10 胡不归最值模型提升

中考数学几何模型：胡不归最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P+PB 最值，除此之外我们还 可能会遇上形如“P+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不 归问题；（2）阿氏圆． 【故事介绍】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据 “两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上 归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人 弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”） 而如果先沿着驿道先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 【模型建立】 如图，一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且 V1<V2，、B 为定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A 【问题分析】 ，记 ，即求B+k 的最小值． 【问题解决】 构造射线D 使得s∠D=k，即 ，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值， 即B+k 最小． M N C B A α D H 【模型总结】 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型 问题转化为“P+P”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角 函数得到kPB 的等线段． 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1 如图，△B 中，B==10，t=2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 的最小值是_______． A B C D E H E D C B A A B C D E H 【分析】本题关键在于处理“ ” ，考虑t=2 ，△BE 三边之比为 ， ，故作D⊥B 交B 于点，则 ．问题转化为D+D 最小值，故、D、 共线时值最小，此时 ． 【小结】本题简单在于题目已经将B 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线 D，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是 解决“胡不归”问题关键所在． α sinα= 5 5 H E D C B A E D C B 变式练习>>> 1 ．如图，平行四边形BD 中，∠DB=60° ，B=6 ，B=2 ，P 为边D 上的一动点，则 的最小值等于________． A B C D P M H P D C B A A B C D P H M 【分析】考虑如何构造“ ”，已知∠=60°，且s60°= ，故延长D，作P⊥D 延长 线于点，即可得 ，将问题转化为：求PB+P 最小值．当B、P、三点共线时， 可得PB+P 取到最小值，即B 的长，解直角△B 即可得B 长． 例题2 如图，是圆的直径，＝4，弧B＝120°，点D 是弦B 上的一个动点，那么D+ BD 的 最小值为（ ） ． B． ． D． 【解答】解：∵ 的度数为120°，∴∠＝60°， ∵是直径，∴∠B＝90°，∴∠＝30°， 作BK∥，DE⊥BK 于E，M⊥BK 于M，连接B． ∵BK∥，∴∠DBE＝∠B＝30°， 在Rt△DBE 中，DE＝ BD，∴D+ BD＝D+DE， 根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，D+ BD 的值最小，最小值为M， ∵∠B＝∠B＝30°，∴∠BM＝60°， 在Rt△BM 中， ∵B＝2，∠BM＝60°，∴M＝B•s60°＝ ，∴ DB+D 的最小值为 ， 故选：B． 变式练习>>> 2．如图，△B 中，∠B＝30°且B＝，P 是底边上的高上一点．若P+BP+P 的最小值为2 ， 则B＝ ﹣ ． 【解答】解：如图将△BP 绕点顺时针旋转60°得到△MG．连接PG，M． ∵B＝，⊥B，∴∠BP＝∠P， ∵P＝P，∴△BP≌△P（SS），∴P＝PB， ∵MG＝PB，G＝P，∠GP＝60°， ∴△GP 是等边三角形，∴P＝PG， ∴P+PB+P＝P+PG+GM， ∴当M，G，P，共线时，P+PB+P 的值最小，最小值为线段M 的长， ∵P+BP+P 的最小值为2 ，∴M＝2 ， ∵∠BM＝60°，∠B＝30°，∴∠M＝90°，∴M＝＝2， 作B⊥于．则B＝ B＝1，＝ ，＝2﹣ ， ∴B＝ ＝ ＝ ﹣ ． 故答为 ﹣ ． 例题3 等边三角形B 的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中B 边在x 轴上，B 边的高在Y 轴上．