模型16 胡不归最值问题（解析版）

α C A B P A B P α P C A B D 【模型总结】 在求形如“PB+kP”的式子的最值问题中，关键是构造与kP 相等的线段，将“PB+kP”型问 题转化为“PB+P”型． 而这里的P 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP 的等线段． 【问题】 如图，点P 为射线l 上的一动点，、B 为定点，求PB+kP 的最小值 【问题解决】 构造射线D 使得sα=k，P/P=k，P=kP． l 将问题转化为求PB+P 最小值，过B 点作B⊥D 交l 于点P，交D 于点，此时PB+P 取到最 小值，即PB+kP 最小． 【例1】．如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 D+ BD 的最小值是 4 ． 模型介绍 例题精讲 D 解：如图，作D⊥B 于，M⊥B 于M． ∵BE⊥， ∴∠EB＝90°， t ∵＝ ＝2，设E＝，BE＝2， 则有：100＝2+42， ∴2＝20， ∴＝2 或﹣2 （舍弃）， ∴BE＝2＝4 ， ∵B＝，BE⊥，M⊥B， ∴M＝BE＝4 （等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DB＝∠BE，∠BD＝∠BE， s ∴∠DB＝ ＝ ＝ ， ∴D＝ BD， ∴D+ BD＝D+D， ∴D+D≥M， ∴D+ BD≥4 ， ∴D+ BD 的最小值为4 ． 故答为4 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，则B＝2B．请在这一结论的基础上 继续思考：若＝2，点D 是B 的中点，P 为边D 上一动点，则P+ P 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 解：过作E⊥B 于E，过点P 作PF⊥E 于F， ∵∠B＝90°，点D 是B 的中点， ∴D＝ B＝D， ∵∠B＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△BD 为正三角形， ∴∠DE＝30°， ∴PF＝ P， ∴P+ P＝P+PF≥E， ∵∠B＝30°，＝2， ∴E＝ ＝1， ∴E＝ ＝ ， ∴P+ P 的最小值为 ． 故选：． 【变式1-2】．如图，在△B 中，B＝5，＝4，s＝ ，BD⊥交于点D．点P 为线段BD 上的 动点，则P+ PB 的最小值为 ． 解：过点P 作PE⊥B 于点E，过点作⊥B 于点， ∵BD⊥， ∴∠DB＝90°， s ∵＝ ＝ ，B＝5， ∴BD＝4， 由勾股定理得D＝ ， s ∴∠BD＝ ， ∴EP＝ ， ∴P+ PB＝P+PE， 即点、P、E 三点共线时，P+ PB 最小， ∴P+ PB 的最小值为的长， ∵S△B＝ ， 4×4 ∴ ＝5×， ∴＝ ． ∴P+ PB 的最小值为 ． 故答为： ． 【变式1-3】．如图，△B 在直角坐标系中，B＝，（0，2 ），（1，0），D 为射线上一 点，一动点P 从出发，运动路径为→D→，点P 在D 上的运动速度是在D 上的3 倍，要 使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为________ 解：假设P 在D 的速度为3，在D 的速度为1， 设D 坐标为（0，y），则D＝2 ﹣y，D＝ ＝ ， ∴设t＝ + ， 等式变形为：t+ y﹣ ＝ ，则t 的最小值时考虑y 的取值即可， ∴t2+（ y﹣ ）t+（ y﹣ ）2＝y2+1， ∴ y2+（ ﹣ t）y﹣t2+ t+1＝0， Δ＝（ ﹣ t）2 4× ﹣ （﹣t2+ t+1）≥0， ∴t 的最小值为 ， ∴y＝ ， ∴点D 的坐标为（0， ）， 解法二：假设P 在D 的速度为3V，在D 的速度为V， 总时间t＝ + ＝ （ +D），要使t 最小，就要 +D 最小， 因为B＝＝3，过点B 作B⊥交于点，交于D，易证△D∽△，所以 ＝ ＝3，所以 ＝D，因为△B 是等腰三角形，所以BD＝D，所以要 +D 最小，就是要D+BD 最小， 就要B、D、三点共线就行了．