2 几何最值之将军饮马问题

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周 长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的 中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 【抽象模型】如图，在直线上找一点P 使得P+PB 最小？ P B A 【模型解析】作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 专题2 几何最值之将军饮马问题 知识导航 方法技巧 折点 端点 A' P B A 题型一：两定一动模型 模型 作法 结论 l B A 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使P＋PB 最小． l P A B 连接B 交直线l 于点P，点P 即为所求作的点． P＋PB 的最小值为B l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得P＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点 B'， 连接B'交直线l 于点P，点P 即为所求作的点． P＋PB 的最小值为B' l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得 最大． l P A B 连接B 并延长交直线l 于点 P，点P 即为所求作的点． 的最大值为B 题型精讲 l A B 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P，使得 最大． l B' A B P 作点B 关于直线的对称点B'， 连接B'并延长交直线l 于点 P，点P 即为所求作的点． 的最大值为B' l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得 最小． P A B 连接B，作B 的垂直平分线交 直线l 于点P，点P 即为所求 作的点． 的最小值为0 【例1】如图，点的坐标为（3，y），当△B 的周长最短时，求y 的值． x y B(2,0) A(0,3) O 【解析】解：解：（1）作关于x=3 的对称点′，连接′B 交直线x=3 与点． ∵点与点′关于x=3 对称，∴=′．∴+B=′+B． 当点B、、′在同一条直线上时，′+B 有最小值，即△B 的周长有最小值． ∵点与点′关于x=3 对称，∴点′的坐标为（6，3）． 设直线B′的解析式y=kx+b，将点B 和点′的坐标代入得：k＝ ，b＝− ． ∴y= x- ． 将x=3 代入函数的解析式，∴y 的值为 【例2】如图，正方形BD 中，B＝7，M 是D 上的一点，且DM＝3，是上的一动点，求|D －M| 的最小值与最大值． M B C A D N 【解析】解：当D=M 时，即点DM 的垂直平分线与的交点，|D-M|=0， 因为|D-M|≤DM，当点运动到点时取等号，此时|D-M|=DM=3， 所以|D-M|的最小值为0，最大值为3 【例3】如图1（注：与图2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 , , ． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2） 是抛物线对称轴上的一点，求满足 的值为最小的点 坐标（请在图1 中 探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点 ，使四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形？若存在，请求出点 坐标，若不存在请说明理由（请在图2 中探索） 【答】（1） ，函数的对称轴为： ；（2）点 ；（3）存在， 点 的坐标为 或 ． 【解析】 解： 根据点 , 的坐标设二次函数表达式为： ， ∵抛物线经过点 ， 则 ，解得： ， 抛物线的表达式为： ， 函数的对称轴为： ； 连接 交对称轴于点 ，此时 的值为最小， 设B 的解析式为： ， 将点 的坐标代入一次函数表达式： 得： 解得： 直线 的表达式为： ， 当 时， ， 故点 ； 存在，理由： 四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形， 则 ， 点 在第四象限，故：则 ， 将该坐标代入二次函数表达式得： ， 解得： 或 ， 故点 的坐标为 或 ． 