一只电子虫从出发，先沿y 轴到达G 点，再沿G 到达点，已 知电子虫在Y 轴上运动的速度是在G 上运动速度的2 倍，若电子虫走完全程的时间最短， 则点G 的坐标为 （ 0 ， ） ． 【解答】解：如图作GM⊥B 于M，设电子虫在G 上的速度为v， 电子虫走完全全程的时间t＝ + ＝ （ +G）， 在Rt△MG 中，GM＝ G， ∴电子虫走完全全程的时间t＝ （GM+G）， 当、G、M 共线时，且M⊥B 时，GM+G 最短， 此时G＝G＝2G，易知G＝ • ×6＝ 所以点G 的坐标为（0，﹣ ）． 故答为：（0，﹣ ）． 变式练习>>> 3．如图，△B 在直角坐标系中，B＝，（0，2 ），（1，0），D 为射线上一点，一动点 P 从出发，运动路径为→D→，点P 在D 上的运动速度是在D 上的3 倍，要使整个运动 时间最少，则点D 的坐标应为（ ） ．（0， ） B．（0， ） ．（0， ） D．（0， ） 解：假设P 在D 的速度为3V，在D 的速度为1V， 总时间t＝ + ＝ （ +D），要使t 最小，就要 +D 最小， 因为B＝＝3，过点B 作B⊥交于点，交于D， 易证△D∽△，所以 ＝ ＝3，所以 ＝D， 因为△B 是等腰三角形，所以BD＝D，所以要 +D 最小，就是要D+BD 最小， 就要B、D、三点共线就行了．因为△∽△BD，所以 ＝ ，即 ＝ ， 所以D＝ ，所以点D 的坐标应为（0， ）． 例题4 直线y＝ 与抛物线y＝（x 3 ﹣）2 4 ﹣m+3 交于，B 两点（其中点在点B 的左侧）， 与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为D（点D 在点的下方），设点B 的横坐标为 t （1）求点的坐标及线段D 的长（用含m 的式子表示）； （2）直接用含t 的式子表示m 与t 之间的关系式（不需写出t 的取值范围）； （3）若D＝B．①求点B 的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+ F 的值最 小，则满足条件的点F 的坐标是 （ 3 ， ） ． 【解答】解：（1）抛物线y＝（x 3 ﹣）2 4 ﹣m+3 的对称轴为x＝3， 令x＝3，则有y＝ ×3＝4，即点的坐标为（3，4）． 抛物线y＝（x 3 ﹣）2 4 ﹣m+3 的顶点D 的坐标为（3，﹣4m+3）， ∵点D 在点的下方，∴D＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1． （2）∵点B 在直线y＝ 上，且其横坐标为t， 则点B 的坐标为（t， t），将点B 的坐标代入抛物线y＝（x 3 ﹣）2 4 ﹣m+3 中，得： t＝（t 3 ﹣）2 4 ﹣m+3，整理，得：m＝ ﹣ t+3． （3）①依照题意画出图形，如图1 所示． 过点作E∥x 轴，过点B 作BE∥y 轴交E 于点E． ∵直线B 的解析式为y＝ x，∴BE＝ E， 由勾股定理得：B＝ ＝ E． ∵D＝B， ∴有4m+1＝ （t 3 ﹣）＝ （ + 3 ﹣），解得：m＝﹣4，或m＝1． 当m＝﹣4 时， +4×（﹣4）＝﹣ ＜0，不合适， ∴m＝1，此时t＝ + ＝6，y＝ ×6＝8．故此时点B 的坐标为（6，8）． ②作B 点关于对称轴的对称点B′，过点F 作FM⊥B 于点M，连接B′M、BB 交抛物线对 称轴于点，如图2 所示． ∵直线B 的解析式为y＝ x，FM⊥B， t ∴∠FM＝ ＝ ，∴s∠FM＝ ． ∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F， ∴BF+ F＝B′F+FM． 当点B′、F、M 三点共线时B′F+FM 最小． ∵B 点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3， ∴B′点的坐标为（0，8）． 又∵B′M⊥B，∴t∠B′F＝ ， ∴F＝B′•t∠B′F＝ ， ∴点F 的坐标为（3， ）．故答为：（3， ）． 变式练习>>> 4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1 向下平移3 个单位长度得到直线l1，直线l1与x 轴交于点；直线l2：y＝x+2 与x 轴、y 轴交于、B 两点，且与直线l1交于点D． （1）填空：点的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ，点B 的坐标为 （ 0 ， 2 ） ； （2）直线l1的表达式为 y ＝ 2 x 2 ﹣ ； （3）在直线l1上是否存在点E，使S△E＝2S△B？若存在，则求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由． （4）如图2，点P 为线段D 上一点（不含端点），连接P，一动点从出发，沿线段P 以 每秒1 个单位的速度运动到点P，再沿线段PD 以每秒 个单位的速度运动到点D 后停 止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点P 的坐标． 