因为△∽△BD，所以 ＝ ，即 ＝ ，所以D＝ ， 所以点D 的坐标应为（0， ）， 【例2】．如图，▱BD 中∠＝60°，B＝6，D＝2，P 为边D 上一点，则 PD+2PB 最小值 为 6 ． 解：如图，过点P 作P⊥D，交D 的延长线于， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D， ∴∠＝∠D＝60°， ∵P⊥D， ∴∠DP＝30°， ∴D＝ DP，P＝ D＝ DP， ∵ PD+2PB＝2（ PD+PB）＝2（P+PB）， ∴当点，点P，点三点共线时，P+PB 有最小值，即 PD+2PB 有最小值， 此时：B⊥，∠＝60°， ∴∠BP＝30°， ∴＝ B＝3，B＝ ＝3 ， 则 PD+2PB 最小值为6 ， 故答为：6 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上， 且M＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 解：如图，过点P 作PE⊥B 于E， ∵四边形BD 是菱形，B＝＝10， ∴B＝B＝＝10，∠BD＝∠BD， ∴△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∴∠BD＝30°， ∵PE⊥B， ∴PE＝ PB， ∴MP+ PB＝PM+PE， ∴当点M，点P，点E 共线且ME⊥B 时，PM+PE 有最小值为ME， ∵M＝3， ∴M＝7， s ∵∠B＝ ＝ ， ∴ME＝ ， ∴MP+ PB 的最小值为 ， 故答为 ． 【变式2-2】．如图，是⊙直径，＝4，∠B＝30°，点D 是弦B 上的一个动点，那么 DB+D 的最小值为 ． 解：作BK∥，DE⊥BK 于E，M⊥BK 于M，连接B． ∵BK∥， ∴∠DBE＝∠B＝30°， 在Rt△DBE 中，DE＝ BD， ∴D+ BD＝D+DE， 根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，D+ BD 的值最小，最小值为M， ∵∠B＝∠B＝30°， ∴∠BM＝60°， 在Rt△BM 中， ∵B＝2，∠BM＝60°， ∴M＝B•s60°＝ ， ∴ DB+D 的最小值为 ， 故答为 【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ 的顶点为点，且与 x 轴的正半轴交于点B，P 点是该抛物线对称轴上的一点，则P+ P 的最小值为（ ） ．3 B．2 ． D． 解：连接、B，PB，作P⊥于，B⊥于，如图，当y＝0 时， x2 2 ﹣ x＝0 解得x1＝0，x2＝4，则B（4，0）， y＝ x2 2 ﹣ x＝ （x 2 ﹣）2 2 ﹣ ，则（2，2 ）， ∴＝ ＝4， ∴B＝＝B＝4， ∴△B 为等边三角形， ∴∠P＝30°， ∴P＝ P， ∵P 垂直平分B， ∴P＝PB， ∴P+ P＝PB+P， 当、P、B 共线时，PB+P 的值最小，最小值为B 的长， 而B＝ B＝ ×4＝2 ， ∴P+ P 的最小值为2 ． 故选：B． 实战演练 1．如图，在△B 中，∠＝90°，∠B＝60°，B＝2，若D 是B 边上的动点，则2D+D 的最小值 是（ ） ．2 +6 B．6 ． +3 D．