题型二：一定两动模型 模型 作法 结论 A O B P 点P 在∠B 内部，在B 边上找点D， 边上找点，使得△PD 周长最小． D C P'' P' P B O A 分别作点P 关于、B 的对称点 P′、P″，连接P′P″，交、B 于 点、D，点、D 即为所求． △PD 周长的最小值为P′P″ P B O A 点P 在∠B 内部，在B 边上找点D， 边上找点，使得PD＋D 最小． D C P' P B O A 作点P 关于B 的对称点P′，过 P′作P′⊥交B 于D，点、点D 即为所求． PD＋D 的最小值为P′ 【例4】如图，点P 是∠B 内任意一点，∠B=30°，P=8，点M 和点分别是射线和射线B 上的 动点，则△PM 周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PM 周长即PM+P+M 的最小值，此处M、均为折点，分别作点P 关于B、对称点 P’、P’’，化PM+P+M 为P’+M+P’’M． P' P'' N M A B O P 当P’、、M、P’’共线时，得△PM 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接P’、P’’，可得 △P’P’’为等边三角形，所以P’P’’=P’=P=8． P O B A M N P'' P' 【例5】如图，点P 是∠B 内任意一点，且∠B＝40°，点M 和点分别是射线和射线B 上的动点，当△PM 周长取最小值时，则∠MP 的度数为（ ） ．140° B．100° ．50° D．40° 【解答】解：分别作点P 关于、B 的对称点P1、P2， 连接P1P2，交于M，交B 于，则P1＝P＝P2，∠P1M＝∠MP，∠P＝∠P2， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，P＝P2，则△PM 的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1P2＝2∠B＝80°，∴等腰△P1P2中，∠P1P2+∠P2P1＝100°， ∴∠MP＝∠PM+∠P＝∠P1M+∠P2＝100°，故选：B． 【例6】如图，在正方形BD 中，点E，F 分别是边D，B 的中点，连接DF，过点E 作 E DF ⊥ ，垂足为，E 的延长线交D 于点G． （1）猜想DG 与F 的数量关系，并证明你的结论； （2）过点作M D ∥，分别交D，B 于点M，，若正方形BD 的边长为10，点P 是M 上一点， 求△PD 周长的最小值． 【答】（1）结论：F=2DG，理由见解析；（2）△PD 的周长的最小值为10+2 ． 【详解】 （1）结论：F=2DG． 理由：∵四边形BD 是正方形， D=B=D=B ∴ ，∠D= =90° ∠ ， DE=E ∵ ， D=D=2DE ∴ ， EG DF ∵ ⊥ ， DG=90° ∴∠ ， DF+ DGE=90° ∴∠ ∠ ，∠DGE+ DEG=90° ∠ ， DF= DEG ∴∠ ∠ ， DEG DF ∴△ ∽△ ， ∴ = = ， F=2DG ∴ ． （2）作点关于M 的对称点K，连接DK 交M 于点P，连接P， 此时△PD 的周长最短．周长的最小值=D+PD+P=D+PD+PK=D+DK． 由题意：D=D=10，ED=E=5，DG= ，EG= ，D= = ， E=2D=2 ∴ ， M= ∴ =2， DM==K= ∴ =1， 在Rt DK △ 中，DK= = =2 ， PD ∴△ 的周长的最小值为10+2 ． 【例7】如图，抛物线y=x2 5x+ ﹣ 与坐标轴分别交于点，，E 三点，其中（﹣3，0）， （0，4），点B 在x 轴上，=B，过点B 作BD x ⊥轴交抛物线于点D，点M，分别是线段， B 上的动点，且M=B，连接M，M，． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）当△M 是直角三角形时，求点M 的坐标； （3）试求出M+的最小值． 【答】（1）抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4；D 点坐标为（3，5）；（2）M 点的坐标为 （0， ）或（0， ）；（3）M+的最小值为 ． 【详解】 （1）把（﹣3，0），（0，4）代入y=x2 5x+ ﹣ 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4； =B ∵ ，⊥B， B==3 ∴ ， B ∴（3，0）， BD x ∵ ⊥轴交抛物线于点D， D ∴ 点的横坐标为3， 当x=3 时，y=﹣ ×9+ ×3+4=5， D ∴ 点坐标为（3，5）； （2）在Rt B △ 中，B= =5， 设M（0，m），则B=4 m ﹣，=5﹣（4 m ﹣）=m+1， M= B ∵∠ ∠， ∴当 时，△M B ∽△，则∠M= B=90° ∠ ， 即 ，解得m= ，此时M 点坐标为（0， ）； 当 时，△M B ∽△，则∠M= B=90° ∠ ， 即 ，解得m= ，此时M 点坐标为（0， ）； 综上所述，M 点的坐标为（0， ）或（0， ）； （3）连接D，D，如图， =B ∵ ，⊥B， ∴平分∠B， = B ∴∠∠， BD ∵ ∥， B= DB ∴∠ ∠ ， DB=B==5 ∵ ，M=B， M DB ∴△ △ ≌ ， M=D ∴ ， M+=D+ ∴ ， 而D+≥D（当且仅当点、、D 共线时取等号）， D+ ∴ 的最小值= ， M+ ∴ 的最小值为 ． 