【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2， 故答为（﹣2，0）、（0，2）； （2）y＝2x+1 向下平移3 个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x 2 ﹣， 故：答为：y＝2x 2 ﹣； （3）∵S△E＝2S△B，∴yE＝2B＝4， 将yE＝4 代入l1的表达式得：4＝2x 2 ﹣，解得：x＝3，则点E 的坐标为（3，4）； （4）过点P、分别作y 轴的平行线，分别交过点D 作x 轴平行线于点、′，′交BD 于点 P′， 直线l2：y＝x+2，则∠B＝45°＝∠BD，P＝ PD， 点在整个运动过程中所用时间＝ + ＝P+P， 当、P、在一条直线上时，P+P 最小，即为′＝6，点P 坐标（1，3）， 故：点在整个运动过程中所用最少时间为6 秒，此时点P 的坐标（1，3）． 例题5 已知抛物线y＝（x+3）（x 1 ﹣）（≠0），与x 轴从左至右依次相交于、B 两点，与 y 轴相交于点，经过点的直线y＝﹣ x+b 与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式； （2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△P 是以为直角边的直角三角形，求 点P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E 是线段D 上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1 个单位的速度运动到点E，再沿线段ED 以每秒 个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中 所用时间最少？ 【解答】解：（1）∵y＝（x+3）（x 1 ﹣）， ∴点的坐标为（﹣3，0）、点B 两的坐标为（1，0）， ∵直线y＝﹣ x+b 经过点，∴b＝﹣3 ， ∴y＝﹣ x 3 ﹣ ，当x＝2 时，y＝﹣5 ， 则点D 的坐标为（2，﹣5 ）， ∵点D 在抛物线上，∴（2+3）（2 1 ﹣）＝﹣5 ，解得，＝﹣ ， 则抛物线的解析式为y＝﹣ （x+3）（x 1 ﹣）＝﹣ x2 2 ﹣ x+3 ； （2）∵的坐标为（﹣3，0），（0，3 ），∴直线的解析式为：y＝ x+3 ， ①∵△P 是以为直角边的直角三角形，∴P⊥， ∴设直线P 的解析式为：y＝﹣ x+m，把（0，3 ）代入得m＝3 ， ∴直线P 的解析式为：y＝﹣ x+3 ， 解 得 ， （不合题意，舍去），∴P（﹣ ， ）； ②∵△P 是以为直角边的直角三角形， ∴P⊥，∴设直线P 的解析式为：y＝﹣ x+， 把（﹣3，0）代入得＝﹣ ， ∴直线P 的解析式为：y＝﹣ x﹣ ， 解y＝ 得 ， ，∴P（ ，﹣ ）， 综上所述：点P 的坐标为（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）； （3）如图2 中，作DM∥x 轴交抛物线于M，作D⊥x 轴于，作EF⊥DM 于F， 则t∠D＝ ＝ ＝ ，∴∠D＝60°，∴∠EDF＝60°， ∴DE＝ ＝ EF，∴Q 的运动时间t＝ + ＝BE+ =BE+EF， ∴当BE 和EF 共线时，t 最小，则BE⊥DM，此时点E 坐标（1，﹣4 ）． 变式练习>>> 5．如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+交x 轴于点（2，0）、B（﹣8，0），交y 轴于点，过 点、B、三点的⊙M 与y 轴的另一个交点为D． （1）求此抛物线的表达式及圆心M 的坐标； （2）设P 为弧B 上任意一点（不与点B，重合），连接P 交y 轴于点，请问：P•是否为 定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）延长线段BD 交抛物线于点E，设点F 是线段BE 上的任意一点（不含端点），连 接F．动点Q 从点出发，沿线段F 以每秒1 个单位的速度运动到点F，再沿线段FB 以 每秒 个单位的速度运动到点B 后停止，问当点F 的坐标是多少时，点Q 在整个运动 过程中所用时间最少？ 【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣ （x+8）（x 2 ﹣），即y＝﹣ x2﹣ x+4； 当x＝0 时，y＝﹣ x2﹣ x+4＝4，则（0，4） ∴B＝4 ，＝2 ，B＝10， ∵B2+2＝B2，∴△B 为直角三角形，且∠B＝90°， ∴B 为直径，∴圆心M 点的坐标为（﹣3，0）； （2）以P•为定值．理由如下：如图1， ∵B 为直径，∴∠PB＝90°， ∵∠PB＝∠，∠＝∠BP，∴△PB∽△． ∴：B＝：P，∴•P＝B•＝20， 所以P•为定值，定值是20； （3）∵B⊥D，∴D＝＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD 的解析式为y＝﹣ x 4 ﹣， 过F 点作FG⊥x 轴于G，如图2， ∵FG∥D，∴△BFG∽△BD， ∴ ＝ ，即 ＝ ＝ ＝ ， ∴点Q 沿线段FB 以每秒 个单位的速度运动到点B 所用时间 等于点Q 以每秒1 个单位的速度运动到G 点的时间， ∴当F+FG 的值最小时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少， 作∠EB＝∠BE，B 交y 轴于， 作F⊥B 于，则F＝FG，∴F+FG＝F+F， 当点、F、共线时，F+F 的值最小，此时⊥B，如图2， 作DK⊥B，垂足为K， ∵BE 平分∠B，∴DK＝D＝4，设D＝m， ∵∠DK＝∠B，∴△DK∽△B， ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴B＝2m， 在Rt△B 中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝ ，∴（0，﹣ ）， 设直线B 的解析式为y＝kx+， 把B（﹣8，0），（0，﹣ ）代入得 ，解得 ，∴直线B 的解析式 为y＝﹣ x﹣ ， ∵⊥B，∴直线的解析式可设为y＝ x+q， 把（2，0）代入得 +q＝0，解得q＝﹣ ，∴直线的解析式为y＝ x﹣ ， 解方程组 ，解得 ，∴F（﹣2，﹣3）， 即当点F 的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少． 达标检测 领悟提升 强化落实 1 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点P 为x 轴上的一个动点，当 最 小时，点P 的坐标为___________ [答]： 2 如图，四边形BD 是菱形，B=4，且∠B=60°，点M 为对角线BD（不含点B）上的一动点， 则 的最小值为___________ [答]： 3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的图象经过点（﹣1，0），B（0，﹣ ），（2，0），其对称轴与x 轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点，使得以，B，M，为顶点的 四边形为菱形，求点M 的坐标； （3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，求 PB+PD 的最小值． 【解答】解：（1）由题意 ，解得 ，∴抛物线解析式为y＝ x2﹣ x﹣ ， ∵y＝ x2﹣ x﹣ ＝ （x﹣ ）2﹣ ，∴顶点坐标（ ，﹣ ）； （2）设点M 的坐标为（ ，y）． ∵（﹣1，0），B（0，﹣ ），∴B2＝1+3＝4． ①以为圆心B 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时M＝B， 则（ +1）2+y2＝4，解得y＝± ，即此时点M 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）； ②以B 为圆心B 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝B， 则（ ）2+（y+ ）2＝4，解得y＝﹣ + 或y＝﹣ ﹣ ， 即此时点M 的坐标为（ ，﹣ + ）或（ ，﹣ ﹣ ）； ③线段B 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时M＝BM， 则（ +1）2+y2＝（ ）2+（y+ ）2，解得y＝﹣ ， 即此时点M 的坐标为（ ，﹣ ）． 综上所述，满足条件的点M 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ + ） 或（ ，﹣ ﹣ ）或（ ，﹣ ）； （3）如图，连接B，作D⊥B 于，交B 于P，此时 PB+PD 最小． 理由：∵＝1，B＝ ，∴t∠B＝ ＝ ， ∴∠B＝30°，∴P＝ PB， ∴ PB+PD＝P+PD＝D， ∴此时 PB+PD 最短（垂线段最短）． 在Rt△D 中，∵∠D＝90°，D＝ ，∠D＝60°， s60° ∴ ＝ ，∴D＝ ， ∴ PB+PD 的最小值为 ． 4 【问题提出】如图①，已知海岛到海岸公路BD 的距离为B 的长度，为公路BD 上的酒店， 从海岛到酒店，先乘船到登陆点D，船速为，再乘汽车，车速为船速的倍，点D 选在何 处时，所用时间最短？ 【特例分析】若＝2，则时间t＝ + ，当为定值时，问题转化为：在B 上确定一点 D，使得 + 的值最小．如图②，过点做射线M，使得∠BM＝30°． （1）过点D 作DE⊥M，垂足为E，试说明：DE＝ ； （2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′． 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出 具体方，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等） 【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 与x 轴分别交于，B 两点，与y 轴 交于点，E 为B 中点，设F 为线段B 上一点（不含端点），连接EF．一动点P 从E 出 发，沿线段EF 以每秒1 个单位的速度运动到F，再沿着线段F 以每秒 个单位的速度 运动到后停止．若点P 在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F 的坐标． 【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥M，∴∠DE＝90°，在Rt△BM 中，DE＝Ds30°＝ D； （2）如图①过点作E′⊥M 交B 于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点； （3）如图②，过点作射