4 解：过点作射线E，使∠BE＝30°，再过动点D 作DF⊥E，垂足为点F，连接D，如图所 示： 在Rt△DF 中，∠DF＝30°， ∴DF＝ D， 2 ∵D+D＝2（D+ D） ＝2（D+DF）， ∴当，D，F 在同一直线上，即F⊥E 时，D+DF 的值最小，最小值等于垂线段F 的长， 此时，∠B＝∠DB＝60°， ∴△BD 是等边三角形， ∴D＝BD＝B＝2， 在Rt△B 中， ∠＝90°，∠B＝60°，B＝2， ∴B＝4， ∴D＝2， ∴DF＝ D＝1， ∴F＝D+DF＝2+1＝3， 2 ∴（D+DF）＝2F＝6， 2 ∴D+D 的最小值为6， 故选：B． 2．如图，在△B 中，∠＝15°，B＝2，P 为边上的一个动点（不与、重合），连接BP，则 P+PB 的最小值是（ ） ． B． ． D．2 解：以为顶点，为一边，在下方作∠M＝45°，过B 作BD⊥M 于D，交于P，如图： 由作图可知：△DP 是等腰直角三角形， ∴D＝PD＝ P， ∴ P+PB＝PD+PB， ∴ P+PB 取最小值即是PD+PB 取最小值，此时B、P、D 共线，且BD⊥D， P+PB 的最小值即是BD 的长， ∵∠B＝15°，∠M＝45°， ∴∠BD＝30°， ∴D＝ B＝1，BD＝ D＝ ， ∴ P+PB 的最小值是 ． 故选：B． 3．在△B 中，∠B＝90°，P 为上一动点，若B＝4，＝6，则 BP+P 的最小值为（ ） ．5 B．10 ．5 D．10 解：以为顶点，为一边在下方作∠M＝45°，过P 作PF⊥M 于F，过B 作BD⊥M 于D， 交于E，如图： BP+P＝ （BP+ P），要使 BP+P 最小，只需BP+ P 最小， ∵∠M＝45°，PF⊥M， ∴△FP 是等腰直角三角形， ∴FP＝ P， ∴BP+ P 最小即是BP+FP 最小，此时P 与E 重合，F 与D 重合，即BP+ P 最小 值是线段BD 的长度， ∵∠M＝45°，BD⊥M， ∴∠ED＝∠BE＝45°， ∵∠B＝90°， s ∴∠BE＝s45°＝ ，t∠BE＝ ， 又B＝4， ∴BE＝4 ，E＝4， ∵＝6， ∴E＝2， 而s∠M＝s45°＝ ， ∴DE＝ ， ∴BD＝BE+DE＝5 ， ∴ BP+P 的最小值是 BD＝10， 故选：B． 4．如图所示，菱形B 的边长为5，对角线B 的长为4 ，P 为B 上一动点，则P+ P 的 最小值为（ ） ．4 B．5 ．2 D．3 解：如图，过点作⊥于点，过点P 作PF⊥于点F，连接交B 于点． ∵四边形B 是菱形， ∴⊥B， ∴＝B＝2 ，＝ ＝ ＝ ， ∴＝2＝2 ， ∵⊥， • ∴＝ •B•， ∴＝ × ＝4， s ∴∠PF＝ ＝ ＝ ， ∴PF＝ P， ∴P+ P＝P+PF， ∵P+PF≥， ∴P+ P≥4， ∴P+ P 的最小值为4， 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象与x 轴交于、（3，0）两点， 若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为（0，﹣1），连接PD，则 PD+P 的最小值是（ ） ．4 B．2+2 ．2 D． + 解：连接B，过点P 作P⊥B 于，过点D 作D⊥B 于， 把（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0， 解得b＝2， ∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1 或3， ∴（﹣1，0）， 令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴B（0，3）， ∴B＝＝3， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠B＝45°， ∵D（0，﹣1）， ∴D＝1，BD＝4， ∵D⊥B， ∴∠DB＝90°， ∴D＝BD•s45°＝2 ， ∵P⊥B， ∴∠P＝90°， ∴P＝ P， ∴ PD+P＝ （PD+ P）＝ （DP+P）， ∵DP+P≥D， ∴DP+P≥2 ， ∴DP+P 的最小值为2 ， ∴ PD+P 的最小值为4．