点）上 任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E、M、M ⑴求证：△MB △EB ≌ ； ⑵①当M 点在何处时，M＋M 的值最小； ②当M 点在何处时，M＋BM＋M 的值最小，并说明理由； ⑶当M＋BM＋M 的最小值为√3+1时，求正方形的边长 16 如图，等边三角形B 的边长为4，点D 是直线B 上一点．将线段D 绕点D 顺时针旋转 60°得到线段DE，连结BE． （1）若点D 在B 边上（不与，B 重合）请依题意补全图并证明D=BE； （2）连接E，当E 的长最小时，求D 的长． M B D E 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1