题型三：两定两动模型 模型 作法 结论 P B O A Q 点P、Q 在∠B 内部，在B 边上找点 D，边上找点，使得四边形PQD 周 长最小． 分 别作点P、Q 关于、B 的对称点 P′、Q′，连接P′Q′，分别交、B 于点、D，点、D 即为所求． P ＋D ＋DQ 的最小值为 P′Q′，所以四边形PQD 周 长的最小值为PQ＋P′Q′ 【例8】如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，若 为 边上的两个动点，且 ，若想使得四边形 的周长最小，则 的长度应 为__________ 【答】 【详解】 解：如图，在D 上截取线段F=DE=2，作F 点关于B 的对称点G，连接EG 与B 交于一点 即为Q 点，过点作FQ 的平行线交B 于一点，即为P 点，过G 点作B 的平行线交D 的延长 线于点． E ∵ 为D 的中点，∴E=2 G=DF=5 ∴ ，E=2+4=6，∠=90°， B//G ∵ ∴ , ∴ , ∴ ， Q= ∴ ， BP=B-PQ-Q=7-2- ∴ ． 故答为 ． 【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P 到直线l1的距离为6，点Q 到直 线l2的距离为4，PQ=4√30 ，在直线l1上有一动点，直线l2上有一动点B，满足B⊥l2，且 P+B+BQ 最小，此时P+BQ=______． 【答】16． 【详解】 作PE l ⊥1于E 交l2于F，在PF 上截取P=8，连接Q 交l2于B，作B l ⊥1于，此时P+B+BQ 最 短．作QD PF ⊥ 于D．在Rt PQD △ 中，∵∠D=90°，PQ= ，PD=18，∴DQ= = ，∵B=P=8，B P ∥，∴四边形BP 是平行四边形，∴P=B，D=10， ∴P+BQ=B+BQ=Q= = =16．故答为16． 题型四：两定点一定长 模型 作法 结论 如图，在直线l 上找M、两点 (M 在左)，使得M＋M＋B 最 小，且M＝d 将向右平移d 个单位到′，作′ 关于l 的对称点"，连接"B 与直线l 交于 点，将点向左平移d 个单位即为M，点 M，即为所求 M＋M＋B 的 最 小 值 为"B＋d 如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d， 在l1、l2分别找M、两点，使 得M⊥l1，且M＋M＋B 最小． 将向下平移d 个单位到，连接′B 交直线l2 于点，过点作M⊥l1，连接M 点M、即 为所求． M＋M＋B 的 最小值 为'B＋d 【例10】在平面直角坐标系中，矩形B 如图所示，点在x 轴正半轴上，点在y 轴正半轴上， B l d B l M ′ " B l2 l1 B l2 l1 ′ M 且＝6，＝4，D 为中点，点E、F 在线段上，点E 在点F 左侧，EF＝2 当四边形BDEF 的周 长最小时，求点E 的坐标． 【解析】如图，将点D 向右平移2 个单位得到D'(2，2)，作D'关于x 轴的对称点D"(2，－ 2)，连接BD"交x 轴于点F，将点F 向左平移2 个单位到点E，此时点E 和点F 为所求作的 点，且四边形BDEF 周长最小 理由： ∵四边形BDEF 的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD 与EF 是定值 ∴BF＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD" 设直线BD"的解析式为y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入， 得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝，b＝－5，∴直线BD"的解析式为y＝x－5． 令y＝0，得x＝，∴点F 坐标为(，0)．∴点E 坐标为(，0)． 【例11】村庄和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的 桥，桥址应如 何选择，才使与B 之间的距离最短？ 【解答】 设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接B'交l1于1，作12⊥l2于2， 则→1→2→B 为最短路线，即与B 之间的距离最短 l1 l2 B 1．如图，在Rt△B 中，∠B=90°，=6．B=12，D 平分∠B，点F 是的中点，点E 是D 上的动 点，则E+EF 的最小值为( ) E A F C D B ．3 B．4 ．3 3 D．2 3 【解析】此处E 点为折点，可作点关于D 的对称，对称点’在B 上且在B 中点，化折线段 E+EF 为’E+EF，当’、E、F 共线时得最小值，’F 为B 的一半，故选． C' A F E C D B 2．如图，在锐角三角形B 中，B=4，∠B=60°， BD 平分∠B，交于点D，M、分别是BD，B 上的动点，则M+M 的最小值是( ) N M D C B A ． 3 B．2 ．2 3 D．4 【解析】此处M 点为折点，作点关于BD 的对称点，恰好在B 上，化折线M+M 为M+M’． 