故选：． 6．如图，在△B 中，∠＝90°，∠B＝60°，B＝2，若D 是B 边上的动点，则2D+D 的最小值 为 6 ． 解：如图所示，作点关于B 的对称点'，连接'，'D，过D 作DE⊥于E， ∵△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，B＝2， ∴B＝1，＝ ，'＝2 ，∠＝30°， Rt ∴ △DE 中，DE＝ D，即2DE＝D， ∵与'关于B 对称， ∴D＝'D， ∴D+DE＝'D+DE， ∴当'，D，E 在同一直线上时，D+DE 的最小值等于'E 的长， 此时，Rt ' △E 中，'E＝s60°×'＝ ×2 ＝3， ∴D+DE 的最小值为3， 即2D+D 的最小值为6， 故答为：6． 7．如图，在△B 中，B＝＝4，∠B＝30°，D⊥B，垂足为D，P 为线段D 上的一动点，连接 PB、P．则P+2PB 的最小值为 4 ． 解：如图， 在∠B 的外部作∠E＝15°，作BF⊥E 于F，交D 于P， 此时P+2PB 最小， ∴∠FB＝90° ∵B＝，D⊥B， ∴∠D＝∠BD＝ ， ∴∠ED＝∠E+∠D＝30°， ∴PF＝ ， ∴P+2PB＝2（ ）＝2（PF+PB）＝2BF， 在Rt△BF 中，B＝4，∠BF＝∠B+∠E＝45°， ∴BF＝B•s45°＝4× ＝2 ， ∴（P+2PB）最小＝2BF＝4 ，故答为：4 ． 8．如图，△B 中，∠B＝30°且B＝，P 是底边上的高上一点．若P+BP+P 的最小值为2 ， 则B＝ ﹣ ． 解：如图将△BP 绕点顺时针旋转60°得到△MG．连接PG，M． ∵B＝，⊥B， ∴∠BP＝∠P， ∵P＝P， ∴△BP≌△P（SS）， ∴P＝PB， ∵MG＝PB，G＝P，∠GP＝60°， ∴△GP 是等边三角形， ∴P＝PG， ∴P+PB+P＝P+PG+GM， ∴当M，G，P，共线时，P+PB+P 的值最小，最小值为线段M 的长， ∵P+BP+P 的最小值为2 ， ∴M＝2 ， ∵∠BM＝60°，∠B＝30°， ∴∠M＝90°， ∴M＝＝2， 作B⊥于．则B＝ B＝1，＝ ，＝2﹣ ， ∴B＝ ＝ ＝ ﹣ ． 故答为 ﹣ ． 9．等边三角形B 的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中B 边在x 轴 上，B 边的高在Y 轴上．一只电子虫从出发，先沿y 轴到达G 点，再沿G 到达点，已知 电子虫在Y 轴上运动的速度是在G 上运动速度的2 倍，若电子虫走完全程的时间最短， 则点G 的坐标为 （ 0 ， ） ． 解：如图作GM⊥B 于M，设电子虫在G 上的速度为v， 电子虫走完全全程的时间t＝ + ＝ （ +G）， 在Rt△MG 中，GM＝ G， ∴电子虫走完全全程的时间t＝ （GM+G）， 当、G、M 共线时，且M⊥B 时，GM+G 最短， 此时G＝G＝2G，易知G＝ • ×6＝ 所以点G 的坐标为（0，﹣ ）． 故答为：（0，﹣ ）． 10．如图，在边长为6 的正方形BD 中，M 为B 上一点，且BM＝2，为边B 上一动点，连 接M，点B 关于M 对称，对应点为P，连接P，P，则P+2P 的最小值为 6 ． 解：∵B、P 关于M 对称，BM＝2， ∴PM＝2， 如图所示，则点P 在以M 为圆心，BM 为半径的圆上， 在线段M 上取一个点E，使得ME＝1， 又∵M＝6 2 ﹣＝4，MP＝2， ∴ ， ， ∴ ， 又∵∠EMP＝∠PM， ∴△EMP∽△PM， ∴ ， ∴ ， ∴P+2P＝2（ ）＝2（P+PE）≥2E， 如图所示，当且仅当P、、E 三点共线时取得最小值2E， ∵E＝ ， ∴P+2P 的最小值为6 ． 