提分作业 N' A B C D M N 因为M、皆为动点，所以过点作B 的垂线，可得最小值，选． N M D C B A N' 3．如图，在正方形BD 中，B=9，点E 在D 边上，且DE=2E，点P 是对角线上的一个动点， 则PE+PD 的最小值是（ ） ． B． ．9 D． 【答】 【详解】 解：如图，连接BE，设BE 与交于点P′，∵四边形BD 是正方形，∴点B 与D 关于对称， ∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE 最小．即P 在与BE 的交点上时，PD+PE 最小，为BE 的长度．∵直角△BE 中，∠BE=90°，B=9，E= D=3，∴BE= = ．故选． 4．如图，在正方形BD 中，E 是B 上一点，BE＝2，B＝8，P 是上一动点，则PB+PE 的最 小值_____． 【答】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交于点P，此时PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形BD 为正方形，且BE＝2，B＝8， ∴∠DB＝90°，D＝B＝8，E＝B-BE＝6， 在Rt△DE 中，根据勾股定理，得 DE＝ ＝ ＝10． ∴PB+PE 的最小值为10． 故答为10． 5．如图，∠B 的边B 与x 轴正半轴重合，点P 是上的一动点，点（3，0）是B 上的一定点， 点M 是的中点，∠B=30°，要使PM+P 最小，则点P 的坐标为______． 【答】（ ， ）． 【详解】 解：作关于的对称点′，连接′M 交于P，则此时，PM+P 最小，∵垂直平分′，∴=′， ∠′=2 =60° ∠ ，∴△′是等边三角形，∵点M 是的中点，∴′M⊥，∵点（3，0），∴=3，∵点M 是 的中点，∴M=15，∴PM= ，∴P（ ， ）．故答为：（ ， ）． 6．如图，等边△B 的边长为4，D 是B 边上的中线，F 是D 边上的动点，E 是边上一点，若 E＝2，当EF＋F 取得最小值时，则∠EF 的度数为多少？ 【答】∠EF＝30º 【解析】过E 作EM B ∥，交D 于，如图所示： ∵＝4，E＝2，∴E＝2＝E，∴M＝BM＝2，∴M＝E， D ∵ 是B 边上的中线，△B 是等边三角形，∴D B ⊥，∵EM B ∥，∴D EM ⊥ ， M ∵ ＝E，∴E 和M 关于D 对称，连接M 交D 于F，连接EF，则此时EF＋F 的值最小， B ∵△ 是等边三角形，∴∠B＝60º，＝B，∵M＝BM，∴∠EF＝ ∠B＝30º 7．在平面直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，顶点、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴 上，(3， 0)，B(0，4)，D 为边B 的中点． （1）若E 为边上的一个动点，求△DE 的周长最小值； （2）若E、F 为边上的两个动点，且EF＝1，当四边形DEF 的周长最小时，求点E、F 的 坐标． 【解析】(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D'，连接D'与x 轴交于点E，连接DE，由模 型可知△DE 的周长最小． ∵在矩形B 中，＝3，B＝4，D 为B 的中点， ∴D(0，2)，(3，4)，D'(0，－2) 设直线D'为y＝kx＋b，把(3，4)，D'(0，－2)代入， 得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2， ∴直线D'为y＝2x－2 令y＝0，得x＝1， ∴点E 的坐标为(1，0) ∴E＝1，E＝2 利用勾股定理得D＝，DE＝，E＝2， ∴△DE 周长的最小值为＋3． (2)如图，将点D 向右平移1 个单位得到D'(1，2)，作D'关于x 轴的对称点D″(1，－2)， 连接D″交x 轴于点F，将点F 向左平移1 个单位到点E，此时点E 和点F 为所求作的点， 且四边形DEF 周长最小． 理由：∵四边形DEF 的周长为D＋DE＋EF＋F，D 与EF 是定值， ∴DE＋F 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE＋F＝D'F＋F＝FD″＋F＝D″， 设直线D″的解析式为y＝kx＋b，把(3，4)，D(1，－2)代入， 得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直线D″的解析式为y＝3x－5， 令y＝0，得x＝，∴点F 坐标为(，0)，∴点E 坐标为(，0)． 8．如图所示抛物线 过点 ，点 ，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小值； （3）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3 5 ∶两部分， 求点 的坐标 【答】（1）