11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2 2 ﹣x+3 与x 轴交于点（﹣3，0）、B（1，0）， 点M（﹣1，4）为抛物线的顶点，M 中点D 坐标为（﹣2，2）；如图，Q 点为y 轴上一 动点，直接写出DQ+ Q 的最小值为 2 ． 解：如图，过点作直线K，使∠QK＝45°，过点Q 作QK⊥K 于点K， 则QK＝ Q， DQ+ Q＝DQ+QK， 连接D， ∵D 坐标为（﹣2，2）， ∴∠DQ＝45°， ∴D⊥K， ∴DQ+ Q＝DQ+QK 的最小值为D 的长， ∵D＝ ＝2 ， ∴DQ+ Q 的最小值为2 ． 故答为：2 ． 12．在菱形BD 中，∠DB＝30°． （1）如图1，过点B 作BE⊥D 于点E，连接E，点F 是线段E 的中点，连接BF，若ED ＝2−❑ √3，求线段BF 的长度； （2）如图2，过点B 作BE⊥D 于点E，连接E，过点D 作DM⊥D，连接M，且∠ME＝ 15°，连接ME，请探索线段BE，DM，EM 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，连接，点Q 是对角线上的一个动点，若B＝2❑ √6，求QB+Q+QD 的最小值． 解：（1）设菱形BD 的边长为，则B＝D＝，D∥B， ∴E＝D﹣DE＝﹣（2−❑ √3）， ∵BE⊥D，∠DB＝30°， ∴BE¿ 1 2B¿ 1 2， 在Rt△BE 中，E2+BE2＝B2， [ ∴﹣（2−❑ √3）]2+（1 2）2＝2， 解得：＝2 或＝14 8 ﹣❑ √3（舍去）， ∴B＝2，BE＝1， 在Rt△BE 中，E¿ ❑ √BC 2+B E 2= ❑ √2 2+1 2=❑ √5， ∵点F 是线段E 的中点， ∴BF¿ 1 2E¿ ❑ √5 2 ； （2）BE＝DM+EM． 证明：如图2，在BE 上截取B＝DM，连接， ∵四边形BD 是菱形， ∴B＝D，∠BD＝∠DB＝30°， 在△B 和△DM 中， { CB=CD ∠CBN=∠CDM=90° BN=DM ， ∴△B≌△DM（SS）， ∴∠B＝∠DM，＝M， ∵∠B+∠D＝30°， ∴∠DM+∠D＝30°， 即∠M＝30° ∵∠ME＝15°， ∴∠E＝∠M﹣∠ME＝30° 15° ﹣ ＝15°， ∴∠E＝∠ME， 在△E 和△EM 中， { CN=CM ∠NCE=∠MCE CE=CE ， ∴△E≌△EM（SS）， ∴E＝EM， ∵BE＝B+E， ∴BE＝DM+EM； （3）如图3，过点在直线的上方作∠K＝30°，分别过点B、Q 作B⊥K 于点，QG⊥K 于 点G，B 交于点Q′， 连接BG，则QG¿ 1 2Q， ∵B、D 关于直线对称， ∴QB＝QD， ∴QB+Q+QD＝Q+2QB＝2（1 2Q+QB）＝2（QG+QB）， 当点Q 与Q′重合时，QG+QB 的值最小， 当点Q 与Q'重合时，QG+QB＝Q′+BQ'＝B． 当点Q 与Q'不重合时，QG+BQ＞BG＞B． ∵四边形BD 是菱形，∠BD＝30°， ∴∠B¿ 1 2∠BD＝15°， 又∵∠K＝30°， ∴∠BK＝∠B+∠K＝45°， ∵∠B＝90°，B＝B＝2❑ √6， ∴B¿ BC ❑ √2 =2❑ √6 ❑ √2 =¿2❑ √3， 即QG+QB 的最小值是2❑ √3． ∴QB+Q+QD 的最小值是4❑ √3． 13．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1 向下平移3 个单位长度得到直线l1，直线l1与 x 轴交于点；直线l2：y＝x+2 与x 轴、y 轴交于、B 两点，且与直线l1交于点D． （1）填空：点的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ，点B 的坐标为 （ 0 ， 2 ） ； （2）直线l1的表达式为 y ＝ 2 x 2 ﹣ ； （3）在直线l1上是否存在点E，使S△E＝2S△B？若存在，则求出点E 的坐标；若不存在